电磁场与电磁波谢处方_课后答案

1、电磁场与电磁波（第四版）谢处方课后答案第一章习题解答给定三个矢量a、b和c如下:B=-e4+eyzc=e5一e2（3）AB；9求：（1）a解«Ae+e2一e3A12+22+(3)21=5+e6一52）3）AB|=|(e+eAB=(e+e2一e3)(e4+e)=_11xyzyz2e3)(e4+e)=le+e6e4;53zyzxyz4）由cos9=A.B-1111ABA|B肿X肩T23F=135.5°得9=cos1(AB5）A在B上的分量A=BAcos9=AB116）AXc=ez3-27）由于BxC=AXB=AB_B|=e4e13e10xy-4-2ez3=e8+e5+e20xy

2、z=-e10-e1-e4-4yz;（2）|A-B；（3）ab；（4）9；（5）a在B上的分量；（6）axC；A.（BxC）和（AxB）C；（AxB）XC和Ax（BxC）。所以8）10yz14=e2e40+e5A(BxC)=(e+e2e3)(e8+e5+e20)=-42yz(AxB)C=(e10e1e4)(e5e2)=42eexyeexyAx(BxC)=12ez3=e55e44e118520三角形的三个顶点为P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,5)。(1) 判断APPP是否为一直角三角形h3(2) 求三角形12的3面积。解(1)三个顶点P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,

3、5)的位置矢量分别为123r=ee2，r=e4+ee3，r=e6+e2+e51yz2xyz3xyzR=rr=e4e，R=rr=e2+e+e8，1221xz2332xyzR=rr=e6ee7由此可见3113xyR.R=(e4e)(e1223xz故APPP为一直角三角开纟。123(2)三角形的面积s=1R21求P'(3,1,4)点到P(2,2,3)点的距离矢量R及R的方向。=e3+e+e4，r=e2e2+e3，xyzPxyzR=rr=e5e3ey、；'*由的夹角分别为'z.er0=cos-i(x2+e+e8)=0yz12xRj二1|RxRJ二*17x丽二17.13解r.p&

4、#39;则且R与xp'p=32.31PP)=cos1RI1ppeR0=cos1(ypp)=cos1yRP'P1PP)=cos1(Rp'p、给定两矢量A=e2+e3e4和B=e4e5+e6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。xyzxyz=cos-1(31)=131炉x/770=cos1(e>Rz二120.47°=99.73°x解A与B之间的夹角为A在B上的分量为A=A给定两矢量A=e2+e3-e4和B=e6-e4+e，求AXB在C=ee+e上的分量。yzxyzex26=exey34ez41=e13+e22+e10xyzxyz(AXB)=(AXB)

5、CC孚=14.43证明：如果ab=ac和AxB=AxC，则B=C；解由AxB=AxC，则有Ax(AxB)=Ax(AxC)，即(AB)A(A.A)B=(AC)A(A.A)C由于A.B=AC，于是得到(AA)B=(AA)C故B=C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已p=AX而P=AXX，P和P已知，试求由P=AxX，有所以AXB在C上的分量为知矢量，解X。故得AXP=AX(AXX)=(AX)A(A.A)X=pA(A.A)XpAAxPX=A.A在圆柱坐标中，一点的位置由（4,王,3）定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中3的坐标。解在直

6、角坐标系中x=4cos（2兀=2、y=4sin（2兀=2込、z=3故该点的直角坐标为（2,2柘,3）。在球坐标系中r+32=5、tan-1(4二53.1°、帖2叫3二120°故该点的球坐标为(5,53.1°,120。)用球坐标表示的场E二e25，rr2(1) 求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的|e|和E;(2) 求在直角坐标中点(-3,4,-5)处E与矢量B=e2-e2+e构成的夹角。xyz解(1)在直角坐标中点(-3,4,-5)处，r2=(-3)2+42+(-5)2=50，故25err2xyzr2=(-3)2+42+(-5)2=50=1=2E=eE=EIco

7、s0=x=xxIIrx25忑20(2)在直角坐标中点(-3,4,-5)处，r=-e3+e4-e5，所以xyz2525r-e3+e4-e5E=xyjr2r310EB)=cos-1(空亜)=153.6。|E|B|32球坐标中两个点(r,0,Q)和(r,0,Q)定出两个位置矢量R和R。证明R和R间夹角的余弦为1112221212cosY=cos0cos0+sin0sin0cos(Q-Q)121212解由R=ersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos01 x111y111z11R=ersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos02 x222y222z22得到cosY="1

