第三章量子力学中的对称性和角动量

1、量子力学中的对称性和角动量§3.1引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。经典力学中，Ha

2、miltonian决定了体系的运动规律，看H是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。守恒量。-表示u是一个运动常数。如u和H不显含时间，则Uh=0量子力学中，pl匚运动方程为i-J=.F,H1，其中力学量为算符F,H丨-0-二者具有共同的本征函数。dtWigner-Weyl实现：态的对称性直接反映了H的对称性。§3.2转动态的定义和转动算符§3.2A转动态的定义在经典物理中，转动后坐标的变化为rm,U,p丄Rp如果n为z轴，转动角为v，则x'=xcos日-ysin日，px'=pxcos°-pysin°,'co

3、s日-sin日o1X）y'=xsin日+ycosT,Py'=PxSin日+Pycos日,y'=sin&cos6o1yz'=z,Pz'=Pzi才丿<oo1丿.z)在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数r，将它绕空间n轴（z轴）转动一个角度二，此操作为作用在波函数上的算符Rnj，则Rnjr='?'r。转动态的定义：-转动态。left=R（r|屮）=（rRWbright=（r即'）一物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面举几个例子说明），则可称之为转动态。在坐标系中，-：r为标量

4、函数，存在'-'r'='JTr和r'=Rr,屮'(r)=屮(R-r)。现在，证明上式满足转动态的要求。转动前，平均位置x=jdr'-：*rx'-：r转动后，平均位置X'='?'=dr"'*r'x"'r'二dr*rx"r=dr'rxcosv-ysinr二xcosv-ysinv3.2B算符的转动令Rnc为转动算符。Rn,r-rRr，转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化：屮)=1=仕'屮')=(!?屮|凯*阿r+R屮)，

5、则。即转动算符R为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。物理过程：转动前后平均值不变。任一算符F的平均值为：F=.卯？罗RrFRRjRFFR.-!'rFrt；二汀0t'转动后，新算符P'RpRl量子力学中，可观察量的转动。5?=xcos日十？si即变换使坐标转过角度日，同时使体系的可观察量转过角度为-日。3.2C态的无限小转动-求转动算符的具体形式态的无限小转动，绕z周的转角、；为无限小，则x'=x-y、丁,y'=x丁y(1)自旋为0的粒子波函数,fa公、屮'(r)=屮(Rr)=W(x+y68,yx前,z)=W(x,y,z)+旳y_x艸(x,y,z)

6、馭两)加切小城加切小城x,y,z定义z方向的轨道角动量算符，g=iXy£-x空IEx矽推广到任意轴n的微小转动，有W'(r)=in$(r)无穷小转动算符为，Rn户-1-丄"？n.2009-10-14上课内容系波函数为,沖i(r)旳）丿1 宀2ri。2 2（2）自旋为1/2的粒子的波函数。此时，波函数为二分量，记绕z轴转动，证明波函数为屮'（r）=1-丄血z】*（RrY2丿物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即（警'5?空'）=（空x屮一6%空|y|普）叩rr'1'Jr'1，2"2当转动角

7、度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为n0n010"00/00JP'xr1600、1r0600"=_se1o|7.y=7+00宀丿1001丿卜丿<00°'00此处，定义sz=卉i00300?胡1?.、从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，屮'（r）=1-一护（r）,则总波函数为rr'1Tr'1二1-旦1-r22丿=J_谡耳亘）*（）_丢掉二阶项。则任意轴无限小角度转动算符，R（n，旳）=1_冋L；S）n，其中粒子的总角动量算符可以写为J=LSi、Jn3.2D态的有限角度转动绕n轴无限小角

8、度转动算符为其中-=-0。m绕n轴转过有限角度，R(n,日)=limm*R(n,前jT=lim丄工Jnm=limm匸exp三维空间中的有限转动,：,'-,。R=RR：R：3.3角动量的一般性质角动量算符的三个分量角动量算符的三个分量jx,jy,jz，满足下列对易关系:x，jyLj定义角动量平方算符为J?=j；+j：+j；定义角动量的升降算符，_!_/_|_1/2|2|/2|2_|_存J：JxIJy二jjxIJyjx-IJy=jxjyijyjx-jxjy=jxjyjz证明对易关系:证明对易关系:因为，j2,jzL°，二者的共同本征态为jm，有j2jm)=j(j+1严jm),jj

