变量代换求解常微分方程

1、快4利菽火筝题目：变量代换求解常微分方程（系）：理学院摘要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。变量代换法不仅是一种重要的解题技巧，也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性，不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法，我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型，这样能使求解问题大为简化，进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨，给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解1、 变量

2、代换法求解一阶微分方程32、 变量代换法求解二阶微分方程63、 变量代换法求解三阶微分方程74、 变量代换法求解n阶微分方程75、 变量代换法求解Euler阶微分方程96、 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用.107、 函数变换法求解常微分方程118、 三角变换法求解常微分方程139、 拉普拉斯变换求解常微分方程141变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程5=gQi,这里%=a1x+b1y+G是u的连续dxxdxa?xb2yC2函数，做变量代换u=）,使方程化为变量分离方程d=g（U）U,可求解。xdxx2）对于准齐次微分方程力ax+by+G,这里ai,bi,G,a2,b2,C2均d

3、xa2xb2yq为常数。当曳=5=曳水（常数）时，方程直接化为5=k,有通解:a2b2C2dxy=kx+c（c为常数）当旦=k#曳时，做变量代换u=a2x+b2y,将方程化为变量分离方a2b2C2程du.kuCi=a2b2dxuC2由上式可求解。biX=x当一#1时，做变换i口，其中（%P）为直线aix+b1y+ci=0a2b2丫=y-：和直线a?x+b2y+C2=0在xoy平面的交点，将方程转化为齐次方程dYa1XbYY=g-dXa2Xb2YX由上式可求解。3)对于更一般的类型5"ax+by+G，这里为，bi,ci,32,b2,dx'<a2X+b2Y+C2JC2均为常

4、数当曳=6=宜=k(常数)时，方程直接转化为5=f(k),有通解32b2c2dxy=f(k)x+c;当亘=?=k#%时，做变量代换u=az+b2y,将方程化为变量分离方32b2C2程dukuAa2b2f()dxuQ当亘时，作变换a2b2由上式可求解。J_X=x-口,其中(口，B)为直线a1x十b1y+C1=0Y-y-和直线a2x+b2y+c2=0在xoy平面的交点，将方程化为齐次方程/fdXaxbYa2Xb2Y由上式即可求解。4)对于方程dy=f(ax+by+c),这里a,b,c均为常数，作变量代换dxu=ax+by+c,将方程化为变量分离方程du=abf(u)dx由上式可求解。5)对于方程y

5、f(mxay)dx+xg(nxay)dy=0,这里mn,口均为常数，作变量变换u=x%,将方程化为变量分离方程du二ug(nu)-uf(mu)dxxg(nu)由上式即可求解。6)对于方程乂9电=f(xay),这里a为常数，作变量变换u=xy,是方程dx化为变量分离方程du_fuf(u)dxx由上式即可求解。7)对于方程M(x,y)(xdx+ydy)+N(x,y)(xdy-ydx)=0,其中M,N为关于x,y的其次函数，做变量变换u=化为变量分离方程x22fxduf(u)(u+1)M(x,y)；f(u)dxxM(x,y)u+N(x,y)由上式即可求解。8)对于Bernoulli方程dy=P(x)

6、y+Q(x)yn,这里P(x),Q(x)为连续函dx数，n#0,1为常数。当y#0时用y乘以原方程两边得-ndy1-ny£=yP(x)Q(x)作变量代换1-nz=y使方程化为线性微分方程包=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x),可求解。dx9)对于Riccati方程dy=P(x)y2+Q(x)y+R(x),当R(x)包为零时，Riccatidx方程就是Bernoulli方程，可采用8)中的变换求解；当R(x)不为零时，若y(x)为Riccati方程的一特解，作变量代换z=y-y(x),使方程化为一个关于z的Bernoulli方程d-=P(x)z2+(2P(x)y(x)+Q(x)z

7、由上式即可求解。10)对于一阶非齐次线性微分方程电=P(x)y+Q(x),若Q(x)=0,则方程dx变为一阶齐次线性微分方程dy=P(x)y,有通解y=ce(x)dx；dx若Q(x)¥0对原方程作变量变换y=c(x)e(x)dx,求得待定函数_P(x)dxc(x)=Q(x)edxc,代会变换，即得方程的通解。2变量代换法求解二阶微分方程1)对于二阶变系数齐次微分方程d2ydy(D2p(x)q(x)y=0dxdx设y=yi#0是方程(1)的一特解，变量变换y=yjtdx,将方程化为一阶线性微分方程yi+2yi+p(x)yit=0,可求解。dx2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程(2)d