8、：*2.=故E与B构成的夹角为0=cos-1(EB气IIsin0cosQsin0cosQ+sin0sinQsin0sinQ+cos0cos0=1122112212sin0sin0(cosQcosQ+sinQsinQ)+cos0cos0=1212112sin0sin0cos(Q-Q)+cos0cos0121212球面s的半径为5，球心在原点上，计算：&(e3sin0)dS(errSS在由r=5、z=o和z=在圆柱坐标系中12所以故有f(e3sin0)dS的值。rS3sin0)edS=予dQf3sin0x52sin0d0=75兀24围成的圆柱形区域：对矢量A=er2+e2z验证散度定理。r

9、z1QQVA=-(rr2)+(2z)=3r+2rQrQzfdzfdQf(3r+2)rdr=1200兀000(er2+e2z)(edS+edS+edS)=rzrrQQzzSff52x5dQdz+ff2x4rdrdQ=1200兀0000JVAdt=1200兀=6AdSts、t(1)矢量A=ex2+ex2y2+e24x2y2z3的散度；(2)求v.A对中心在原点的一个单位立万体的JvAdt=1AdS=(f)S积分；求(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。VA=空+竺兰2+d(24兀2y2z3)=2x+2x2y+72x2y2z2dxdydzVA对中心在原点的一个单位立方体的积分为1|21(21

10、|21JVAdt=JJJ(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=-A对此立方体表面的1积分irte血11屯1AdS=JJ(-)2dydz-JJ(-)2dydz+-12-122-12-1221(21(21血血12x2()2dxdz-JJ2x2(-)2dxdz+it2/2-12-12-12-121|21|211|21|21124x2y2()3dxdy-JJ24x2y2(-)3dxdy=-12-122-12-12224JVAdt=6A*dS24计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求Vr对球体积的积分。JrdS=iredS=fd©faa2sin0d0=4兀a3rS

11、001d(r2r)=3，所以解（1）故有2）3）又在球坐标系中，SVr=r2drJVrdt=予JJ3r2sin0drd0d©=4fa3求矢量A=ex+ex2+ey2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求VxA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。（JAdl=Jxdx-Jxdx+J22dy-J0dy=80又VxA=ddddxdydzxx2y2z所以JvxadS=S00故有AAdl=8=VC0ey=e2yz+e2xxz2yz+e2x)edxdy=8xzz0xCs_求矢量A=ex+exy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算Vx

12、A对此圆面积的积分。解iAdI=ixdx+xy2dy=f(一a2cos©sin©+a4cos2©sin2©)d©=iC04VxAdS=Je(竺zdx证明：解（1）dAx)edS=Jy2dS=ffr2sin2©rd©dr=dyz4V.R=3；(2)VxR=0；V(AR)=A。其中RVR=dx+空+竺=3dxdydz=ex+ey+ez，A为一常矢量。xyz2)ey66yy+eA，贝UA*R=Ax+Ay+Az，古攵xxyyzzxyz66V(AR)=e(Ax+Ay+Az)+e(Ax+Ay+Az)+VxR=exddxezddzx(3)

13、设A=eA+eAyy6可得到x6xxyzy6yxyz6e(Ax+Ay+Az)=eA+eA+eA=Az6zxyzxxyyzz径向矢量场F=ef(r)表示，如果vF=0，那么函数f(r)会有什么特点呢?r解在圆柱坐标系中，由VF=2f(r)=0rdr在球坐标系中，由可得到f(r)二CC为任意常数。r1JVF二一-r2f(r)二0r2drCf(r)=-r2给定矢量函数E=ey+ex，试求从点P(2,1,-1)到点P(8,2,-1)的线积分fEdl:(1)沿抛物线,1-x=y2；(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？解(1)fEdl=fEdx+Edy=fydx+xdy=xyCCCfyd(2y2)