9、m=j|jm)证明升降算符的物理意义。jjm的意义：为jz的本征态，本征值为m.jzjjm=m1jjmjjm二jm1jzj_jm：Um-j_jm.j_jm,jm-1j2的本征值-？j.jj=0222222jjxjyjzjzjj_=jzjzjj2jj)=j；|jj)+jz尙j)+jjjj=旳+1严|"用j反方向作用，j_jH=0o=(ji|jJji>=(ji|皿山|)=51+吟加=向+1严-|2胪十|胪由此可得，i=-j。jl)=(j|jj，l一j，j-1=n，2j=n13n=0,1,2,3,.；j=0,护，2,对于每一个固定的j,m=一j,一jT,.j一1,j,共2j1个。证明

10、：j_jm?=gjj-1-mm_1jm_1j_jm)=cjm1)jgjm)=(jm|(j2_j；+jpjm>=j(j+1户2m(m1户2二c2j丄jm)=J76+1尸-m(m一1jm-1)2009年10月16日星期五上课为什么重要的是j2?标记任意转动下的态，要用j2的本征态。因为j2,R】=0,任意转动算符R可以用jx,jy,jz组合而成，所以只要'-j2,jj=0O证明过程:因为*j2,jzLj：+j：+j；，jz】=j；jz】+【j：,jzjxjyjyjxjyjxjxjy=。'j2,jj=0,'j2,jj=0所以，j2,RL0。将j2的本征态标记为j）,j2

11、j）=%j），经转动R后，转动态为Rj）。Rj）的物理意义：j2Rj）=（Rj2j"仆j）。表明，转动态的全体Rj）形成一个不变子空间。该子空间用本征值打标记。转动时，态只能在子空间内变化，其中任何态不会因为转动带到子空间之外。算符j2的重要意义：将态空间按其本征值'j自动地分解为转动不变子空间。则关于转动时态的变化问题，就只需在各个不变子空间中加以讨论。转动子空间为j2的简并空间，还需一个算符jzj2,jzL。（好量子数）才能解除简并。记为Ijm),j2|jm)=九Ijm),jz|jm)=m办jm)。证明:从前面的内容可知，jj12。利用升降算符j_=jx-ijy，则j2=

12、jz2zj_j=jz2-zjj-。现设jm)为j2,jz的共同本征态，贝Vj2jmj=対jmj,jzjm)=m幷jm)。且Ij2,j0则j2j_jm二j_j2jm=jj_jm,j_jm二_j_jm二m_1j_jm。从本征态jmj出发，得到j2,jz的一系列本征态：.,j2jm,jjm,jm,jjm,j2jm，-必有上限和下限。,m2,m1,m,m-1,m-2,.计算平均值，(jmj2jm)=(jmj：jm)+(jmj：jmj+m2护n煮工m2护现令'jjmmax厂0,j_jmmin?"j2jmmax=(j；+内z+j+Pjmmax)=mmax(mimax+'伊|jmm

13、ax-j2Rmin)=(j；-轧+j*Jjjmmin)=mmin(mmax1Rmin)2因为j_不改变j的本征值，所以mmaxmmax1二mminmmin-1。则mmax二-mminmmax二mmin-1。因为mmax'mmin，所以mmax=mmin=j。'j-m='Mmax=j。因为jz是角动量算符Z方向上的投影，所以m的最大值mmax二j以上可知，;jj12。2表明，对于同一个j，张成j的2j1维简并空间。§3.7对称性和守恒律3.7A可观察量和不可观察量有限转动算符戌1：川j是幺正算符，不对应于可观察量。但它的无限小生成元（角动量算符?）为可观察量。R

14、Z=e4Jz=1-丄Jz态屮）在在旋转瓦（日库用下不变，即它具有绕z轴的旋转对称性，戌但艸*e严屮。旋转不变:e八=1旋转前后相差一个相因子，不影响波函数的物理结果。起点：二-0终点：B=2兀nexp_$2Jzk）ue"1*）I）若,H/nJz屮）=m忆二eJJz/reJA叶铲）屮）上式中，e12二=1要求m为整数若，e=1二J屮*m甲）nexp'Ajz）=expi；25b）=-）I丿I丿1上式中，e丄=-1=m,m为半整数。22009-10-21上课内容亠1Q-Q，说明Q是从特殊到一般:体系在某个变换Q?下具有对称性，即|屮）t|屮=Q屮）（1）保持几率不变，tyiQQg：

