专题三：不定方程的整数解问题含答案

1、初中奥林匹克竞赛培优：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。【基础知识】1 .不定方程整数解的常见类型：(1)求不定方程的整数解；(2)判定不定方程是否有整数解；(3)判定不定方程整数解的个数(有限个还是无限个)。2 .解不定方程整数解问题常用的解法：(1)代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法(参

2、数法)等；(2)奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；(3)构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；(4)枚举法：列举出所有可能的情况；(5)不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；(6)无穷递推法。【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知x,y都是整数，且满足xy+2=2(x+y),求x2+y2的最大值.分析：由xy+2=2(x+y),得(x2)(y2)=2x_22fx_21fx_2_2fx_21因为(x2),(y2)都是整数，所以x，或，或，或y-'2=1y-'2=2y-

3、9;2=-1y-'2=-2_Cx=4_Cx=3Xx=0Xx=1解得i，或w，或w，或wy=3y=4y=1y=0故x2+y2的最大值为25注：一般地，整系数a,b,c,d的二次方程axy+bx+cy+d=0,可变形为：a2xyabxacyad=0分解，得(axc)(ayb)=bc-ad.求整数解时，只需把整数(bc-ad)分解成两个整数的积，axc=：转化为解几个方程组a,(这&<#=bc-ad)来解，通过取舍求出符合题意的整数解。ayb=#【例2】求方程x2y2+3x7y2=0的整数解(x,y).分析：原方程可化为4x2-4y2+12x-28y-8=0,配方得(2x+3)

4、2(2y+7)2+32=0所以(xy5)(x-y-2)=-8lxy5-8Jx-y-2=1因为(x+y+5)和(xy2)的奇偶性不同_Lxy5-1Ixy5=8Ixy5=1，或4，或4，或4Jx-y-28Jx-y-21Jx-y-28解得：(x,y)=(-5,-8),(2,-8),(2,1),(-5,1)2、配方法【例3】求3x2+xy+y23x+2y=0的非负整数解(x,y)的组数为()A、0B、1C、2D、3分析：由3x2+xy+y23x+2y=0,配方得4x2十(x3)2+(x+y)2+(y+2)2=13当x圭2时，左边>4x2216>13当x<0时，左边>(x-3)2

5、>16>13所以x=0或1当x=0时，代入原方程得y=0当x=1时，代入原方程得y=0或3因此共有3组非负整数解.3、分离整数法例4已知x,y是整数，满足x-y+3=0,ax-ya=0,则整数a的所有可能值有(分析：由x_y+3=0,ax_y_a=0,得x=亘±3=+4为整数A. 4B. 5C. 6D. 81-a1-a根据整除性质，可知：1a=±1,±2,±4,即a=-3,1,0,2,3,5共6个彳1.【例5】求x(x_1)+xy+y=51的正整数解.2xx51(-x2)(x1)49,c、49解：原万程可化为y=(-x-2)x1x1x1一，一

6、，一49一因为x为正整数，且二9-是整数，所以x+1=7或49,即x=6或48x1当x=6时，y=3；当x=48时，y=45<0舍去故所求正整数解(x,y)=(6,3)4、换元法例6已知：x,y为整数，且y=4020.x-2009-、x二2011,求y的最大值为分析：原方程可化为y=Jx+2009+Jx-2011,令a=Jx+2009,b=Jx-2011,则y=a+ba2-b2=(x2009)-(x-2011)=4020,.一.、_2_.(ab)(a-b)=23567因为(a+b),(a-b)具有相同的奇偶性，且都是正整数故y=a+b的最大值为2父3父5父67=2010.二、奇偶分析法【

7、例7】证明方程x2+y28z=6无整数解.分析：不妨设原方程有整数解，因为x2+y2=6+8z为偶数，所以x,y具有相同的奇偶性.若x,y都是偶数，令x=2a,y=2b,代入原方程，化简，得2a2+2b24z=3,左右奇偶数不同,矛盾。若x,y都是奇数，令x=2a+1,y=2b+1，代入原方程，化简，得a(a+1)+b(b+1)2z=1因为a(a+1),b(b+1)都是偶数，所以上式左边为偶数，右边奇数，矛盾.综上，原方程无整数解。【例8】求x2+y2=328的正整数解.分析：显然x¥y,不妨设x>y>0,由于328是偶数，故x,y的奇偶性相同，而328能被4整除，偶数的

8、平方被4除余0,奇数的平方被4余1,所以x,y都是偶数.设x=2a,y=2b,则a2+b2=82,由a>b>0,得b2<41,取b2=1,4,9,16,25,36对应a2=81,78,73,66,57,46,故只能取a2=81,b2=1,即a=9,b=1由x,y的对称性，因此所求正整数解(x,y)=(18,2),(2,18).三、构造法如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论，且当方程有整数解时，判别式为完全平方式。【例9】已知a,b都是质数，且a213a+m=0,b213b+m=0,求m的值.分析：若a=b=2,则426+m=0,即m=22；若a#b,则a