14、+2y2dy=f6y2dy=1411(2)连接点P(2,1,-1)到点P(8,2,-1)直线方程为12x2x8y1y2古攵fEdl=fEdx+Edy=fyd(6y4)+(6y4)dy=f(12y4)dy=14xyCC1由此可见积分与路径无关，故是保守场。求标量函数屮=x2yz的梯度及屮在一个指定方向的方向导数，e丄+e丄+e丄定出；求(2,3,1)点的方向导数值。x弋50y<50z；50解xy666V屮=e(x2yz)+e(x2yz)+e(x2yz)=x6xy6yz6ze2xyz+ex2z+ex2yxyz+e二+e丄的方向导数为<50y750z50丄VWe二处+坦+迫611原原原点

15、(2,3,1)处沿e的方向导数值为16W361660112=+=-61<50<50<50；50故沿方向e此方向由单位矢量x题图同理试采用与推导直角坐标中vA=竺+竺+竺相似的方法推导圆柱坐标下的公式dxdydz1ddAdAVA=d1d1d(r2sin0cos()+r(sin0cos0cos()+r(sin()=(rA)+(+=。rdrrrd(dz在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场A沿e方向穿出该六面体的表面的通量为r(+A(z申zA(r+Ar)drd(一JJrr+Ar©(r+Ar)A(r+Ar,(,z)rA(r,(,z)A(Az沁d(rA”)ArA(Az=1

16、d("丿Atrrdrrdrr+Arz+AzdrdzJJ(+a(r乐r©+A©.rdrd(一丁于zz+Azr(r©+A©JAr©dAdAA(r,(,z+Az)A(r,(,z)rArA(Az«铝rArA(Az=丁Atzzdz因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1d(rA)dAdA屮=屮+屮+屮Ur+債+zATr©zrdrrd©dzW1d(rA)dA故得到圆柱坐标下的散度表达式V.A=li=-企Jat®Ardrr.dA©+z-Q()dzAdrdz-rzrzdA.dAAtr帥A(r,(+A

17、(,z)A(r,(,z)ArAz-4ArA(Az=(d(Vu之兰+e強+e冬xa2yb2zc2方程u=乂+21+£1给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。a2b2c2解由于|Vu|-r2drrsin0d0rsin0d(；()2+(F)2+(三)2a2b2c2/天、/y、/z、()2+()2+(一)2a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为Vuxyn=(e+e+e|Vuxa2yb2z现有三个矢量a、b、c为A=esin0cos(+ecos0cos(-esin(r0(B=ez2sin(+ez2cos©+e2rzsin(r(zC=e(3y22x)+ex2+e2z(

18、1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?(2) 求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中1d1de1dAVA=一(r2A)+(sin0A)+(=r2drrrsin0d00rsin0d(2sin0cos©+淫-2sin°cos°淫=0rrsin0rrsin0erersin0er0Q,1aaVxA=r2sin0ara0aQArArsin0Ar0Qerer01aar2sin0ara0sin0cosQrcos0cosQ故矢量a既可以由一个标量函数的梯度表示，在圆柱坐标系中rsin0ed帥一rsin0sinQ也可以由一个矢量函数的

19、旋度表示；VB=1(rB)+-込+込=rarrrQQQzz2sinQr+z-raQaz-(rz2sinQ)+(z2cosQ)+(2rzsinQ)=rarraQazz2sinQ+2rsinQ=2rsinQrVxb二-rre0aaraQBrBQz故矢量B可以由一个标量函数的梯度直角在坐标系中arz2sinQre0_a_aQrz2cosQezaaz2rzsinQ示；Vc=竺+竺+竺=axayaz臥(3y2-2x)+ay(x2)+az(22)=0Vxc=exax3y22xeyaayx2ezaaz2z=e(2x6y)z故矢量c可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为VA=0，VxA=0；V

20、B=2rsinQ，VxB=0；VC=0，VxC=e(2x6y)利用直角坐标，证明z解在直角坐标中V(fA)二fVA+A.VffVA+AVf=f(竺+竺+竺)+(Aaf+Aaf+A蛍)=axayazxaxyayzazaAafaAafaAaf(fx+A)+(fa+A)+(f2+A)=axxaxayyayazzazaaa-(fA)+-(fA)+-(fA)=V(fA)axxayyazz证明(AxH)=HVxA-A.VxH解根据V算子的微分运算性质，有V(AxH)=V(AxH)+V(AxH)式中V表示只对矢量A作微分运算，V表示只对矢量H作微分运算。由a(bxc)=c(axb)，可得V(AxH)=H(V