15、y；，qq=1=个幺正算符。（2）保持运动规律不变,i|屮'、=H?屮'，设Q不显含时间，则.:t屮）=2屮.:tHT'=HQ.Qi，HQ.t;:t二和Qi:ct:t屮）=qH?屮）可得体系在变换下保持不变性的条件为，Q,H=QH-HQ=0。考虑无限小变换，Q=1-i；F?，式中；为无限小变换的参量，由于QQ=1，则ihr-iF=17；-0o；2=0=0=1?，即F是一个厄密算符，对应于一个可观察量。Q=1-iF?,0?,2L°二匕用二。，即F?是运动中的一个守恒量。量子力学中的一个对称性变换往往对应于一个可观察量的守恒性3.7B空间的均匀性及动量守恒把体系沿

16、着x方向平移一无限小距离；，用算符D?x；标记变换操作。若体系具有空间平移不变形，则Dx；,H?Lo。将平移操作算符作用到一个态上，'XL'X1=3x1=¥-；刖（x）-亠屮（x）=U：我如（x），由定义可知Px,R】=0，即动量守恒。i；:x3.7C时间的均匀性与能量守恒把体系的态严（t）在时间上平移一无限小量T，用算符I?*）标记操作,屮'（t）=3w艸（t*=|屮（t+可'仆1三屮（仃=丄丿i屮'（t）=3w艸（t*=|屮（t+可'仆1三屮（仃=丄丿i屮(t+tRI屮(t)厂日屮(tj=:t：t若体系的演化具有时间不变性，则体系能

17、量守恒。§3.8空间反演和宇称3.8A量子态和算符的宇称空间反演：rt_r。反演算符记为I?，存在I?x）=1?-x）。作用一次，屮（xH屮'（X）=（x|l?|W）=（_x|屮）=屮（x）连续作用两次，'X'''X-X?；=xH''x-?才。因为对称性算符均为幺正算符，二二=1二丄二，则其也是厄密算符（真实的物理量）。作为厄密算符，其本征值为二1。在经典力学中不存在宇称这个力学量，因为没有能使r>-r的突变。证明:设其本征值为丸，则口|丸）=屮",口2=汩&）=九）二加=1=九=±1。偶宇称态

18、：'evenX-SvenX，本征值为1。奇宇称态：t°ddx=_ddx，本征值为-1。例在中心场中运动的粒子,r-r：=rrr,r)二-v，'-:,其宇称本征值为口=（_1。如何判断Hamiltonian具有宇称对称性？在空间反演变换下，算符x，p,J的变换?创如：H=-沪+卩（訂，故爭样守也.*祥与乃綁二=117-二-或花嘤十冃苣一八弋启*2，七：瓷足】岩戈rt§-thV,§-thV,ib”、防讪八亠直丄A/j-q.M卜。故厂勺疔義I可朮征舟一何处：共伺歌征矗-?r皆就t勲址左是球常旳霰pHICOi|.l-cot-&r|cot2s-i?I

19、tJ旻桂F下，Ffr,f?>.二劇15盯i卜】尸“|%®旳.尸(_尸.(-矿宀比(*岸卜卜1严比(斟衬-(-1丫£(,*)与於.£的兴罔林姿載是理帶确（也列”问题：育卄化莅里宜力黑申jf罕克込-勺哮回*:宦舍典力学申无崑费.不从F轰费到一F.量子力学中的算符分为奇宇称和偶宇称。（算符的宇称变换）例子：体系Hamiltonian具有空间反演对称性，即H,二】=0。本征方程，HEn）=EnEn）,口E.）=人|Ej。证明：矩阵元（E.XEn=03.8B宇称守恒定律（1）量子态具有宇称量子数_1二经典物理中的“自然界中存在基本的左右对称性”。（2）量子力学中，哈密

20、顿量H?支配系统的运动规律。H?,：?Lo保证了H?中不包含赝标量项。PX为标量，而PS为赝标量。:?PxNJpx,NpS?-PSNig(3)多粒子体系的总宇称。hi-1ljp=：-1lkPk-宇称守恒定律。jk3.8C宇称不守恒的发现1956年，杨振宁和李政道根据当时粒子物理研究中一个关于荷电K介子的衰变问题(v一.之谜)，怀疑宇称不守恒定律不一定是普遍正确的。2009-10-23上课内容§3.9时间反演对称性1932年，Wigner在量子力学中引进了时间反演(运动的可逆性)。无自旋粒子的运动方程，ittot假设H?不含时间，对运动方程进行操作，ix,-tWx,-tt)屮ix,-t

