第七章-------机械振动学习教案

1、会计学1第七章第七章-机械振动机械振动第一页，共45页。2机械振动：物体(wt)在一定位置附近作周期性往复运动.振动：描述物体(wt)运动状态的物理量在某一数值附近往复变化.特征： 重复性、周期性； 任意周期运动的分解周期函数的傅里叶分析 简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分.在数学上,一个周期为T的函数 可以被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加傅里叶级数展开： , 2 , 12cos0ntfcxxnnnnt tx其中 而 被称为基频，其他频率皆为 基频的整数倍.Tfnffn/111，第1页/共44页第二页，共45页。3理想模型轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动.k

2、xF 由牛顿定律，有kxdtxdm22弹簧(tnhung)振子的运动一.简谐振动(zhndng)的特征及其表达式恢复力的两个特点 1、F的指向总是与位移X的方向反向，总是指向平衡位置。2、F的大小正比于位移x的大小。第2页/共44页第三页，共45页。4方程的解为：)cos(tAx简谐振动的运动方程速度表达式：)2cos()sin( tAtAdtdxv加速度表达式：)cos()cos(2222 tAtAdtxda2 mk令0222 xdtxd 第3页/共44页第四页，共45页。5二. 描述(mio sh)简谐振动的特征参量振幅A：简谐振动的物体(wt)离开平衡位置的最大位移的绝对值周期T：完成一

3、次全振动所需时间 2Tmk kmT 2频率 ：mkT 211角频率 ：T 22 无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率. 第4页/共44页第五页，共45页。62020)(vxA00 xvtg 相位：决定简谐运动(jin xi yn dn)状态的物理量）（ t初相：决定初始时刻物体(wt)运动状态的物理量00, 0vvxxt cos0Ax sin0Av设v 由初始条件决定振幅和初相位相位比时间更直接(zhji)更清晰地反映振子运动的状态.第5页/共44页第六页，共45页。7解：mvxA222020100 . 2 142 ST代入简谐振动

4、表达式，则有)344cos(100 . 22 tx例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子(zhn z),周期为0.5 s。当t=0时，1020218. 0,100 . 1msvmx求: 运动(yndng)方程300 xvtg 34第6页/共44页第七页，共45页。8三、常见(chn jin)的简谐振动（1）竖直悬挂的弹簧振子选平衡位置为坐标原点平衡时klmg 位移X时kxxlkmgF)(故物体(wt)仍做简谐振动xl0第7页/共44页第八页，共45页。9（2）单摆(dn bi)重力形成的力矩，在角度很小时有mglmglsin根据转动定律)(222mlJJmgldtd 022 lgdtd表明：

5、单摆的运动也是谐振动，故glTlg 2, lmgo第8页/共44页第九页，共45页。10（3）复摆。一可绕水平(shupng)固定轴摆动的刚体。类似单摆写出方程为： mglmgldtdJsin22 Jmgldtd22mglJTJmgl 2, lmg结论：一维保守力在稳定平衡位置附近(fjn)一定是准弹性力。第9页/共44页第十页，共45页。11例题7.2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质 点m在此隧道内的运动(yndng)为简谐振动，并求其振动周期证明：如图，在极坐标系中质点m在r处受力为rereerRGmMeMRrrGmF3332)(orRy0yRGmMrRGmMee33sin 建立

6、oy坐标系，则 sinFFy 第10页/共44页第十一页，共45页。12满足(mnz)简谐振动微分方程，故为简谐振动min3 .84 2 TeGMR32 223dtydmyRGmMe 则32RGMe 0322 yRGMdtyde整理得由牛顿定律有第11页/共44页第十二页，共45页。131、旋转(xunzhun)矢量图示法t+opxt=0AM说明:v 旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;v 不能把M的运动误认为简谐振动。四、简谐振动(zhndng)的表示法作坐标轴ox ,自原点作一矢量模 振幅A角速度角频率与x 轴的夹角相位初始与x 轴的夹角初相A t 第12页/共44页第十三页，共45页