21、xA)=H(VxA)AA同理V(AxH)=-A(VxH)=-A(VxH)故有V(AxH)=H.VxA-A.VxH利用直角坐标，证明解在直角坐标中OGOGVx(fG)=fVxG+VfxGOGfVxG=fe(丁-于)+e(亍-亍)+e(才-亍)xOyOzyOzOxzOxOyVfxG=e(GOf-GOf)+e(GOf-GOf)+e(GOf-GOf)xzOyyOzyxOzzOxzyOxxOy所以fVxG+VfxG=e(Gf+f学)-(Gf+f学)+xzOyOyyOzOz+f学)+Ox5f-ax05y-Gax+e-f2+ef-f2+xOyOzyOzOxO(fG)O(fG)Vxe-白=Vx(fG)zoxo

22、y利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明Vx(Vu)=0及V(VxA)=0，试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有zOxf(VxVu)dS=Vudl=i°Udldu=0Ol由于曲面s是任意的，故有CCVx(Vu)=0(2)对于任意闭合曲面s为边界的体积t，Jv(VxA)dt=(VxA)dS=ts其中s和s如题图所示。由斯托克斯定理，f(VxA)dS=iAdl,siCi由题图可知C和C是方向相反的同一回路，12所以得到fv(VxtC题图2ni由于体积t是任意的，故有由散度定理有f(VxA)dS+f(VxA)dS有S1江f(VxA)dSAdI

23、则有AAdl=-AdlA)dt=(fAdl+Adl=-fAdl+(fAdl=0C1C2八小C2C2V(Vx2A)=0第二章习题解答一个平行板真空二极管内的电荷体密度为p=-4£Ud-43x-23,式中阴极板位于x=0，阳极板位于900x=d，极间电压为U。如果U=40V、d=1cm、横截面S=10cm2，求：x=0和x=d区域内的总电荷量Q；x=d02和x=d0区域内的总电荷量Q'。解(1)Q=Jpdt=f(-£Ud-43x-23)Sdx=-£US=-4.72x10-iiC9003d00t0Q'=JpdT=f(4£Ud-43x-23)Sd

24、x=-上(1一丄)£US=-0.97x10-11C,.9003d3200Ttd2一体密度为p=2.32X10-7C/'m3的质子束，通过W00V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解质子的质量m=1.7x10-27kg、电量q=1.6x10-19C。由1mv2=qU2v=Q2mqU=1.37x106msJ=pv=0.318A.m2I=J兀(d/2)2=10-6A一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度3绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球内

25、任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为0，则P点的线速度为球内的电荷体密度为v=3xr=e3rsin00001p=-4兀a33J=pv二eQrsin0=ersin004兀a3304兀a3一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度3绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为0，则P点的线速度为球面的上电荷面密度为Jv=es04兀a2两点电荷q=8C位于z轴上z=4处,解电荷q在1(4,0,0)处产生的电场为14兀a23asin0=esin004兀aq=-4C位于y轴上y=4处，求(4,0,0)处的

26、电场强度。21-4K8zK8电荷q在(4,0,0)处产生的电场为2故(4,0,0)处的电场为224兀£r-r'Fe4-e4兀£°(42)3e+e一e2E=E+E=y1232V2ns一个半圆环上均匀分布线电荷PI，求垂直于圆平面的轴线上z=a处的电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题图所示。解半圆环上的电荷元Pd1=PadW在轴线上z=a处的电场强度为Par-r'*dE=idQ=4ns°(屈)3pe一(ecosesinQ').izxydQ872nsa0在半圆环上对上式积分，得到轴线上z=a处的电场强度为E(0,0,a)

27、=JdE=P丫/川肿、"肿P(e兀e2)iJe一(ecos0+esmQ)dQ=izl82兀sazxy82nsa0-n120三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为P、P和P地线电荷构成等边三i1i2i3角形。设P=2p=2P，计算三角形中心处的电场强度。解建立题图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为d=tan30=L26则题图i1i2i3E=e匕(cos30-cos150)=e1 y4nsdy2nsL00E=(ecos30+esin30)枪=(ev3+e)吕2 xy2nsLxy8nsL00E=(ecos30°-esin30°)3xy2nsL故等边三角形中心处的电场强