21、Wx,-tt)屮x,-t为反演后满足方程的解。i'x,t=H?-x,t_t作时间反演操作，X,t；-：'*X,-1o考察二者之间的关系。在时间反演下，时间反演算符T?，使得|a)T|&)=吓)，P)T|=ToT?为反幺正算符T?为反幺正算符，存在T?GC2二c；T?丁c；T?.-反线性算符乘积形式：T?-l?K>，为幺正算符和复共轭算符的乘积。T?C1：C2丁=l?K?C1：C2二c；ilK?畧：；-c；ilK?二c；T?c；f-反线性算符算符在T?作用下的性质:(1) Hamiltonian是时间反演不变的；H?TW=二HT?(2) 位置算符；x>T?T?

22、>?-实算符(3) 动量和角动量；?'八？-虚算符了T一了(4) 自旋算符；繆>-；：?，类比角动量。T?jm>=(T)j如j-m)§3.4两个角动量的耦合，C-G系数两个角动量耦合的多种方式：（a）自旋与轨道角动量耦合：Is=j;（b）两个自旋耦合：毎二S；（c）两个轨道耦合：l1lL；（d）耦合后的自旋与轨道进一步耦合：SL=J；（e）先合成轨道，再合成：j1jJ,jS|l1,js2l2；采用何种耦合方式，需具体分析，各种相互作用的强弱。在实际计算中，在一级近似下，以上各种方式均可作为理想的数学问题处理。两个不同表示空间中的ji和j2,它们耦合为J的角动

23、量，可以严格地写成：J=jj：II：j2其中，I为空间中的恒等算符，两个空间是独立的，可以有不同的维数（例如自旋空间是2维Hilbert空间，轨道表示空间是无限维的，指定I，其子空间是2I+1维）。问题：两种表示之间的幺正变换的矩阵元为C-G系数（矢量耦合系数）。直乘空间的基：由两个子空间的基直乘而得，记为h2；0叫）=|jm）糾j2m0不同空间中的j1和j?是对易的（无相互作用），显然j：jij2；mim2）=ji（ji+1严jjmmh）jizjij2；gm?）=叶办jij2；gm2）j2jij2；mim2）=j2（j2+i沪2jij2；mm2）j2zjij2；gm2）=m2办jij2；mm

24、2其中，ji,mi,j2,m2都是好量子数。发生相互作用后，两个角动量耦合，基为jij2;jm，好量子数为J,j,ji,j2。ji2jij2；jm）=ji（ji+i严j；jm）j；jij2；jm>=j2（j2+i户2|j；jm）J2j；jm）=j（j+i严j"；jmJzjij2；=m（m+ipjij2；jm）为何mi,不再是好量子数，因为J2,jiz0,J2,j2z0。222由=(jl+J2卜(Ji+J2)=Ji+J2+Ji，J2+J2JiJ210Ji=Jix丄IJiy,J2二J2x=IJ2y实现两种基之间的幺正变换，利用完备性关系送送|JiJ2；mh,m2JiJ2；mi,m2

25、=i，得到mm2jij2；jm）jijzmmXJi2；0皿|JiJ2；Jm；叶m2上式中，门；"1!，叫JiJ2;Jm正是两种基之间的幺正变换的矩阵元（即CG系数）。2009-i0-28上课内容CG系数的性质：（1）3个磁量子数间存在简单代数关系：m=mi+m2（证明），因为Jz=jiz+j2z，所以Jz-jiz-J2zJij2；Jm=0=Jij2；mim2Jz-jiz-j2zjij2；jm；mm-叶-m2jjmmbJiJ2；Jm-0；JiJ2；mim2|jiJ2；jm,7=m-g-m?=0（2）IJiJ?兰J兰Ji+j2。说明：从角动量的矢量相加法则可知，jmax=ji+j2,jm

26、in=|ji_j2证明如下：设系统的两个角动量为Ji,J2，总角动量为J=jr+j2。因为ji,j2作用在不同对象上的算符，所以对易，'-ji,jj=0。ji2,jiz,jl,j2z的共同本征态记为ji2；耳皿）三|jig）糾2叫）。对于确定的Jij，Ijig）有（2ji+i）个，I2叫）有（2j2+i）个。二者张成j；,j；的2jii2j2i维简并空间。耦合后，总转动的基Ijjjm对于一个确定的J张成（2j+i）维的不可约子空间，总维数为jlj2N=、2j1j2=2"2j1_'j212j1j21Lj1j2Ij1j21=2ji12j21(3) CG系数(取为实数)构成