8、2vdv而p(x)最q(x)y=f(x)当方程(2)满足巴需叫ci为常数)时，作自变量代换t=fvc2q(x)dx(c2为常数)(3)则方程(3)可化为c2q(x)#+11fq(?+p(x)Jaq(x)1当+4M)丫=f(x)(4)dt2Vq(x)dt方程(4)两边乘除以c2q(x),得.2'dy.q(x)2p(x)q(x)电/f(x)dt2202lq(x)3/2'dtc2sq(x)由于q(x)2P(x)q(x)q(x)3/2=ci所以q(x)+2p(x)q(x)293(x)3/2U=c=常数，又为常数,2.ac由此可知，方程(2)可化为二阶常系数线性微分方程dy17/y=g(

9、t)3变量代换发求解三阶微分方程1)考虑三阶变系数齐次微分方程,3,2,6dy5dy4dyx3a2x2'a1xaoy=0dxdxdx(6)1当a1=6和a2=6时，可作变换x=-,则方程(6)可化为,3,2dy2dydy3+(6+a1一2a2)x+(6az)xfa0y=0(7)dxdtdt将21=6和a2=6代入(7)得到常系数齐次微分方程.3dydx3-aoy=02)考虑三阶变系数线性非齐次微分方程裂+产-喙*+卜七盾-谓-“?+君日其中G=G(x),f(x)都是x的已知连续函数，且G(x)二次可微,G(x)#0,a,b,c为常数。作自变量变换t=G(x)dx,则方程可化为,3.2.

10、7dy7dy_3dy7G3+aG2+bG+cGy=f(x)(9)dXdXdX方程（9）两边同时除以G3（x）得到三阶常系数线性微分方程d3yd2ydy心GaGb最Cy=g(t)4变量代换发求解n阶微分方程1）考虑n阶非齐次线性微分方程ndx+dtndn-xdx-(10)设方程（10）对应的n阶齐次微分方程通解为n12dtndnJxdxa1mIIIan,疝anX=。(11)x二C1X1(t)C2X2(t)IIICnXn(t)(12)作变量变换，令X=C1(t)X1(t)C2(t)X2(t)Cn(t)Xn(t)(13)为（10）的通解。求出特定函数G（t）=Vi，i=1,2JHn,代入（13）,即

11、得（10）的通解。2）考虑常系数非齐次线性微分方程nnJdxdxdx/、水Lx-a1仃IHanjanX二Pm(x)edtdtdt(14)这里为但出1%是常数，Pm（X）=b0tm+迎，+川+bmJ+以。作变量变换,令乂=/“，则方程可化为a1十卯an瓦an(t)x=fdnydn,ydy/、n-+A-n-T+HI+Anji-+Any=Pm(x)(15)dtdt-dt其中A,A2.,An都是常数。对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解7=tk(B°tmBitm.BmtBm)故(14)有特解X=tk(Botm+Btm,+.+Bmt+Bm)e'x,其中k为特征方程F(入)=0的根

12、入的重数。3)对于n阶微分方程F(t,x,x',x(n)=0,当方程不显含未知函数x,或更一般地，设方程不含x,x，x(n),即方程：F(t,x(k),x(k1),.,x(n)-0(1<k<n)(16)作变量变换，令丫=x(k),可将方程降为关于y的n-k阶方程'n_k、F(t,y,y,.,y)=04)对于n阶微分方程F(t,x(k),x(k+),.,x)=0,当方程不显含自变量t,即方程F(x(k),x(k1),.,x(n)-0(17)作变量变换，令x'=y,采用数学归纳法不难证明，x(k)可用y,曲dx,k1J表示出(k<n),将这些表达式代入方程

13、(17),可使方程化为关于x,ydx的n-1阶方程dyG”dy,k4dx5变量代换法求解Euler方程形如nn1ndynidydyxTaix仃anxany=0(18)dxdx一一dx的Euler方程，这里a1，an为常数。对于Euler方程，我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。角度一：引进自变量的变换x=e;则t=lnx,通过直接计算及数学归纳法不难证明：对于一切自然数k均有关系式kdyk"dxk1口kJkJdtka"y=e(tdtk其中0i,葭.,儿都是常数。于是有kdykdx.k.kJ.(19)-12.-：3.：dy一.k1kJ.kJdtdt出将(19)