28、度为0/=(e<3e尽xy8nsL0E=E+E+E=123e丹(e<3+e)丹+(e<'3e)丹=e丹y2nsLxy8nsLxy8nsLy4nsL点电荷+q位于(a,0,0)处，另一点电荷2q位于(a,0：0)处，空间有没有电场强度E=0的点?解电荷+q在(x,y,z)处产生的电场为qe(x+a)+ey+ezE=xyz14ns(x+a)2+y2+z232电荷2q在(x,y,z)处产生的电场为02qe(xa)+ey+ezE=xy24ns(x-a)2+y2+z232(x,y,z)处的电场则为E=E+E。令E=0，则有12e(x+a)+ey+ez2e(xa)+ey+ezxy

29、z=xyz(x+a)2+y2+z232(x-a)2+y2+z232由上式两端对应分量相等，可得到(x+a)(x-a)2+y2+z232=2(x-a)(x+a)2+y2+z232y(x-a)2+y2+z232=2y(x+a)2+y2+z232z(x-a)2+y2+z232=2z(x+a)2+y2+z232解得y丰0或z丰0时，将式或式代入式，得a=0。所以，当y丰0或z丰0时无解;当y二0且Z=0时，由式，有x=(-3土2V2")a但x=-3a+2迈a不合题意，故仅在(-3a-2、2a,0,0)处电场强度E=0。2.9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为&。证明：垂直于平面

30、的z轴上z二z°处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为爲z0的圆内的电荷产生的。°厂、电荷线密度为P=dr的带电细圆环在Z轴上Z二Z处的电场强度为l0r&zdrdE=eez2s(r2+Z2)3200故整个导电带电面在z轴上z二z°处的电场强度为1解半径为题图8&=ez2s_00而半径为j3z0的圆内的电荷产生在z轴上z=z°处的电场强度为3z0r&zdr&z1E=eJ0=-e0-z2s(r2+z2)32z2s(r2+z2”000008r&zdr&zE=eJ0.=e&z2s(r2+z2)32z2s(

31、r2+z2)1200000"%&1=e=Ez4s200一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度o绕一个直径旋转,如题图所示。求球心处的磁感应强度B。解球面上的电荷面密度为&Q4兀a2当球体以均匀角速度O绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r=ea点处的电流面密度为(x+a)(x一a)3=2(x一a)(x+a)3J=&v=&血xr=&exea=Szre®&asin0=esin0ee4兀a将球面划分为无数个宽度为dl=ad0的细圆环，则球面上任一个宽度为dl=ad0细圆环的电流为dI=Jdl=sin0d0s4兀细圆环的半径

32、为b=asin0，圆环平面到球心的距离d=acos0，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为卩b2dI卩eQa2sin30d0ysin30d0dB=e0=e0=ez2(b2+d2)32z8兀(a2sin20+a2cos20)32z8兀a故整个球面电流在球心处产生的磁场为B=e河0吨sin30d0=e曙Qz08兀az6兀a两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题图所示。电流/以相同的方向流过这两个线圈。xx(1) 求这两个线圈中心点处的磁感应强度B=eB;(2) 证明：在中点处dB/dx等于零(3) 求出b与d之间的关系，使中点处d2Bdx2也等

33、于零。x解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度B=e.z2(a2+z2)32卩Nb2B=e0x(b2+d2/402(2)两线圈的电流在其轴线上x(0<x<d)处的磁感应强度为f卩NIb2卩NIb2B=e<0+x2(b2+x2)322b2+(dx)232dB3卩NIb2x3卩Nb2(dx)x=0+0dx2(b2+x2)522b2+(dx)252故在中点x=d2处，有3巴Nb2d2*3巴Nb2d2=°2b2+d24522b2+d2452d2B15卩Nb2x23卩Nb2x=00dx2得到两个线圈中心点处的磁感应强度为所以dBXdX3)=0b2+d2472b2+d245