9、,b可看作关于x的一元二次方程x213x+m=0的两个根.由韦达定理，得ab=13,ab=m而a,b都是质数，由a+b=13,故a,b的值只能是2或11,所以m=22因此，所求m的值为2或22.【例10】已知a,b,c是整数，且满足a+b=3,c22c+ab=2,求a,b,c的值。分析：由a+b=3,ab=c2+2c2,可构造以a,b为根的一元二次程t23tc2+2c2=0根据题意4=94(c2+2c2)=4c28c+17=(2c2)2十13是一个完全平方式，因此存在非负整数k，使得(2c2)2+13=k2,即k2(2c2)2=13所以"2:13k-2c2=1-k2c-2=1k-2c

10、2=13，或k=7c=-23-k3-7所以t=,即a=5,b=2,或a=-2,b=522故所求正整数(a,b,c)=(5,-2,4),(-2,5,4),(5,-2,-2),(-2,5,-2)四、枚举法【例11】方程x+y+z=2010共有多少个正整数解?分析：当x=k(k=1,2,3，2008)时，y+z=2010-k,此时y可取1至U(2009k),一共(2009k)个解.又x可取1到2008,2008故原方程一共有£(2009-k)=2009x2008-=2017036个正整数解。k12注：方程x+y+z=n(nwN且n23)的正整数解个数为：心(n-2)(n-1)(n-2)(n

11、-1)”(n-1-k)=(n-1)(n-2)-k422思考：方程x+y+z=2010的非负整数解共有多少个？五、不等式分析法利用整数性或不等关系，确定出方程解的范围.【例12】求方程3x2+7xy2x5y35=0的正整数解.C2cCL分析：对于正整数x,y,由原方程得到y=7x-5因为x>1,y>1,所以一3x2+2x+35>7x-5,解得1ExE2分别取x=1和x=2彳导到y=17和y=3即所求的解为(x,y)=(1,17),(2,3)注：本题也可以通过分离整数法进行讨论【例13】求方程5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解(x,y,z)为多少组？，1114_分析：原方

12、程化为一十4=xyz5111143.设xEyEz,由一<一十+=一<一，得1cx<4,所以x=2,3.xxyz5x_11311132当x=2时，代入式，得'+1=±,由'<'+1=£_<4,yz10yyz10y得3<y<7，所以y=4,5,6将x=2及y=4,5,6分别代入式，得到所求的解(x,y,z)=(2,4,20),(2,5,10)当x=3时，代入式，同样的方法可以推出，方程无整数解.综上，及x,y,z的对称性，得到原方程有12组正整数解.六、无穷递推法【例14】试证明方程：x2+y2+z2=2xyz无

13、非零整数解.分析：我们只需考虑x,y,z都是正整数.显然x,y,z不能都是奇数，或一奇二偶，否则左边为奇数，而右边是偶数，矛盾。若x,y,z是二奇一偶，不妨设x=2a+1,y=2b+1,z=2c,则方程左边=x2+y2+z2=4(a2+a+b2+b+c2)+2不是4的倍数，而右边是4的倍数，矛盾。因此x,y,z只能都是偶数，不妨设x=2x1,y=2y1,z=2zi,代入原方程，得x12-y12,z2=4x1ylz.类似于前面的讨论，可以证明x1,%,4都是偶数。如此继续下去，我们可得到：x=2kxk,y=2kyk,z=2kzk由于上述过程可以无限地进行下去，因而k将无限地增大，即正整数xk,y

14、k,zk将无限地小下去，这是不可能的。故原命题得证.【针对性训练题】A组1、已知x,y满足xy一x-y=10,求整数x,y的值.xyyz=632、方程组iyy的正整数解的组数是()xzyz=23,A.1组B.2组C.3组D.4组3、已知关于x的一元二次方程x2+2(a+2b+3)x+(a2+4b2+64)=0无实数根，求满足条件的正整数a,b的值.4、已知a,b,c都是整数，且a2b=4,ab+c21=0,求a+b+c的值.5、方程xy|十|x+y|=1的有序整数解(x,y)共有组.6、设自然数x,y满足方程x3+19y=y3+19x,其中x<y,则x+y=.7、试确定一切有理数r,使得

15、关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有根且只有整数根.B组8、已知a,b,c都是正整数，且满足29a+30b+31c=366,则a+b+c的值为()A.10B.12C.14D.16一一-a，一，ab=m2一、人一有一，9、一直角三角形两直角边a,b均是整数，且满足i，试求这个直角三角形的三边长ab=4m10、已知：a为自然数，且关于x的方程2xaj1xa+4=0至少有一个整数根,则a可能的值为.x3y-2z=011、已知三个正整数x,y,z的最大公约数为3,且满足2222，则x+y+z=.2x-3y-z=013、已知a,b,c均为整数，且恒有(xa)(x-10)+1=(x+b)(x+c),则整数a=.“2i2-八-./rrI、r击心JEH'b-5a_6b一3c+15=0413/士12、已知a,b为整数，且满足«,求abc的值.a3c-4=0C组2114、已知正整数