02数量积与向量积ppt课件

1、一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 完毕 数量积 向量积 第七章 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 , 称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0baba2. 性质性质为两个非零向量, 则有aa) 1 (2aba,)2(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0cos2bababa20cos0cos0

2、bababa证明：证明：(3)两个非零向量的夹角的余弦babacos3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ABCabc例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:那么cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设那么 212121222111zzyyxxkzjyix

3、kzjyixba222222212121212121coszyxzyxzzyyxxbaba两向量的夹角公式两向量的夹角公式 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,222111kzjyixbkzjyixa. i j kijk 1 0 0 0 1 0 0 0 1MB,MA BM例例2. 已知三点已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支

4、点 ,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM考虑考虑: 右图三角形面积右图三角形面积abba21S机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 性质性质为非零向量, 那么，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0bas

5、inab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 i j kijk 0 k -j-k 0 i j -i 0,222111kzjyixbkzjyixa设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 kyxyxjzxzxizyzyzziyzjxzizyyykxyjzxkyxxxkzjyixkzjyixba122112211221212121212121212121222111000那么向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法机动 目录 上

6、页 下页 返回 完毕 222111122112211221222111zyxzyxkjikyxyxjzxzxizyzykzjyixkzjyixba说明：在计算时，按照行列式的第一行展开说明：在计算时，按照行列式的第一行展开举例,3,22kjibkjia设baba ,求ba131221kji 5261123211bakji38例例4. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如下图如下图,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三机动 目录 上页 下页 返回

7、完毕 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB机动 目录 上页 下页 返回 完毕 22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba机动 目录 上页 下页 返回 完毕 22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求