第2章 线性时不变系统

1、第第2章章 线性时不变系统Chapter 2Linear Time-Invariant Systems第2章 线性时不变系统n2.1概述n2.2离散时间LTI系统：卷积和n2.3连续时间LTI系统：卷积积分n2.4LTI系统的性质n2.5用微分方程描述连续LTI系统n2.6用差分方程描述离散LTI系统n2.7小结2.1概述概述（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）：l很多物理过程都具有这两个性质l这些物理过程能用LTI系统表征l可以对LTI系统进行详细的分析：l能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示l根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性

2、质求得整个系统的输出（2）单位冲激响应（Unit impulse response）l一般信号可表示为延迟冲激的线性组合lLTI系统的单位冲激响应能完全表征LTI系统的特性2.1概述概述（3）离散时间情况下的卷积和（4）连续时间情况下的卷积积分（5）分析其它LTI系统的性质（6）线性常系数微分方程描述的连续时间系统（7）线性常系数差分方程描述的离散时间系统2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和（1）用单位脉冲表示离散时间信号（1）Representation of DT Signals in Terms of Shifted unit Samples 筛选性质（sifting p

3、roperty）2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和（2）离散时间LTI系统单位脉冲响应及卷积和表示（2）The DT Unit Sample Response and the Convolution Sum Representation of LTI Systems2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和LTI系统响应的卷积和表示：2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和LTI系统响应的卷积和图示2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和

4、例题：考虑一LTI系统，如图所示，其单位脉冲响应为hn，输入为xn，则输出 0 01 1y nxh nxh n0.5 2 1h nh n2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和n卷积和计算的可视化卷积和计算的可视化2.2离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和例题：已知输入xn和单位脉冲响应hn为 ,01 nx nu nh nu n由图可知，对于n0，xk和hn-k的非零部分没有任何重合，所以对n0而言， xk hn-k对全部k值都为零，故n0，yn=0对于 ，因此，对于 ，因此对于全部n，就有0n ,0 0,kknx k h nk其余k值0n 101 1nnkky n11

5、() 1ny nu n2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分（1）用单位冲激表示连续时间信号（1）Representation of CT Signals in Terms of Shifted unit Impulses输入信号可以用一串延时脉冲的线性组合来表示2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分（2）连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示（2）The CT Unit Impuls

6、e Response and the Convolution Integral Representation of LTI Systems2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分n卷积积分的图解说明2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分n连续时间卷积积分的计算2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分2.3连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分举例：设某一LTI系统输入为x(t)，其单位冲激响应为h(t)( )( ),0( )( )atx teu t ah tu t0, ( )( - )( )0txh ty t与的乘积为零，所以00,

7、0( ) ()0,11( )(1)0( )1( )=(1) ( )ataaatattetxh tty tedeeaaty ty teu ta 对有其余 值因此，对全部 ，是2.4 LTI系统的性质离散时间LTI系统用卷积和表示连续时间LTI系统用卷积积分表示LTI系统的特性可以完全由其单位冲激响应决定2.4 LTI系统的性质卷积的交换律性质The Commutative Property of Convolution2.4 LTI系统的性质卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律Three algebraic properties of convolution2.4 LTI系统的性质交换律性

8、质的解释：An interpretation of commutative property2.4 LTI系统的性质卷积的代数性质导致的一个结果就是LTI系统能够以任何次序串联2.4 LTI系统的性质卷积的分配律性质导致的一个结果就是LTI系统的并联能够融合成一个LTI系统2.4 LTI系统的性质有记忆和无记忆LTI系统Memory:Memoryless: 只在 时非零( )( ) ()y txh td()h ttCT: ( )( )DT: h tkth nkn( )( ) y tkx ty nkx n2.4 LTI系统的性质若k=1，这些系统就变成恒等（Identity）系统：输出等于输入；

9、单位冲激响应等于单位冲激此时卷积和与卷积积分公式变成上式其实就是DT和CT单位冲激函数的筛选性质 * ( )( )* ( )x nx nnx tx tt ( )( ) ()kx nx knkx txtd 2.4 LTI系统的性质LTI系统的可逆性 Invertibility11( )*( )( ) * h th tth nh nn2.4 LTI系统的性质LTI系统的稳定性（Stability）BIBO: Bounded Input Bounded Output设一输入xn 是有界的，其界为B，即则按卷积和公式如果单位脉冲响应是绝对可求和的，即那么yn就是有界的，因此系统是稳定的 ,x nBn对

10、所有的 ky nh k x nk ky nh kx nk ,ky nBh kn对所有 kh k 2.4 LTI系统的性质对连续时间系统，若|x(t)|B，对全部t，与离散推导类似有若单位冲激响应是绝对可积的，即则该系统是稳定的( )( ) ()( )()( )y thx tdhx tdBhd( )hd 2.4 LTI系统的性质LTI系统的因果性（Causality）离散时间LTI系统因果性的条件：连续时间LTI系统因果性的条件： 0,0h nn( )0,0h tt0 nkky nx k h nkh k x nk0( )( ) ()( ) ()ty txh tdhx td2.4 LTI系统的性质

11、举例：累加系统（accumulator）它是LTI系统，其单位脉冲响应为 nky nx k h nu n 0,0 nh nknMemoryh nnCausalh nNotStable 2.4 LTI系统的性质LTI系统的单位阶跃响应 Unit Step Response 定义：单位阶跃响应sn或s(t)是当输入xn = un或 x(t) = u(t)时的系统输出响应DT LTI系统，根据卷积和，其单位阶跃响应就是单位阶跃序列与单位脉冲响应的卷积 * * , 1 nks nu nh ns nh nu ns nh nu nu ns nh kh nh ns ns ns n根据卷积的交换律此时可看成输

12、入是单位脉冲响应为时的响应是累加器的单位脉冲响应，因此有可以依据从中恢复出来2.4 LTI系统的性质从以上推导得出以下结论：DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数；DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分同理，对于CT LTI 系统：单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数( )( )ts thd( )( )( )ds th ts tdt2.5用微分方程描述连续LTI系统n线性常系数微分方程2.5用微分方程描述连续LTI系统n线性常系数微分方程的解2.5用微分方程描述连续LTI系统n齐次解的形式2.5用微分方程描述连续LTI系统n线性常系数微分方程需要辅助条件2.5用微分方程描述连续LTI系统n例题：2.5用微分方程描述连续LTI系统2.5用微分方程描述连续LTI系统n齐次解：自然响应（natural response）n特解：受迫响应（forced response）2.6用差分方程描述离散LTI系统n线性常系数差分方程2.6用差分方程描述离散LTI系统nN阶线性常系数差分方程的解2.6用差分方程描述离散LTI系统n齐次解的形式2.6用差分方程描述离散LTI系统n线性常系数差分方程需要辅助条件2.6用差分方程描述离散LTI系统n线性常系数差分方程