7、。14P点坐标、速度(sd)和加速度(sd)都作简谐振动. 矢端在x 轴投影(tuyng)的运动规律：P点的坐标)cos( tAxM点位矢在x 轴上的投影速度)sin( tAvM点速率在x 轴上的投影加速度)cos(2 tAaM点向心加速度在x 轴上的投影t+opxt=0AM第13页/共44页第十四页，共45页。15例题7.3 一物体沿x 轴作简谐振动, 振幅为0.24m, 周期为2s, 当t=0时x0=0.12m, 且向x 轴正方向运动. 试求: 1) 振动方程; 2) 从x=-0.12m, 且向x轴负方向运动的状态(zhungti), 回到平衡位置所需的时间.当t =0时, x0=0.12

8、m, v00 为确定初相, 画出t=0时旋转矢量的位置 T2由题知m24. 0 As2 T解:1) 设振动方程为)cos( tAxxopt=0AM第14页/共44页第十五页，共45页。16Ax0cos 振动方程为:m)3cos(24. 0 tx335 或或由图得到(d do)2) 从x = -0.12m, 且向x轴负方向运动(yndng)的状态, 回到平衡位置所需的时间xAMsst83. 06565 op 第15页/共44页第十六页，共45页。172、x-t曲线(qxin)图示法 简谐振动也可用x-t的振动曲线(qxin)表示，如下图所示，图上已将振幅、周期、和初相标出.x x TtA 第16

9、页/共44页第十七页，共45页。18第17页/共44页第十八页，共45页。19解：设运动表达式)cos( tAxt(s)O2-22X(m)1由图可见，A=2m，当t = 0时有：2cos20 x0sin20 v例题7.4 已知某质点作简谐运动，振动曲线(qxin)如图，试根 据图中数据写出振动表达式。4 由此得第18页/共44页第十九页，共45页。200)443cos(2 tx解得：43 当t = 1时有0)4cos(21 x0)4sin(21 vO2-22X(m)1第19页/共44页第二十页，共45页。21五.简谐运动(jin xi yn dn)的能量设在某一时刻,振子速度为则系统的动能：)

10、(sin21212222 tAmmvEk该时刻物体的位移为,则系统的势能：)(cos2121222 tkAkxEp系统的总能量：221kAEEEpk 谐振动的总能量与振幅的平方成正比第20页/共44页第二十一页，共45页。22能量(nngling)平均值EkAdttAmTETK2141)(sin21122220 EkAdttmkATETP2141)(cos2112220 pEkEpkEE ExTt02/2kA能量曲线图第21页/共44页第二十二页，共45页。2322112211coscossinsin AAAAarctg )cos(212212221 AAAAAv 合成(hchng)结果仍为简

11、谐运动v 合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率一、同方向同频率谐振动的合成)cos(222 tAx)cos(111 tAx)cos( tAx合振动的运动方程：A2A1x0Ax2x1x任何一个(y )复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。第22页/共44页第二十三页，共45页。24讨 论：21AAA 210212、kk 1) 相位差同相同相, 合振幅(zhnf)最大 210)12(12、kk 21AAA 2) 相位差反相反相, 合振幅最小当A1=A2时, 质点静止3) 一般情况（相位差任意）2121AAAAA 相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用第23页/共44页第二十四页，共45页。

12、25二、两个(lin )同方向不同频率谐振动的合成)cos(2222 tAx)cos(1111 tAx 设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向的简谐振动21 、设两振动的振幅相同，初相为零,即tAtAx1112coscos tAtAx2222coscos 合振动的运动方程为：)22cos()22cos121221ttAxxx （第24页/共44页第二十五页，共45页。26讨论: 两频率(pnl)都较大, 而频率(pnl)差很小的情况表明: 一个高频振动受一个低频振动的调制212 合振动频率tA22cos2121 合振动振幅xtx2tx1t第25页/共44页第二十六页，共45页。27合振幅

13、出现(chxin)时大时小的现象拍现象121 振幅变化的周期为：拍频：12 拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器；v 测定超声波；v 测定无线电频率；v 调制高频振荡的振幅和频率等。)cos(22 tAy)cos(11 tAx第26页/共44页第二十七页，共45页。28)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动(zhndng)的振幅和相位差.合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为2221AAA 讨论：012 1) 轨迹：xAAy12 两个分振动同相第27页/共44页第二十八页，共45页。29 122) 轨迹(guj)：合运动时简谐振

