竞赛电阻等效方法abc汇总学习教案

1、会计学1竞赛竞赛(jngsi)电阻等效方法电阻等效方法abc汇总汇总第一页，共30页。2 对称法对称法 电流叠加法电流叠加法 Y-变换法变换法 对具有一定对称性的电路对具有一定对称性的电路,通过通过(tnggu)对对等势点的拆、合，对称电路的等势点的拆、合，对称电路的“折叠折叠”，将电路简，将电路简化为基本的串并联电路。化为基本的串并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电源的直流电路电流分布，总可

2、归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就是电流的可叠加性对于一些并不电路电流分布这就是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称具备直观的对称(duchn)性的电路，可根据电流的可性的电路，可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称(duchn)问题转化成具有对称问题转化成具有对称(duchn)性的问题加以性的问题加以解决解决 。利用利用Y型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻Y型型联接与型联接方式的互换，达到简化联接与型联接方式的互换，达到简化(jinhu)电路成单纯串联或并

3、联电路成单纯串联或并联的目的的目的 第1页/共29页第二页，共30页。3解解: :ABCDEFHGACBDEGFH3343ACR RRR RR 则则AC间等效间等效(dn xio)电阻电阻: 如图所示，如图所示，12个阻值个阻值(z zh)都是都是R的的电阻，组成一立方体框架，试求电阻，组成一立方体框架，试求AC间的电阻间的电阻RAC 、AB间的电阻间的电阻RAB与与AG间的电阻间的电阻RAG 续解续解第2页/共29页第三页，共30页。4ABCDEFHGAB间等效间等效(dn xio)电阻电阻:EGFHABCD2RR222.5222.5712ABRRRRRRRRRRRR 则则续解续解第3页/共

4、29页第四页，共30页。5ABCDEFHGAG间等效间等效(dn xio)电阻电阻:FHCABEDG6R3R3R56AGRR 则则第4页/共29页第五页，共30页。6解解: :AB02r电源外电路等效电源外电路等效(dn xio)电阻电阻:000002.55240.577ABrrRrrr 通过电源通过电源(dinyun)的的电流由电流由6.0A40/71.05A ABIR 如图所示的正方形网格由如图所示的正方形网格由24个电阻个电阻r0=8的电阻的电阻丝构成，电池丝构成，电池(dinch)电动势电动势=6.0 V，内电阻不计，求通过电，内电阻不计，求通过电池池(dinch)的电流的电流 第5页

5、/共29页第六页，共30页。7 波兰数学家谢尔宾斯基波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形他年研究了一个有趣的几何图形他将如图将如图1所示的一块黑色的等边三角形所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图掉，得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图理，经过第二次分割就得到图3

6、的图形经三次分割后，又得到图的图形经三次分割后，又得到图4的图形这的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图就是将其中一个小单元（例如图4中的中的BJK）适当放大后，就得到图）适当放大后，就得到图2的图形的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空不断地镂空 图图1 图图2 图图3 图图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为数学家对这类几

7、何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学分形几何学”的新学科近三十多年来，物理的新学科近三十多年来，物理(wl)学家将分形几何学的研究成学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理果和方法用于有关的物理(wl)领域，取得了有意义的进展领域，取得了有意义的进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图的等效电阻问题：设如图1所示的三角形所示的三角形ABC边长边长L0的电阻均为的电阻均为r；经一次分割；经一次分割得到如图得到如图2所示的图形，其中每个小三角形边长

8、的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的的边长的电阻电阻r的二分之一；经二次分割得到如图的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图的四分之一；三次分割得到如图4所示的所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的八分之一的八分之一 试求经三次分割后，三角形试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 试

9、求按此规律作了试求按此规律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J解答解答(jid)第6页/共29页第七页，共30页。8解解: :读题读题对三角形对三角形ABC,ABC,任意任意(rny)(rny)两点间的电两点间的电阻阻 r023Rr A BC对分割对分割(fng)(fng)一次后的图形一次后的图形 2r1635925Rrr 56r对分割对分割(fng)(fng)二次后的图形二次后的图形 512r256r 225623Rr 可见可见, ,分割三次后分割三次后的图形的图形 3312522

10、35634rrR 2536nnRr 递推到分割递推到分割n次后的图形次后的图形 第7页/共29页第八页，共30页。9 如图所示的平面电阻如图所示的平面电阻(dinz)丝网络中，每一直线段和每一弧线段丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻电阻(dinz)丝的电阻丝的电阻(dinz)均为均为r试求试求A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻(dinz) 解解: :ABABBABAr34ABRr AB第8页/共29页第九页，共30页。10AB 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络络(wnglu)已知每一个金属圆圈的电阻都是已知每一个金属圆