34、25d2:4=b2+d2/4d=b0+2(b2+x2)722(b2+x2)5215卩NIb2(dx)23卩NIb20一02b2+(dx)2722b2+(dx)2521即故解得直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流卩I口卩I1r厂a，B=lny4兀ar1限内的磁感应强度为B=_x4兀a图所示。划分为无数个宽度为dX'的细条带，每一细条带的电培环路定理，可得位于x,处的细条带的电流dI在点卩dI卩Idx'dB=0=0=2兀R4兀aR卩IdX04兀a(xx，)2+y2i2所以卩IydX0-4兀a(xX)2+y2dB=dBcos0=卩o1(X一X)dXy4兀a(xx'

35、)2+y2dB=dBsin0=Xa卩Iydx'卩I*a卩I04兀a卩I/、卩I0(aa)=0a4兀a214兀a(ax、(ax、卩I(x+a、(xa、arctanarctan=0arctanarctan1y丿1y丿4兀a1y丿1y丿aay丿4兀a(xx)2+y24兀a卩I(xx')dx'04兀a(xx')2+y2如题图所示，有一个电矩为P的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为役的电偶极子，位于卩I=ln(xx)2+y28兀aa些ln(x+a)2+y2屮ln匚8兀a(xa)2+y24兀ar矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为3ppF二-(sin0si

36、n0cos©2cos0cos0)r4兀£r412120式中0=<r,p>,0=<r,p>,©是两个平面(r,p)和(r,p)间的夹角。题图112212并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解电偶极子p在矢径为r的点上产生的电场为1E二丄Ip少上14ksr5r30所以p与P2之间的相互作用能为Wp.E13(pr)(pr)ppW二pE二一121e214ksr5r30因为0=<r,p>，0=<r,p>，贝I1122p*r二prcos0111p*r二prcos0222又因为©是两个平面(r,p)和(r,p)

37、间的夹角，所以有(rxp)(rxp)=r2ppsin0sin0cos©121212另一方面，利用矢量恒等式可得(rxp)(rxp)二(rxp)xrp二r2p(rp)rp=r2(pp)(rp)(rp)12121121212因此匕(pp)=(rxp)(rxp)+(rp)(rp)=ppsin0sin0cos©+ppcos0cos012r2121212121212pp于是得到W二"占2(sin0sin0cos©2cos0cos0)e4兀£r312120故两偶极子之间的相互作用力为二一(sin0sin0cos©2cos0cos0)2(丄)=q=

38、const4ks1212drr303pp(sin0sin0cos©2cos0cos0)4ksr412120由上式可见，当0=0=0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。1212解无限长直线电流£产生的磁场为两平行无限长直线电流I和L，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力F。卩IB=e11©2兀r题图直线电流I2每单位长度受到的安培力为F=m122z0卩II012122兀d式中寫是由电流£指向电流12的单位矢量。同理可得，直线电流|每单位长度受到的安培力为卩II0122兀d一根通电流I的无限长直导线和一个通电流I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离

39、为d,12图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为F二卩11(seca1)m012这里a是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解无限长直线电流£产生的磁场为卩IB=e1©2兀r圆环上的电流元Idl受到的安培力为22Fm21=F=em1212如题由题图可知dF=IdlxB=dlxe"o'i/2m2212y2兀xdl=(-esin0+ecos0)ad02xzx=d+acos0所以F=Io(-esin0-ecos0)d0=m2兀(d+acos0)zxoal-2兀cos0a-2兀d2兀eoId0=eo(+)=e(seca1)x2兀(d+acos0)x2兀aad2-a

40、2x0120证明在不均匀的电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为rx(pV)E+pxE。解如题图所示，设p=qdl(dl«1)，则电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为T=rxqE(r)rxqE(r)=2211dldldldl(r+q)xqE(r+q)(r-)xqE(r-寸=2xE(r+d)-E(r-d)+qdlxE(r+¥)+E(r-岁)当dl«1时，有E(r+坐)沁E(r)+(卩-V)E(r)22故得到E(r-q)沁E(r)七-V)E(r)T沁rx(qdl-V)E(r)+qdlxE(r)=rx(pV)E+pxE第三章习题解答真空中半径为a的一个球面，球的两

41、极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题图所示)。赤道平面题图解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为D=丄乞R=4兀R3R3+qer+e(z一a)er+e(z+a)rzrz4兀r2+(z一a)232r2+(z+a)232则球赤道平面上电通密度的通量JD»edS=zz=0S(a)=JDdS=S旦f(a)-纟2krdr=4兀(r2+a2)32(r2+a2)320"=(-1)q=0.293q0厲1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为r的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为-Zea的电子云，在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数，e是质子电荷量)，通过

