动态几何中的相似三角形问题

1、动态几何中的相似三角形问题以图形的平移、翻折、旋转、动点问题等为代表的动态几何题，是中考的热点，本文以中考题为例介绍动态几何题中的相似三角形问题.一、平移问题例1(宜宾)如图1,在4ABC中，已知AB=AC=5.BC=6,且ABCDEF.将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点F在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.求证：ABEsECM;(2)探究：在4DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长;若不能，请说明理由；当线段AM最短时，求重叠部分的面积.解析乙日=Z.G又"+CElhf-jLAEC=,JlAff

2、Cm破F,LLAEF=",乙rCfM=BAEtA5£CM.(2)-MEF-CH=上GA£丹制£>4上LAME>小后当#£丁时，&13£右，CE=AB=5,.SE=BC-£C=11当A时=EM时，士MA月=£聘用3，汇MAE+ABAE=+上CEM,即£C4B二EbE又了£C=LJ：.ACAECKA.CEAC'“ACCH'.r_25应仃£25II+Ct-77=：=z，ZfEs6-=工LdOv(5>设AE=jt.又*；HECM,CMCECM6-j(,

3、B-1=Mm)J-ii-*BEABr'*5*:,CM=-j-x1+二-1(一3尸+小JJ=5一一3)J+y=*3);+9，,，.当工=3时/M最短为学.又尚8E=寓=3=BC时,点CfjBC的中点，AE1月J.AE=4J?.*=4t此时,E上4，:.fjw=/£-曲=竽，01612%上ayxyxy-点评此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题.注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键.本小题也可以用几何法求解.二、翻折问题例2(徐州)如图2,在RtAABC中，/0=90°,翻折/C,使点C落在斜边AB上某一点

4、D处，拆痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上).(1)若CEF与4ABC相似，当AC=BC=2时，AD的长为;当AC=3,BC=4时，AD的长为;(2)当点D是AB的中点时，CEF与4ABC相似吗？请说明理由.KI2图3解(1)若CEF与ABC相似，当AC=BC=2时，4ABC为等腰直角三角形，如图2所示.此时D为AB边中点，AD=/AC=42;当AC=3,BC=4时，有两种情况：(i)若CE:CF=3:4,如图4所示.CE:CF=AC:BC,EF/BC.由折叠性质，可知CDXEF.CDXAB,即此时CD为AB边上的高.在Rt&lSC中济C=3tBC-4,BC-5rAD*AC*cmA

5、h3x卷&L8.3）若CF：CE=3：4,如图5所示.VAC£F5CM，£CEF=£用由折叠性质，可知,CEF+ZFCD=90u.又7£A+£/?=90：/.4.4=Z.ECD,，AD=GD.同理可得£用=士FCA/0=肛:.AD-乂口=x5-2.5,综上所述，当AC=3,BC=4时，AD的长为1.8或2.5.图45(2)当点D是AB的中点时，CEF与4ABC相似.理由如下：如图5所示，连结CD,与EF交于点Q."CD是由儿3。的中线.CD=DB=ABf.LDCB=cR、由折控性质，可知CQF=LDQF-工LUCE+

6、LCFE=90a+M工90%AZCF£=£4.又/LC-£C,二ACFF5ACB儿点评本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质，第(1)问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意.三、旋转问题例3(宜昌)如图6,在ABC中，/BAC=90°,AB=AC.AOLBC于点O,F是线段AO上的点(与A、O不重合)，ZEAF=90°,AE=AF,连结FE,FC,BF.(1)求证：BE=BF;(2)如图7,若将AEF绕点A旋转，使边AF在/BAC的内部，延长CF交AB于点G,交BE于点K.求证：AGCAKGB;AB:BF

7、的值.当BEF为等腰直角三角形时，请直接写出斛析a)如图aHOJ.占C旦河日=AC,LOAC=45rAEAS-LEAF-LHAF=45，jLEAB=ZB/1F.-AE=死且=AH,，廓月FH.(2)如图7.VABAC=90w,A£AF=90口，ZE4/?+&RAF=乙刚,+LFAC=90J.LEAB=上以C.:AE二月，且AB=AC,J.福田&ZkAFC,匚ER*-AFCA.又；AKGB=£4GC,；.&CKB5AG4C:以85&G*J.二，心KH二Z.G-4C-90*.工LEBFc90°.(i)当LEFfi士90°fFt

8、,AM研二君:区(ii)当LEF我=90。时，Afi：SF=&：2.点评本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定.第(2)问证明出/EBA=/FCA是解题的关键点，注意：4AEF绕点A旋转时，/EAB始终等于/FAC.四、动点问题例4(苏州)如图8,点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时，三个点随之停止运动.在运动过程中，4EBF关

9、于直线EF的对称图形是EB'F,设点E、F、G运动的时间为t(单位：s).(1)当t=s时，四边形EBFB'为正方形；(2)若以点F、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t,使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.解析(1)若四边形EBFB为正方形，则BE=BF,即10-t=3t,解之得t=2.5.(2)分两种情况，讨论如下：若AKBFsAF6C,加立即10-(立对杓而=无,即日二子=国'B图S解之得工-2.8；若EBF-则有第二警，即L5t=12加'解之得r二4-2项(不合题意，舍去),或t=14+2J69.当t=2.8s,或t=(14+2J69)s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.(3)假设存在实数t使得点B'与点O重合.如图9,过点O作OMLBC于点M,则在RtAOFM中，OF=BF=3t,FM=1BC-BF=b-3t,O