11、圈的电阻都是R，试求图中，试求图中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 解解: : 三个金属圈共有六个结点三个金属圈共有六个结点(ji din)(ji din)，每四分之一弧长的电阻每四分之一弧长的电阻R/4.R/4. 将三维金属圈将三维金属圈“压扁压扁”到到ABAB所在所在(suzi)(suzi)平面并平面并“抻直抻直”弧线成下图弧线成下图4R8RBA882882ABR RRRRRR 548R 4R第9页/共29页第十页，共30页。11 正四面体框架形电阻网络正四面体框架形电阻网络(wnglu)如图所示，其中每一小段如图所示，其中每一小段电阻均为电阻均为R试求试求RAB和和RCD 解

12、解: :34ABRr BAEF2R4R2R2RABHIE乙乙2R2RDCIGHL甲甲甲甲BAFDCIGHLEDC丙丙2R2R2R2R38CDRr 第10页/共29页第十一页，共30页。12解解: :解题方向解题方向(fngxing):由于对称，可将由于对称，可将AB中垂中垂线上各电势点拆分，原电路变换为图乙，我们线上各电势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单元如图丙本单元如图丙BBnAnnA nB RxRRRR2R丙丙BA甲甲AABAB乙乙当当nn时，多一个时，多一个(y )(y )单元，只是使单元，只是使RxRx按

13、边长同比增按边长同比增大，即大，即 222222222xxxxxRRRRRRRRRRRRR 713xRR 713ABaR 试求框架上试求框架上A、B两点间的电阻两点间的电阻RAB此框架是用同种细金属制作的，单位长此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为度的电阻为一连串内接等边三角形的数目可认为一连串内接等边三角形的数目可认为(rnwi)趋向无穷，如图所示取趋向无穷，如图所示取AB边长为边长为a，以，以下每个三角形的边长依次减少一半下每个三角形的边长依次减少一半 第11页/共29页第十二页，共30页。13解解: :解题方向解题方向:将原无限长立体正三棱柱框架沿左将原无限长立体正三棱柱框架沿左

14、、右递缩为三棱台再、右递缩为三棱台再“压压”在在AB所在所在(suzi)平面，各电阻连接如图平面，各电阻连接如图 ABC2rr23r3r33rxrxrx 由由3216xr AB2 2121ABrR 如图所示是由电阻丝连接成的无限如图所示是由电阻丝连接成的无限(wxin)电阻网络，已知每一段电电阻网络，已知每一段电阻丝的电阻均为阻丝的电阻均为r，试求，试求A、B两点之间的总电阻两点之间的总电阻 ABC返回返回(fnhu(fnhu)第12页/共29页第十三页，共30页。14解解: :ABABOO2I8IABO2 4I52 4I52842422ABIRIRIRII 2924ABRR 田字形田字形(z

15、 xn)电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R，试求网络中，试求网络中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB R2R第13页/共29页第十四页，共30页。15 如图所示的一个无限的平面方格如图所示的一个无限的平面方格(fn )导线网，连接两个结点的导线的电阻导线网，连接两个结点的导线的电阻为为r0，如果将，如果将A和和B接入电路，求此导线网的等效电阻接入电路，求此导线网的等效电阻RAB 解解: :BA044ABIrIRI 02ABRr 第14页/共29页第十五页，共30页。16解解: :ba006336abIIIIRRIR 0abRR 有一

16、无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有有(suyu)六边形每边的电阻均为六边形每边的电阻均为R0，求间位结点，求间位结点a、b间的等效电阻间的等效电阻 第15页/共29页第十六页，共30页。17 如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成成(guchng)，小三角形每边的电阻均为，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，两点接入电路中时，AB间的电阻间的电阻RAB 解解:

17、:AB66ABIIIRR 3ABRR 第16页/共29页第十七页，共30页。18 半径为半径为R的薄壁导电球由连在的薄壁导电球由连在A、B两点上的（两点上的（AOBO，O点是球心）两根细点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为I0问在球面上问在球面上C点处（点处（OCOA，OCOB）电荷朝）电荷朝什么方向运动？若在什么方向运动？若在C点附近球面上作两个小标志，使它们相距点附近球面上作两个小标志，使它们相距(xingj)R1000，其连线垂直电荷运，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？动方向问总电流中有多大部分通过