42、实验得到球体内的电通量密度Ze(1r表达式为D=e-，试证明之。0r4兀(r2r3丿a解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为D=e1Ze原子内电子云的电荷体密度为P=-=4兀r3Ta'qa(r2+a2)12bZe4兀r23Ze4兀r3aP4兀r3/3=Zer电子云在原子内产生的电通量密度则为D=e-=e2r4兀r2r4兀r3aZe(1r)故原子内总的电通量密度为D=Di+D2之無r2r3丿a电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为P。Cm3,两圆柱面半径分别为a题3.3图(a)和b，轴线相距为c(c<b-a)，如题图(a)所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷

43、不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为土P。的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为P。的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-P。的均匀电荷分布，如题图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。°在r>b区域中，由高斯定律&EdS旦，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别£兀b2PPb2r为E=eo=oir2兀£r2£r200s0B丄兀a2PPa2E=e0=oir2兀£r2sr200bacPo题3.3图(b)E=E

44、+Er=(空1 i2sr2r'20在r<b且r'>a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为兀r2PPr兀a2PPa2rre=e=e=e=2r2兀sr2s2r2兀sr'2sr'20000E=E+E=-P(r空)2 22sr'2在r'<a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为-兀r'2PPr'E=e0=3r2兀sr'2s00P(rrJ亠c2s0已知电位移分布为点P处总的电场为点P处总的电场为兀r2pPrE=eo=o3r2兀£r2s00E=E+E'

45、;=0-332s0半径为a的球中充满密度P(r)的体电荷，点P处总的电场为r3+Ar2(r<a)其中A为常数，试求电荷密度P(r)。r2解：由VD=P，有P(r)=VD=丄(r2D)r2drr故在r<a区域P(r)=£r2(r3+Ar2)=s(5r2+4Ar)0r2dr0在r>a区域p(r)=sAr2(a5+Aa4)=00r2drr2一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E=e(r;a)4，设球内介质为真空。计算：(1)球内的电荷分布;r(2)球壳外表面的电荷面密度。解(1)由高斯定

46、律的微分形式可求得球内的电荷体密度为1d1dr4r3P=sE=s(r2E)=s(r2)=6s一00r2dr0r2dra40a40(2)球体内的总电量Q为ar3=J6s4兀r2dr=4兀sa20a40T0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为2Q4兀a2两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(b>a)，圆柱表面分别带有密度为°和笃的面电荷。(1)计算各处的电位移D；(2)欲使r>b区域内D=0，则o和0应具有什么关系？2解由高斯定理6D0>dS=q，当r<a时，

47、有D=0S2krD=022kaQ，则1D02aQ=e十rr2krD2kaQ+2kbQ，则De031203aQ+bQQb0，则得到1=rQa当aVrVb时，有raQ+bo12rr2)令D=e03当bVr<g时，有L2-L2Jr2+(L2)2+L2=r2+(L2)2-L2pJr2+(L2)2+L22计算在电场强度E=ey+ex的电场中把带电量为2卩C的点电荷从点P(2,1,1)移到点xy1P(8,2,-1)时电场所做的功：(1)沿曲线x=2y2；(2)沿连接该两点的直线。解(1)W=JFdl=qJEdl=qJEdx+Edy=xyCCCqJydx+xdy=qJyd(2y2)+2y2dy=qJ6

48、y2dy=14q=-28x10-6(J)C1(2)连接点P(2,1,-1)到点P(8,2,-1)直线方程为x2x8y1y2故W=qJydx+xdy=qJyd(6y4)+(6y4)dy=qJ(12y4)dy=14q=28x10-6(J)C11长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为P。(1)计算线电荷平分面上任意点的电位申；(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-V申核对。解(1)建立如题图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分z面上任意点P的电位为L2pdz'申(r,0)=J10/4兀£Jr2+z'2-L2041n(z'+Pr2+z'2)4兀£0P4ln4兀£02兀£0(2)根据对称性，可得两个对称线电荷元Pi0dz'在点p的电场为pdz'0prdz'10cos0=e10r2兀£(r2+z'2)320dE=edE=errr2ksJr2+z'20故长为L的线电荷在点P的电场为L2Prdz'E=J