14、代入方程(18),就得到n阶常系数齐次线性微分方程kdnydnydyxk半少'.bn=bny=0(20)出出出其中。由2.,4都是常数。此方程可采用特征根法求得通解，再代回原来的变量t=lnx就可得欧拉方程(18)的通解角度二：由于n阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如y=e九的解，结合角度一中的推演过程，从而方程(18)有形如y=x"勺解，因此可直接求欧拉方程形如y=x的解，作变量变换y=xk,代入方程(20),并约去因子xk,即可得到确定k的代数方程，也是方(20)的特征方程k(k-1).(k-n1)a1k(k-1).(k-n2).an=0(21)因此，方程(21)的m

15、重实根k=k0,对应于方程(18)的m个解kokoko2komx0,x0lnx,x0Inx.,x0Inx而方程(21)的m重复根k=a+iP,对应于方程(18)的2m个实值解:xacos(Plnx),xalnxcos(PInx),.,xalnm_lxcos(PInx)xasin(PInx),xalnxsin(Plnx),.,x1nm/xsin(Plnx)6变量代换法在研究解或轨线性态中的应用1)考虑非线性常微分方程组dy=欠t；y),ywRn解的性态，我们通常将其与dx具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y=小(t)邻近的解的性态，作变量变换x=y-邛(t)使方程组化为dy

16、=f(t;x),从而使问题dx转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。2)考虑全相平面上的轨线性态时，常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态,如研究平面一阶非线性驻定方程组dx,22、x=xy-x(xy)dtdy22丁y-y(xy)dt的全相平面的轨线状态，做极坐标变换_lx=rcos-y=rsiM从而使方程组化为土=r(1一r)(1r)经分析可知r=1是稳定的极限环。7函数变换法求解常微分方程1)考虑函数变换法求解伯努利方程设dy八n=P(x)y+Q(x)yn(23)dx这里n#0,1是常数。P(x),Q(x)是x的连续函数。假设方程(23)有形如y(x)=u(x)v(x)的

17、解，则有dy.，,、一=u(x)v(x)+u(x)v(x)(24)dx将上式代入方程(23),整理可得_nnu(x)(v(x-P(x)v(x)=Q(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)(25)若令v(x)=P(x)v(x),则Q(x)un(x)vn(x)u(x)v(x)=0(26)用变量分离法可以求得P(x)dxv(x);ce若选取c=1,贝Uv(x)=e卜。将v(x)=e'P(x)dx代入(26),求得1/1-n(n=)P(x)dxu(x)=1-n.Q(x)ec1/1-n(n)P(x)dxc于是，方程(23)的解为P(x)dxy(x)=u(x)v(x)=e1-nQ(x)e特别的，当

18、n=0时，得一阶线性非齐次方程5=P(x)y+Q(x)的解为dxy(x)=eP(x)dx_P(x)dxQ(x)ec这与常数变易法求得的通解相一致。2)考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设dv2-/、T=P(x)y2+Q(x)y+R(x)(27)dx其中P(x)、Q(x)、R(x)是其中某个区间内的一阶可微函数，且P(x)#0。设方程(27)有形如y(x)=u(x)v(x)(28)的解，则方程(27)可化为u(x)(v'(x)-P(x)v(x)=R(x)+p(x)u2(x)v2(x)-u'(x)v(x)(29)v'(x)=P(x)v(x)求得P(x)dxR(x)

19、22v(x)=ce及u'(x)=+p(x)u(x)v(x)-u'(x)v(x)v(x)则上式化为p(x)v(x)=g(x),R(x)v(x)=h(x)dy2=g(x)u(x)h(x)dx此方程可通过公式法或者观察法求解u(x)，则Riccati方程的特解可表示出来。8三角变换法求解常微分方程在求积分时，当被积函数有形如土(a2+x2),Ja2±x2,Jx2±a2等形式时,可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以考虑三角变换法。1)对于Chebyshev方程:x2xdyn21-xdx1-x2x；1,n=0(30)做三角变换x=sint,并求得名,dxd2ydx2d2代入原方程，整理得A2+ny=0,由上式可解得y=c1cosntc2sinnt所以Chebyshev方程的解为y=c1cos(narcsinx)c2sin(narsinx)2）对于三阶变系数微分方程,32dya2(x)dya(x)dya。-；3-2,2-2-272y-0dx1xdx1xdx(1x)(31)当原方程满足a1(x)=6x22c2x