二次函数经典难题

1、二次函数经典难题（含精解）一选择题（共1 小题）1 顶点为 P 的抛物线y=x 2 2x+3 与 y 轴相交于点A， 在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点 P 旋转 180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y 轴相交于点B，则 PAB 的面积为（）A 1B 2C 3D 6二填空题（共12 小题）2作抛物线C1 关于x 轴对称的抛物线C 2，将抛物线C2向左平移2 个单位，向上平移1 个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是y=2（ x+1 ） 2 1 ，则抛物线C1 所对应的函数解析式是 3抛物线关于原点对称的抛物线解析式为 4 将抛物线y=x 2+1 的图象绕原点O 旋转180&#

2、176;， 则旋转后的抛物线解析式是 5如图，正方形ABCD 的顶点A、 B 与正方形EFGH 的顶点 G、 H 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD 上，若正方形ABCD 边长为 10，则正方形EFGH 的边长为6如果一条抛物线y=ax 2+bx+c（ a 0）与 x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” 在抛物线y=ax 2+bx+c 中， 系数 a、b、 c 为绝对值不大于1 的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为7抛物线y=ax2+bx+c 经过直角 ABC 的顶点 A（1 ， 0） ， B（ 4， 0） ，

3、直角顶点C 在 y轴上，若抛物线的顶点在 ABC 的内部（不包括边界），则 a 的范围是 8已知抛物线y=x 2 6x+a 的顶点在x 轴上，则a= ；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是 9抛物线y=x 2 2 x+a 2 的顶点在直线y=2 上，则 a= 10若抛物线y=x 2 2 x+a2的顶点在直线x=2 上，则 a的值是 11 若抛物线的顶点在x 轴上方，则m 的值是 12 如图， 二次函数y=ax2+c 图象的顶点为B， 若以 OB 为对角线的正方形ABCO 的另两个顶点 A、 C 也在该抛物线上，则a?c的值是 13抛物线y=ax 2+bx 1 经过点（2， 5） ，则代数

4、式6a+3b+1 的值为 三解答题（共17 小题）14已知抛物线C1 的解析式是y=2x 2 4x+5，抛物线C2与抛物线C1 关于 x轴对称，求抛物线 C2 的解析式15将抛物线C1 ：y= （ x+1 ）22 绕点P（t，2）旋转180得到抛物线C 2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1 上，求抛物线C2的解析式16如图，抛物线y1= x2+2 向右平移1 个单位得到抛物线y 2，回答下列问题：（ 1 ）抛物线y2 的顶点坐标 ；（ 2）阴影部分的面积S= ；（ 3）若再将抛物线y2 绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，求抛物线y3的解析式17

5、已知抛物线L： y=ax 2+bx+c（其中a、 b、 c都不等于0） ，它的顶点P 的坐标是y 轴的交点是M （ 0， c） 我们称以M 为顶点，对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM 为 L 的伴随直线（ 1 ）请直接写出抛物线y=2x 2 4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式 ，伴随直线的解析式 ；（ 2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= x2 3 和 y= x 3，则这条抛物线的解析式是 ；（ 3）求抛物线L： y=ax 2+bx+c（其中a、 b、 c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L 与 x

6、轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2>x1>0，它的伴随抛物线与x 轴交于C、 D 两点，且AB=CD 请求出a、 b、 c 应满足的条件18设抛物线y=x 2+2ax+b 与 x 轴有两个不同的交点（ 1 ）将抛物线沿y 轴平移，使所得抛物线在x 轴上截得的线段的长是原来的2 倍，求平移所得抛物线的解析式；（ 2） 通过（ 1 ）中所得抛物线与x 轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式19已知抛物线C： y=ax 2+bx+c（ a< 0）过原点，与x 轴的另一个交点为B（ 4， 0） ， A 为抛物线 C 的顶点（1 ）如图1，若AO

