第八章假设检验

1、第八章第八章 假设检验假设检验l假设检验假设检验l正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验l正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验8.1 8.1 假设检验假设检验有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各四杯, 某人声称他通过品尝能区分两种酒. 若实验表明 (a)他挑出的四杯甲酒全对; (b)他挑出的四杯甲酒对了三杯, 该人是否真的具有识别此酒的能力？某车间用一台包装机包装葡萄糖。包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤。某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为(公斤):该机器是否正常？0.49

2、7 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512(一一) 问题的提出问题的提出 设X1，X2， ，Xn是来自总体 X F(x;)的一个样本，参数未知, 由样本观测值x1, , xn检验假设H0：=0，H1：0称H0为原假设， H1为备选假设。 如果样本观测值x1, , xn不利于H0的发生，则拒绝原假设H0；反之，则不能拒绝原假设，即接受原假设。 以样本(X1, , Xn)出发制定一个法则, 一旦观测值(x1, , xn)确定后, 我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H0, 就是一个检验法则, 简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间S

3、, 把S分成两个互不相交的子集W和W*, 即S=WW*,WW*= 如果当(x1, , xn) W时, 我们就拒绝H0；当(x1, , xn) W*时, 我们就接受H0。则称样本空间的子集W S为该检验的拒绝域。(二二) 检验法则与拒绝域检验法则与拒绝域 H0真而被拒绝的错误称为第一类错误，意即弃真错误； H0假而被接受的错误称为第二类错误，意即取伪错误。 对于给定的一对H0和H1, 总可找出许多拒绝域, 人们自然希望找到这种临界域W, 使得犯两类错误的概率都很小。奈曼奈曼-皮尔逊皮尔逊 (Neyman-Pearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 的条件下, 尽量使犯

4、第二类错误的概率小”。其中 称为显著性水平，它满足 P(当当H0为真拒绝为真拒绝H0) 。 (三三) 检验的两类错误检验的两类错误怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如：对总体XN( , 2), 2 已知。要检验H0： 0，H1： 0 显著性检验的思想和步骤：显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)给定显著性水平 及样本容量n;(3)构造统计量, 在H0真时其分布已知；(4)按照 PH0真时拒绝H0= , 求出拒绝域W；(5)取样，计算统计量的值，若统计量W，则拒绝H0, 否则接受H0。(一一) 单个总体单个总体N( , 2)均值均值 的假设检验的假设检验。：；：检验

5、假设，测值，由观给定检验水平，设0100121 ),( HHxxNXXniidn1、 2已知的情形已知的情形-Z检验检验)10( 00，NnXnX Z真H 对于假设H0： = 0，H1：0, 构造统计量最后查表, 计算, 比较大小, 得出结论。22 zZ，zZP可得拒绝域：由8.2 8.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验说明：说明：(1) H0： = 0，H1： 0称为双边检验； (2) H0：0，H1： 0称为右边检验； (3) H0：0；H1：u 0, 0。考虑统计量nXZzZW 显然，当H0：0成立时，Z有偏小的趋势，因此，若取拒绝域 ，则当H0：0成立时，犯第一类错误的概

6、率为,0ZnXPZnXPZZP故 是该单边检验的的水平为的拒绝域 。 zZW同理， 为左边检验H0：0，H1：u 0和和H0： 0 ，H1： 0的拒绝域分别为T t (n 1)和T t (n 1)例例2 2 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布, 取 =0.05 )?解解: : 由题意，可提出假设 H0： =112.6，H1：112.6),1( :00ntn

7、SXTH真时当由P|T| t0.025(n 1) =0.05, 得水平=0.05的拒绝域为|T| t0.025(6)=2.4469,而此处,4469.2466.07135.16 .1128 .112|T故接受H0。(二二) 两个正态总体均值两个正态总体均值差差的检验（的检验（t 检验）检验），设)();(2221211121uNYYuNXXiidniidn21121011 ,21：, H：Hyyxxnn检验假设，；，由观测值水平两样本独立，给定检验。假定22221)2(11,21210nntnnSYXTHw下则在。，即得拒绝域由)2( )2(212/212/nntTnntTP)2(21nntT

8、和前面类似的单边检验问题类似，其应的右边检验211210:HH，的拒绝域为)2(21nntT211210:HH，的拒绝域为左边检验例3 比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4；另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无显著性差异? (=0.10)解解: :

9、 由题意，可提出假设 H0： 1= 2 ，H1： 12，下则在)18(101101,0tSYXTHw.7341. 1)18( 05. 0)18(05. 005. 0tTtTP，即得拒绝域由此处:,002. 2,33. 21Sx789. 1,75. 02Sy18992221SSSw898. 1101101|wSyxt86. 17341. 1因此拒绝H0 ，即认为两种安眠药的疗效有显著性差异。（一）单总体方差的假设检验20212020：，：HH。：，：检验假设，值，由观测，给定检验水平，设20212020121 )(HHxxNXXniidn假定假定 未知, 双边检验：对于假设)(n)S(n-H11

10、220220下在222218.3 8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验)(n)(nP1或12222212由。或) 1() 1(22/222/12nn得水平为的拒绝域为。可解得拒绝域：，：，：而对单边问题；可解得拒绝域：，：；：对于单边问题) 1() 1(222021202021220212020nHHnHH例例1 电工器材厂生产一批保险丝，其熔化时间为正态变量，取10根测得其熔化时间(分)为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05)80802120：，：HH，时，当)9(8

11、09802222S)9(222P由得水平为=0.05的拒绝域为此处20229S,032.197 .13808 .1219故接受H0。023.19)9()9(2025.0222解解: : 由题意，可提出假设（二）两个总体方差比的假设检验（二）两个总体方差比的假设检验，设),( );,(2221211121NYYNXXiidniidn为两个样本独立, 给定检验水平 , 由观测值222112221011 21：H ：Hyyxxnn，检验假设，；，假定假定 1, 2未知) 11(,2122210nnFSSFH，真时当由PFF1/2(n11, n21)FF/2(n11, n21) = 得拒绝域F F1/

12、2(n1 1, n2 1)F F /2(n1 1, n2 1)F1/2F /2其对应的右边检验问题211210:HH，的拒绝域为F F (n1 1, n2 1)；F F1(n1 1, n2 1)。211210:HH，的拒绝域为其对应的左边检验问题例例2 2有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中 随 机 地 抽 取 若 干 产品,测得产品直径为(单位:mm):甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, 19.9乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2假定甲,乙 两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,乙两