18、这两标志之连线？ 解解: :BAB A Ci1i2C处单位处单位(dnwi)长长度上电流度上电流0212 2cIiR C处垂直于电荷运动处垂直于电荷运动(yndng)方向上一段弧是的方向上一段弧是的电流为电流为0212 21000IRiR 024000I 第17页/共29页第十八页，共30页。19 如图所示的电阻如图所示的电阻(dinz)网络包括两个立方形，每边电阻网络包括两个立方形，每边电阻(dinz)均为均为2r，求，求A、B间的电阻间的电阻(dinz) 解解: :ABBACC15I1115I415IBA815I715IC215I1151072415 1515 15ABRrIIIr 2AB

19、Rr 2rr4r返回返回(fnhu(fnhu)第18页/共29页第十九页，共30页。20ACIAIc甲甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙乙RaRbRcbIbA CA BAA BA CB CB ABA BB CC AC BCC AB CUUIRRUUIRRUUIRR 0a baabba caaccb cbbccabcUIRIRUIRI RUIRI RIII abcacbaacabbcU RU RIR RR RR R AaBbCcIIIIII ABabACacBCbcUUUUUU bcabacbacabbcU RU RIR RR RR R cabcbacacabbcU RU RIR RR

20、RR R abcacbacabbcU RU RR RR RR R bcabacacabbcU RU RR RR RR R cabcbaacabbcU RU RR RR RR R 1cacabbcABRR RR RR RR 1bacabbcACRR RR RR RR 1aacabbcBCRR RR RR RR Y变换变换(binhun) YYYABBCcaACbRRRRRR Y变换变换(binhun) ABACABBCACBCabcRRRRRRRRR ABBCACRRR 第19页/共29页第二十页，共30页。21解解: :abBAdcDCAB4r AB间等效间等效(dn xio)电阻电阻:cab

21、O/2r/2r/4r2rr1.5r1.25rOBAC2Y6r 24 /5r4r4rABR 2424 45245 525242445245525r 4780r 如图所示如图所示,一个原来一个原来(yunli)用用12根相同的电阻丝构成的立方体根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为框架，每根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求，现将其中一根拆去，求A、B两点间的电阻两点间的电阻 244acbr rr rrRRRr 221.264451.2655ACABBCRRrrrrrR r第20页/共29页第二十一页，共30页。22 如图所示如图所示,甲中三端电容网络为型网络元，乙中三端电容网

22、甲中三端电容网络为型网络元，乙中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效络为型网络元，试导出其间的等效(dn xio)变换公式变换公式 解解: :ACqAqC甲甲BqBCABCACCBC乙乙acqaqcbqbCbCaCcOAaBbCcqqqqqq ABabACacBCbcUUUUUU AABABACACBBAABBCBCCCACACBBCqUCUCqUCUCqU CUC 0abababacacacabcqqUCCqqUCCqqq Y变换变换(binhun) YYYabbcacABBCCAC CC CCCCCC Y变换变换(binhun) abBCCAABcCCCCCC YabcCCC ABAC

23、BABCCBCACCCCCC 第21页/共29页第二十二页，共30页。23解解: :RABR/3R/8R/2R/6ABR 1511R 电阻均为电阻均为R的九个相同的金属丝组成的九个相同的金属丝组成(z chn)构架如图所示，构架如图所示，求构架上求构架上A、B两点间电路的电阻两点间电路的电阻 第22页/共29页第二十三页，共30页。24 如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱(lngzh)框架，每根导线的电阻为框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求，导线之间接触良好，求BD之间之间的电阻值的电阻值 解解: :BDRBR/3DR/62R/32

24、RDRR 1115R 第23页/共29页第二十四页，共30页。25解解: :AB2RRR/8R/4ABR131118421242R 4722R 如图所示，由电阻丝构成的网络如图所示，由电阻丝构成的网络(wnglu)中，中，每一段电阻丝的电阻均为每一段电阻丝的电阻均为R，试求，试求RAB 第24页/共29页第二十五页，共30页。26 由由7个阻值相同的均为个阻值相同的均为r的电阻组成的网络的电阻组成的网络(wnglu)元如图所示，由这种网络元如图所示，由这种网络(wnglu)元彼此连接形成的元彼此连接形成的无限网络无限网络(wnglu)如图所示，试求如图所示，试求P、Q两点之间的等效电两点之间的等效电阻阻 解解: :Rxrr/4r/2534225342x