27、幺正矩阵。行与列的正交条件,(jd2；jm2；耳口2)=02；耳口2j1j2；jm，则幺正矩阵为正交矩阵,工仆12；0口2jl；jmXjjEm；j1j2；jm)=6m,m,m2m2'j=L(j1j2；gm2j1j2；jm)j1j2；jmj1j2；m'1m'2)jj=衣mm1'衣m?m2'送(j1j2；gm2jj2；jm)j1j2；mim2jjjm'=6jj6mm'me?=s(j1j2；jmjjimmXjjmrmj1j2；j'm')=Z(j1j2；jmj1j2；j'm')叶口2=jj'mm'取

28、特例，令j=j',mmim2，则有态的归一化条件无|仆12；0口2j1j2；jm)|=j1j2；jmj1j2；jm=1mm2(4) (jjimrnjj；jm=(-1)P2T(j2j1；m2m1|j2j1；jm)(5) 几个常用的CG系数。§3.5转动算符的矩阵表示D函数有限转动算符在基jm)中的矩阵(2j+1(2j+1)表示，记矩阵元为D'眉)=jm'exp-gn丫|jm)-D函数，Wigner函数。这里，j是确定的，因为J2,rLo。D矩阵称为，转动算符R的2j1维不可约表示。性质：(1) 无转动，v-0,D=I;R是幺正的，贝UD是幺正的；(2) D矩阵的

29、乘法。两个连续的转动为一个转动，则、Dm爲R1Dmjm只2二。丿如尺只2；m'D矩阵元的物理意义。(要作用到态上才看得出意义)m'D(R)jm)W|jm')(jm'D(R|)jm)=£|耐冋慣)DmjJ(F?是D(R対jm)态作用后产生的态jm')的振幅。般的转动。(5)计算D矩阵，采用欧拉角表示一:1举例:j二2，JyD'm=.jjm.-对的依赖关系简单。22ii仃ii订一玉Jy卩二一韦JyI卩fry2<丄3!22-丄Jy44丄Sy!4人斤2y4J2(.1一CJl卉2yPi2y4厂匚13!P+1-'21.22-"

30、;y2十1J，y22.丿4!12.丿=cosUsin12丿y12丿律1IIm12丿丿2=1=1-i；y仏2丿一32丿_j1dm'm2Nj：Adjjm)yETm伸)cos7sin二2i们-sin22般公式dmim：(此处不证明)。(6)-(9)中的内容在群论中可以找到(6) D矩阵元与球谐函数的关系。(7) 磁量子数翻转的对称性。(8) D矩阵的耦合规则。jlj2；mmO=瓦Cj1m1,j2m2j2；jm)jRjij2；gm2)=送CjMzRjij2；jm)jZjij2；m'im'2)(jij2；m'im'2Rjij2；gm2)m'im'2

31、|jij2；jm')ECJjimni,j2m/jij2；jm'Rjij2；jm)m'j迟jij2；m'im'0DmJJiDmU|jij2；jm')送以馬心?。*m'im'2m'jzm'zm'CCi,J2m2DmQ|JiJ2；jm'=ZIJij2；mimJij2；mimZCjJmi,j2m2DmJ'4JiJ2；Jm)叶口2m'j=EIjij2；mim送Cjimi,j2m2DmQ(jij2；mimjij2；jm')m1m2m'j=zzm'im；m'ZCj：

32、i,j2m2DmjJcXi,j2m'2j因为m'二m'-im'2，则jij2；m'im'2Dmj'igDm八Cjmii,j2m2Dmj'mCjjm；'i,j2m'2j(9)D矩阵的积分公式。§3.6不可约张量算符Wigner-Echart定理和选择定则3.6A标量算符和不可约张量算符。体系在转动下的对称性影响跃迁过程的选择定则。转动后的新算符，F'rRFR，当F二RFR，则算符在转动R下不变，称F为标量算符。任一有限转动可分解为连续的无限小的转动的结果，所以在无限小转动下考察问题。nJFexp&如J)“)丄“nJ二F丄“nJF一丄nJ二F丄5JF-FJRFR=R"FRv-1-亠盼JF'ik)k转动不变要求，JF-FJ=O。即算符与角动量算符对易。反之，若对易关系成立，则F为标量算符。推广到非标量算符,若有21个算符一，岂丿岂满足关系：RTR=7DhT，则称T为一个阶的不