14、动，角频率与初相不变，振幅为2221AAA xAAy12 两个(lin )分振动反相 y 比x 位相超前/2, 故椭圆(tuyun)轨道运动的方向时顺时针, 即右旋的.3) 1222212 AyAx轨迹：212 第28页/共44页第二十九页，共45页。300 4 2 43 45 23 47 4) 1222212 AyAx轨迹(guj)： y 比x 位相滞后/2, 故椭圆(tuyun)轨道运动的方向时逆时针, 即左旋的. 当A1=A2时, 正椭圆(tuyun)轨道将变为圆轨道, 即质点作圆周运动.2312 第29页/共44页第三十页，共45页。31四、垂直(chuzh)方向不同频率简谐振动的合成

15、 可看作两频率(pnl)相等而2-1随缓慢变化, 合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化.1. 若两分振动频率相差很小)()(1212 t第30页/共44页第三十一页，共45页。32 合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率(pnl)有简单的整数比关系时，时稳定的封闭曲线，称为利萨如图形2. 若两振动(zhndng)的频率相差很大 工程上可以方便地测量未知简谐运动(jin xi yn dn)的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差A2xA1yo-A2- A1A2xA1yo-A2- A1A2xA1yo-A2- A13:2: yxTT2:1: yxTT4:3: yxTT第31页/共44页第三十二页，共4

16、5页。33例2: 有两个振动方向相同(xin tn)的简谐振动，其振动方程分别为cm)2cos(41 txcm)2/2cos(32 tx1) 求它们(t men)的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动cm)2cos(233 tx问: 当3为何(wih)值时, x1+x3的振动为最大值？当3为何(wih)值时, x1+x3的振动为最小值？解：1) 两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动, 合振动方程为)2cos(0 tAx)cm(5)cos(212212221 AAAAA43coscossinsintan221122110 AAAA第32页/共44页第三十三页，共45页。3

17、4所求的振动(zhndng)方程为 540 )cm()5/42cos(5 tx2) 当 时，相位相同。2 , 1 , 0213kk 振幅最大即,2 , 1 , 023kk 2 , 1 , 01213kk 当 时，相位相反。振幅最小即,2 , 1 , 0123kk 根据已知条件(tiojin)，t=0时，合矢量应在第二象限，故第33页/共44页第三十四页，共45页。35一、阻尼振动(z n zhn dn)振幅随时间(shjin)而减小的振动叫做阻尼振动。txvfrdd 设粘滞阻力txkxtxmdddd22 由牛顿方程1. 阻尼振动的运动微分方程mk 0 m2 （固有角频率）（阻尼因子）令0 xF

18、kPxm f第34页/共44页第三十五页，共45页。36将形如 的解代入微分方程，得特征方程te 02202 其特征根是202 按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式.0* 0dd2dd2022 xtxtx 得运动(yndng)微分方程第35页/共44页第三十六页，共45页。372. 弱阻尼(zn)202 时, 阻尼振动(z n zhn dn)运动方程的方程解为)cos(0 teAxt阻尼振动的角频率:220 A0和 决定于初始条件的积分常数xto)cos(0 teAtteA 0阻尼振动曲线：第36页/共44页第三十七页，共45页。38弱阻尼(zn)曲线

19、：v 振幅随时间t 作指数衰减v 近似为简谐振动(zhndng)v 阻尼振动(zhndng)周期比系统的固有周期长 即是物体(wt)不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动.称为 临界阻尼, 3. 临界阻尼和过阻尼 时，特征方只有一个重根，微分方程的解为 ttetccx 21teAA 0 2T221kAE 第37页/共44页第三十八页，共45页。390 这种过阻尼运动方式(fngsh)是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动. 时，阻尼(zn)较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为 20220221 ececxtxto弱阻尼临界阻尼过阻尼第38页/共44页第三十九页，共45页。40系统在周期性外力持续(chx)作用下所发生的振动thxtxtx cosdd2dd2022 二、受迫振动(shu p zhn dn)1. 受迫振动(shu p zhn dn)强迫力:阻尼力:恢复力:tF cos0v kx xmFf-kxtFvkxtxm cosdd022 2. 受迫振动的运动微分方程第39页/共44页第四十页，共45页。41微分方程(wi fn fn chn)的通解为)cos()cos(0 tAteAxtxto)cos( tA -简谐振