立体几何中的与球有关的内切外接问题学习教案

1、立体几何立体几何(ltjh)中的与球有关的内切外中的与球有关的内切外接问题接问题第一页，共16页。1、若球的大圆面积扩大为原来的、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍，则倍，则球的体积比原来增加了球的体积比原来增加了 _ 倍；倍；2、两个半径为、两个半径为 1 的铁球，熔化后成的铁球，熔化后成(hu chn)铸成一铸成一个球，这个大球的半径为个球，这个大球的半径为 _。2 2132练习练习(linx)：第1页/共16页第二页，共16页。二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的各顶点：若一个多面体的各顶点(dngdin)都在一个球的球面上，都在一个球的球面上， 则称这

2、个多面体是这个球的内接多面体，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。这个球是这个多面体的外接球。定义定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个则称这个(zh ge)多面体是这个多面体是这个(zh ge)球的外切多面体，球的外切多面体， 这个这个(zh ge)球是这个球是这个(zh ge)多面体的内切球。多面体的内切球。一、复习一、复习(fx)球体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球面面第2页/共16页第三页，共16页。画出正确的截面：画出正确的截面：(1)(1)中截面；中截面；(2)

3、(2)对角面对角面找准数量找准数量(shling)(shling)关系关系21ar aaaa2ar222aa2ar233第3页/共16页第四页，共16页。练习练习(linx)：有三个球：有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个球求这三个球的体积之比的体积之比 .33:22:1A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O第4页/共16页第五页，共16页。1. 已知长方体的长、宽、

4、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体，求长方体的外接球的体积。的外接球的体积。35A1AC1CO变题：变题：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两互相两两互相(h xing)垂直，若垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。沿对角沿对角(du jio)面截得：面截得：ACBPO O第5页/共16页第六页，共16页。半球的半径半球的半径(bnjng)为为R，一正方体的四个，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱

5、长求正方体的棱长第6页/共16页第七页，共16页。1 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等到多面体各顶点的距离均相等2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合3 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合定重合4 4、基本方法：构造、基本方法：构造(guzo)(guzo)三角形利用相似比和勾股三角形利用相似比和勾股定理定理5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径的通用做法第7页/共16页第八

6、页，共16页。练习练习:一个四面体的所有一个四面体的所有(suyu)的棱都为的棱都为 ，四个顶点，四个顶点在同一在同一(tngy)球面上，则此球的表面积球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 6C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面(pngmin)BCD上的射影，上的射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结B1OAOBDA1OMR第8页/共16页第九页，共16页。练习练习:一个四面体的所有的棱都为一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一一(tngy)球面上，则此球的表面积（球面上，则此

7、球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A第9页/共16页第十页，共16页。例例3 3、如图、如图, ,圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)的底面直径与高都等于球的直径的底面直径与高都等于球的直径, ,求证求证:(1):(1)球的表面积等于圆柱球的表面积等于圆柱(yunzh)(yunzh)的侧面积的侧面积. . (2) (2)球的表面积

8、等于圆柱球的表面积等于圆柱(yunzh)(yunzh)全面积的三分之二全面积的三分之二. .O O证明证明(zhngmng):(zhngmng):R R(1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R,得得: :则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.(2)(2)222624RRRS+圆柱全圆柱全Q第10页/共16页第十一页，共16页。练习练习(linx)1：（：（1）已知正四棱锥的底面边长为）已知正四棱锥的底面边长为4，高与，高与斜高的夹角是斜高的夹角是30，求它的表面积和体积。，求它的表面积和体积。练习练习4：已知正四面体：已知正四面体(zhn s min t)的顶点都在

9、表面积为的顶点都在表面积为36的球面上，求这个正四面体的球面上，求这个正四面体(zhn s min t)的体积。的体积。第11页/共16页第十二页，共16页。课时(ksh)小结: 解决与球有关的内切与外接问题解决与球有关的内切与外接问题(wnt)(wnt)的的关键是：关键是：通过寻找通过寻找(xnzho)(xnzho)恰当的过球心的截面恰当的过球心的截面, ,把立体问题转化为平面问题把立体问题转化为平面问题, ,通过解三角形求出球的半径通过解三角形求出球的半径R. R. 第12页/共16页第十三页，共16页。ABCDA1B1C1D1B1C1A1BOH三棱锥体积(tj)的应用求点到直线的距离第13页/共16页第十四页，共16页。VA1A2ABB2B1O1O2OVA1A2AO1O2O锥体(zhu t)中的比例问题第14页