2016全国一卷理科数学高考真题及答案

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)理科数学一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合Axx24x30,x2x30，则AB一一3一3.33一(A)3,(B)3,(C)1,(D),32 2222 .设(1i)x1yi,其中x,y是实数，则xyi(A)1(B)22(C)V3(D)23 .已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100(A)100(B)99(C)98(D)974 .某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间

2、不超过10分钟的概率是一1123(A)3(B)2(C)3(D)4225 .已知方程T一一y一1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围mn3mn是(A)1,3(B)1,后(C)0,3(D)0,5/36 .如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28，则它的表面积是3(A)17(B)18(C)20(D)282x|7.函数y2xen在2,2的图像大致为(D)(C)8.若ab10c1,则(A)acbc(B)abcbac(C)alogbCblogac(D)logaclogbC9.执行右面的程序框图，如果输入的x0,y1,n1,则输出x,y

3、的值满足(A)y2x(B)y3x(C)y4x(D)y5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准开始线于D、E两点.已知|AB|=4，2,|DE|=2#,则C的焦点到准线的:输入x,y,n/距离为(A)2(B)4(C)6(D)811.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,ABCD=m,。平面ABB1A=n，则m、n所成角的正弦值为,3(A)万(B)£(C)1(D)二312.已知函数f(x)sin(x+)(0,的对称轴，且f(x)在1836单调，则(A)11(B)9n=n+1n-1x=x+,y=ny否结束一),x为f(x)的零点，x为yf(x

4、)图像244的最大值为二、填空题：本大题共3小题,每小题5分13 .设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,贝Um=.14 .(2x7x)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)15 .设等比数列an满足a+a3=10,a2+a4=5,则a1a2力门的最大值为.16 .某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg

5、,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分为12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc(acosB+bcosA)c.(I)求C；(II)若cJ7,ABC的面积为还，求ABC的周长.218.(本小题满分为12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,AFD90,，且二面角D-AF-E与二面角(I)证明：平面ABEF平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值.C-BE-F都是60.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2

6、台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数居下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X的分布列；(II)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据在n19与n20之中选其一，应选用哪

7、个？2220.(本小题满分12分)设圆xy2x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线Ci,直线l交Ci于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数fXX2x2eax1有两个零点(I)求a的取值范围；(II)设xi,x2是fx的两个零点，证明：x1x22.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22 .(本小题满分10分)选修4-1:几何证明

8、选讲如图，OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以O为圆心，1OA为半径2作圆.(I)证明：直线AB与。O相切;(II)点C,D在OO上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB/CD.23 .(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程xacost在直角坐标系xy中，曲线C1的参数万程为(t为参数，a>0).y1asint在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4cos.(I)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.x12 .由1Ix1yi可

9、知：xxi1yi,故，解得:_xy所以，xyi&y222.故选B.9a1ag92%9as27,故353,22a。3511053 .由等差数列性质可知：S9而3108,因此公差da。31090d98.故选C.7:30一Z4Q7:508:008:108:208:304 .如图茄值圆出时M勤:«二»ACDB小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时,4,解得m1才能保证他等车的时间不超过根据几何概型，所求概率P故选B.225.T-T1表示双曲线,mn3mn.2一2mn3m由双曲线性质知：c2m2焦距2c2210分钟10101_.402则

10、m2n3m2n022n3mn4m,其中c是半焦距S=48故选A.7.f28e2.820,排除A是一个球被切掉左上角的1后的三视图表面积是7的球面面积和三.扇形面积之和891.22+3122=17482.721,排除Bx0时,因此fxx042x-2xef单调递减,x4xex,当x排除C0,-时,4故选D.8.对A:由于0，函数yxc在R上单调递增,因此aA错误B:由于10,，函数c1ryx在1,上单调递减,bacabc,B错误C：要比较alogbc和blogac,只需比较alncblnc和InbIna只需比较lncblnb和ns,只需alnablnb和alna构造函数fxxlnxxlnx增，因此

11、fafb0又由0c1得lnc0,alnalncblnblncalna0,f1blnbx在1,上单调递alna.blnb,lnc一.D：要比较logac和logbc,只需比较和lnablogacalogbc,IlncC正确而函数ylnx在1,上单调递增，故lnclnc又由0c1得lnc0,lnalnblnbab1lnalnb0lna1lnblogaclogbc,D错误9.如下表:循环节运行次数n1xxx2yyny判断22”xy36是否输出nnn1运行前01/1A次01否否2第二次12否否3第三次236是是2y6,满足y4x输出x32故选C.10.2PJ5在圆x2_设,2折在圆x2r2上，5Er2