7、B=60 °，求抛物线C 的解析式；（2）如图2，若直线OA 的解析式为y=x，将抛物线C 绕原点 O 旋转 180°得到抛物线C，求抛物线C、 C的解析式；（ 3）在（2）的条件下，设A 为抛物线C 的顶点，求抛物线C 或 C上使得PB=PA的点P的坐标20 如图，已知抛物线y=ax2+bx+交 x 轴正半轴于A， B 两点， 交 y 轴于点C， 且 CBO=60 °， CAO=45 °，求抛物线的解析式和直线BC 的解析式21已知：如图，抛物线y= x +bx+c 经过直线y= x+3 与坐标轴的两个交点A、 B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为C，

8、抛物线的顶点为D（ 1 ）求此抛物线的解析式；2）点 M 为抛物线上的一个动点，求使得 ABM 的面积与 ABD 的面积相等的点M 的22已知抛物线的顶点为P，与x 轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1 关于 x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3， C3的顶点为M ，当点P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C3 的解析式23如图，抛物线y=x 2+bx c经过直线y=x 3与坐标轴的两个交点A， B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D（ 1 ）求此抛物线的解析式；（ 2）点P为抛物线上的一个动点，求使S APC： S ACD=5： 4 的点 P 的坐标24

9、已知一抛物线经过O（ 0， 0） ， B（ 1， 1）两点，且解析式的二次项系数为（ a> 0） （）当a=1 时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（） 已知点A（ 0， 1） ， 若抛物线与射线AB 相交于点M， 与 x轴相交于点N（异于原点），当 a在什么范围内取值时，ON+BM 的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON BM 的值为常数？（）若点P（ t， t）在抛物线上，则称点P 为抛物线的不动点将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x 上，请说明理由25如图，已知抛物线C1： y=a（ x+2） 2 5 的顶点为P，与x

10、轴相交于A、 B 两点（点A在点 B 的左侧） ，点 B 的横坐标是1；（ 1 ）求 a 的值；（ 2）如图，抛物线C2与抛物线C1 关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，抛物线C3的顶点为M，当点 P、 M 关于点 O 成中心对称时，求抛物线C3的解析26如图，抛物线y=ax2+bx+3 经过A（3， 0） ， B（1， 0）两点（ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的顶点为M ，直线y= 2x+9 与 y 轴交于点C，与直线OM 交于点D现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上若平移的抛物线与射线CD （含端点C）只有一个公27如图，抛物线y=a（ x+1 ）

11、2的顶点为A，与 y 轴的负半轴交于点B，且OB=OA （ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2）若点C（3， b）在该抛物线上，求S ABC 的值28如图，抛物线y=x 2 2x+c 的顶点 A 在直线 l： y=x 5 上（ 1 ）求抛物线顶点A 的坐标及c 的值；（ 2）设抛物线与y 轴交于点B，与 x 轴交于点C、 D（ C 点在 D 点的左侧），试判断 ABD的形状29如果抛物线m 的顶点在抛物线n 上，同时抛物线n 的顶点在抛物线m 上，那么我们就称抛物线m 与 n 为交融抛物线（ 1 ）已知抛物线a：y=x 22x+1 判断下列抛物线b：y=x22x+2，c：y=x2+4x3 与已知抛

12、物线a 是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线y=2 上有一动点P（t，2） ，将抛物线a：y=x 22x+1 绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l ，若抛物线a 与 l 为交融抛物线，求抛物线l 的解析式；（ 3） M 为抛物线a； y=x 2 2x+1 的顶点，Q 为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ 为斜边的等腰直角三角形MQS， 使其直角顶点S在 y 轴上？若存在，求出点 S的坐标；若不存在，请说明理由；（ 4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题30 如图 1 所示， 已知直线y=kx+m 与 x 轴、 y 轴分别交于点A、 C 两点， 抛物线 y= x2+bx+c经过 A、 C 两点，点B 是抛物线与x轴的另一个交点，当x= 时， y取最大值（ 1 ）求抛物线和直线的解析式；（ 2）设点P 是直线 AC 上一点，且S ABP： S BP