2018高一数学竞赛试题

1、2018竞赛高一初试试题一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合A=x|x|02,xCR,B=x|也04,xCZ,则AAB=（）A. (0,2)B. 0,2C. 0,2D. 0,1,22.若a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是（）B.2,2abbc21D.acbc3 .下列函数为偶函数，且在（，0）上单调递减的函数是2B.f(x)A.f(x)x3C.f(x)(1)1D.f(x)lnx4 .已知m,n是两条不同的直线，a,B,丫是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若a,%a，B,则丫/BB.若m/n,m，a,n，B,则allPC.若m/n,m/a,则n/aD.若m/n,m?a,

2、n?B,则a/05 .等比数列an的前项和为Sn,且4a1,2a2,a3依次成等差数列，且a11,则5。=()A.512B.511C,1024D,10232sin2|-1冗6 .已知f(x)=2tanxx£，则g)的值为()sin2cos2A.警B.8C,4D.473Y>x,7 .设变量x,y满足约束条件x+3y<4,则z=x3y的最大值为()x一2,A.10B.8C.6D.4一，一28.已知x0,y0,且一x11,右x2ym2m包成立，则实数m的取y值范围是()A. m4或m2B. m2或m4D.2m4C.4m29.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1,B

3、D=42,BDLCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD，平面BCD,则下列结论正确的是A.A'CXBDC.CA'与平面A'10.BD所成的角为30°B./BA'D.四面体已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)C=90°1A'BCD的体积为4310g2(x2)xb,则f(x)|3的解集为(A.(,2)U(2,(,4)U(4,)C.(2,2)D.(4,4)11.若直线5-和x49-是函数4sin(wx)(w0)图象的两条相邻对称轴，则的一个可能取值为(B.一4C.D.212.

4、已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)log1(x1),x0,1,2x3,x1,则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为A. 2a1B. 2a1C. 12aD. 12a二、填空题(每题5分，共20分)13 .已知a(k,3),b(1,4),c(2,1)，且(2a3b)c,则实数kc1)an1(n2,nN),14 .过点P(2,1)且与原点的距离为2的直线方程为o15 .已知数列an满足a11,a23,且2吟(n1)an1(n焉|x对所有实数则包的最大值为。n16 .已知函数f(x)的定义域为R若存在常数k,使得|f(x)x均成立，则称函数f(x)为“期望函数”，

5、给出下列函数：(4)f(x)0(1)f(x)x2f(x)xex(3)f(x)xx1其中为期望函数的是：仔出所有正确的序号三、解答题(共六道大题，共70分)17. .(10分)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c。且满足csinCbsinB(ab)sinA,求角C的大小；(2)若c5,求ABC的面积的最大值。18. (12分)设直线l的方程为(a1)xy2a0.(aR)。(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a1,直线l与x轴、y轴分别交于M,N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l对应的方程。19. (12分)设向量m(sin2wx,cos2wx

6、),n(cos,sin)，其中,w0,函数f(x)mn的图象在y轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为P(,1),在原点右侧与x轴的第一个交点为Q(,0).612(1)求函数f(x)的表达式；在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c.若f(C)1,CACB，且2ab2d3,求边长c.2_20. (12分)正项数列an的前项和为an4Sn2an1(nN)(1)求数列an的通项公式；4(1)n1a若bn一()41,数列bn的前项和为Tn,求证：T2n11T2n(nN).(an1)(an11)21. (12分)已知函数f(x)=1a(a为常数)为R上的奇函数.2x1(1)求实数a的值；

7、(2)对xC(0,1,不等式sf(x)2x1恒成立，求实数s的取值范围；2(3)令g(x),右关于x的方程g(2x)mg(x)0有唯一头数解,1f(x)求实数m的取值范围.22. (12分)如图，。的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交。于N,过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PMPCPAPN(2)若。的半径为OA=J3OM,求MN的长.B2018竞赛高一初试试题答案1.D2,C3.A4.B5.D6.B7.D8.C13.314.x2或3x4y10015.-29.B10.A11.B12.D16.(3)(4)17.解：(1)由正弦定理得:cbacb(ab)一2R2R2R

8、222.4分cbaab222abcabcosC-,C23222c2a2b22abcos-25a2b2ab.6分22_ab25ab2abab25S1absinC”史(当ab时取得最大值).10分2418 .(1)当直线l经过坐标原点时，有a20.a2.此时直线l的方程为xy0.2分当直线l不经过坐标原点时，即a2且a1时a1此时l的方程为xy20.5分一所以直线l的方程为xy0.或xy20.6分由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a,解得a0o(2)由直线l的方程可得M(0,0),N(0,2a),a12因为a1,所以Somn12-(2a)-a112a12a11111=-a12-2j(a1)2210

9、分2a12a11一当且仅当a1JPa0时等号成立。11分a1此时直线l的方程为xy20.12分19 .解：(1)因为向量m(sin2wx,cos2wx),n(cos,sin),所以f(x)mnsin2wxcoscos2wxsinsin(2wx)T5一八由题思一一,T,w1,:?分4126将点P(一,1)代入ysin(2x)，得sin(2一)166所以一2k,(kZ)又因为一,4.分626即函数的表达式为f(x)sin(2x),(xR).5.分.6(2)由f(C)1,即sin(2C6)1,又.0<C<由CACB知abcosC所以ab=3由余弦定理知c=39分12分.20.解：(1)2

10、an4Sn2an1(nNn2时,4Sn12an11(n两式相减,anan12.又令n.21,得a14si2a11(nN)2n15.分(2)由bn4(1)n1an1(an1)(an11)bnn1一n1一4(1)(2n1)(1)(2n1)2n(2n2)n(n1)7分T2n1blb2b3b2n1(12)12n,11、()2n12nT2nb1b2(1所以1b3b2n1b2n1111(11)(11)233412n1T2n11T2n6N).21.解:(1)由题意知2此时f(x)1211111()(2n12n2n2n1f(0)0所以a=2.2x12x1,11.分12.分而f(x)x21X21,_X12_X1

11、2f(x，所以f(x)为奇函数，故a=2为所求.2.分(2)由(1)知，f(x)2x12x1因为xC(0,1,所以2x1>0,2x+1>0,故sf(x)2x1包成立等价于s>x+1何成立,因为2x+1C(2,3,所以只需s方和可使原不等式包成立.6分故s的取值范围是3,+8).2(3)由题意g(x)2,化简得g(x)=2x+1,1f(x)方程g(2x)-mg(x)=0,即22xm2x1m0有唯一实数解令t=2x,则t>0,即等价为t2-mt+1-m=0,(t>0)有一个正根一个负根或两个相等正根或者-零根正根8分0设h(t)=t2-mt+1-m,则满足h(0)<0或m或h(0)0一02由h(0)<0,彳41m<0,即m>10由m，得m272211分一02当h(0)0即m=1时，h(t)=t2-t,此时有一正根，一零根，满足题意综上所述，m的取值范围为m>i或12.分22.(1)证明：连结ON,则WJ/OBN=/ONB,ON±PN,且zOBN为等腰三角形，v/PMN=/OMB=90-/OBN,/PNM=90-/ONB,ZPMN=ZPNM,.