12、22-8r联立解得：故选B.11.如图所示:/平面CBiDi,焦点到准线的距若设平面CBdri又.平面ABCD/平面AB1GD1,结合平面B1D1c门平面AB1GD1B1D1BD1/m,故BD1/m同理可得：CD1/nn的所成角的大小与巳口、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B,CBDCD1（均为面对交线），因此CD1B1一,即sinCD1B3212.由题章知:471则4k1兀+2k<f(x)在I,兀卜2什f2,其中kZn5支一，一单倜，1836536tT,1218122接下来用排除法4Tt.汽一右11,一，此时f(x)sin1仅一，f(x)在4,4满足f(x)在二52单调1

13、836右9,一，此时f(x)sin9x一,满足f(x)在44故选B.二35递增，在1844-,5单调递减183635,52递减，不443613.-214.10156416.21600013 .由已知得：abm1,3121222,解得m”-2-2-2222abiabm13m14 .设展开式的第k1项为Tk1,k0,1,2,3,4,5kk.Tk1c52x5k衣C；25kx七.k51n当53时，k4,即T5C5254x210x32故答案为10.15.由于ana1a2a是等比数列，设anan2a3104a1q103314n5&qaq5,a1a2.23或4时，1n72 2an24941,其中a是

14、首项,a18解得：13 2r.n4二q22取到最小值6,q是公比.Inn72此时112nW7249n_2449N取到最大值26.16.所以&a2.an的最大值为64.中度干+A,两族x>,B产品y件,库行域为：根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造在(60,100)处取得最大值,17.解：包括边界，顶,(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)120Xz2100609001002160002coscacosBbcosAc由正弦定理得:2cosCsinAcosBsinBcosAsinC2cosCsinABsinC,ABCTt,A、B、C0,%sinABsinC

15、01一2cosC1,cosC一2_一式.C0,兀.C-3由余弦定理得：c2a2b22abcosC7a2b22ab122ab3ab7c13.3.3SabsinCab242ab6.2ab187ab5ABC周长为abc5J718.解：(1)ABEF为正方形AFEF AFD90AFDF DF】EF=FAF面EFDCAF面ABEF，平面ABEF平面EFDC由知DFECEF60AB/EFAB平面EFDCEF平面EFDC ABII平面ABCDAB平面ABCD 面ABCD。面EFDCCDAB/CDCD/EF 四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系，设FDa_a_3E0,0,0B0,2a,0C-,0

16、,aA2a,2a,0223aa2AB设面BEC法向量为mmEB0,即mBC0mv3,0,12ayiXiX0y,z.32ay1a2设面ABC法向量为nnBC=0Ex.即2%nAB02a”n0，工3,42X2,yZ2”.3。2ay2az2X20，V2cos21921919设二面角EBCA的大小为mjnl品1M_16面话EfBCA的余弦值为19解:每台机器更换的易损零件数为198,9,10,11记事件A为第一台机器3年内换掉7个零件1,2,3,4记事件B为第二台机器3年内换掉7个零件1,2,3,4由题知PA1PA3PA4PB1PB3B40.2,PA2PB20.4设2台机器共需更换的易损零件数的随机变

17、量为则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,2216B10.20.20.0417B20.20.40.40.20.1618B3A2B2B10.20.20.20.20.40.40.2419B4B3B2B10.20.20.20.20.40.20.20.40.2420PA2B4PA3B3PA4B20.40.20.20.40.20.20.221PA3PB4PA4PB30.20.20.20.20.0822要令Px<X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04PA4PB40.20.20.04n>0.5,-0.040.160.240.5,0.

18、040.160.240.24>0.5则n的最小值为19购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当n19时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040当n20时，费用的期望为202005000.0810000.044080所以应选用n19,如图,1,0|圆心A到PQ距离dx420.(1)圆A整理为x12y216,A坐标|2m|m11|-1m22-，1m所以|PQ|2|AQ|2d21112mSmpnq-|MN|PQ|2221.(I)f'(x)(x1)ex24m2161423m4、,1m2、3m24(

19、i)设a0,则f(x)(x2a(x1)(x1)(ex2a).x2)e,f(x)只有一个零点.2431L12,8312m1(ii)设a0,则当x(,1)时,f'(x)0;当x(1,)时,f'(x)0.所以f(x)在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.又f(1)e,f(2)a,取b满足b0且b一a_22f(b)a(b2)a(b1)2a(b2故f(x)存在两个零点.2b)0,(iii)设a0,由f'(x)0得x4e右a，则ln(2a)1,故当2x(1,ln()时，f'(x)0,因此f(x)在(1,)上单调递增.又当x1时，f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.f'(x)e,则ln(2a)1,故当x(1,ln(2a)时，f'(x)20.因此f(x)在(1,ln(2a)单调递减，在(ln(2a),0；当x(ln(2a),)时,)单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,).()不妨设Xix2,由(I)知X(,1