多元函数的极限与连续学习教案

1、会计学1多元函数的极限多元函数的极限(jxin)与连续与连续第一页，共30页。n维空间中两点（向量(xingling)又称为点）间的距离(jl)定义为向量x的长度(chngd)定义为：与 ),(21nxxxx ),(21nyyyy 第1页/共29页第二页，共30页。2. Rn中点列的极限(jxin)。定义(dngy)1.1 (点列的极限） 设xk是Rn中的一个点列，a是Rn中的一点，若当k时，(xk,a) 0,即：则称点列 xk 的极限(jxin)存在，且称a为它的极限(jxin)，记作这时也称点列xk 收敛于a .设 xk(xk,1, xk,2, xk,n), a=(a1, a2,an)第2

2、页/共29页第三页，共30页。定理(dngl)1.1 设点列xk Rn,点a Rn,则此为向量收敛(shulin)与数列收敛(shulin)之间的桥梁。由此可得：定理1.2 设xk 是Rn中收敛点列，则：xk的极限是唯一的； xk是有界的,即M(R)0,使得(sh de)k N,恒有|xk|M;(3)若xk a, yk b,则xk yk a b , xk a ,其中R。(4)若xk收敛于a,则它的任一子列也收敛于a.第3页/共29页第四页，共30页。由于向量(xingling)不能比较大小，也不能相除，所以数列极限中的单调性，保序性，确界，商不能推广。但闭区间套定理，Bolzano-Weier

3、strass定理，Cauchy收敛原理在Rn中仍然成立。第4页/共29页第五页，共30页。3. Rn中的开集与闭集定义1.2 设A是Rn中的一个点集，a Rn .若存在A中的点列xk ， xk a(k=1,2,),使得xk a(k),则称a为A 的一个聚点。A 的所有的聚点构成的集合称为A的导集，记作A 集合 AA A称为A的闭包。第5页/共29页第六页，共30页。定义(dngy)1.3 设a Rn, 0,称点集为以a为中心， 为半径的开球(ki qi)或点a的邻域。称：为点a去心邻域(ln y)。可分别简记为U(a), (a)第6页/共29页第七页，共30页。定理(dngl)1.6 设A是R

4、n中的一个点集，a Rn，则a A 的充要条件为：第7页/共29页第八页，共30页。定义(dngy)1.4 设A Rn,a Rn.第8页/共29页第九页，共30页。易知：定理(dngl)1.7 设 A Rn 是开集充分必要条件为Ac是闭集。定义(dngy)1.5 设A Rn,若Ao=A,即A中的点全是A的 内点，则称A 为开集.第9页/共29页第十页，共30页。定理1.8 Rn中开集有如下性质：和Rn都是开集,(2)任意多个开集的并集仍为开集，(3)有限(yuxin)多个开集的交集仍为开集。4. Rn中的紧集与区域(qy)几个概念：(1) 设A是Rn中的点集, 若M 0, 使得(sh de)x

5、A ,都有|x|M,则称集合A为的有界集.否则, 称之为无界集. (2) 若A中任何点列都有收敛的子列，则称A 是列紧的（或相对紧的），若A是列紧闭集，则称A是紧集。第10页/共29页第十一页，共30页。(3)设A是Rn中的点集, 若A中任两点均可用一条完全含在A中的折线相连接, 则称为连通集.(4) Rn中连通的开集称为Rn中的区域。区域连同其边界之并称为闭区域。(5)若连接A中任意(rny)两点的线段都属于A,则 称为凸集。第11页/共29页第十二页，共30页。第二节 多元(du yun)函数的极限与连续性 1.多元(du yun)函数的概念定义2.1 设A Rn是一个点集，称映射f: A

6、R是定义在A上的n元数量(shling)值函数。简称为n元函数。记为y = f(x) = f(x1, , xn),其中x = (x1, , xn) A称为自变量, y称为因变量。D(f)=A称为f的定义域，R(f )=y|y=f(x),x D(f )称为f的值域。第12页/共29页第十三页，共30页。除非特别说明, 或有实际意义, 凡用算式表达的多元(du yun)函数, 其定义域都是指自然定义域, 即全体使得算式有意义的自变量所成的点集.(x, y) R2 | |x| 1, |y| 1; 1122 xyz例如: 的定义域为而z = ln(x+y)的定义域为(x, y)R2 |x+y0.第13

7、页/共29页第十四页，共30页。定义2.2 设A Rn是一个点集，称映射 f: ARm (m 2)是定义在A上的n元向量值函数(hnsh)。也可记为y = f(x) = f(x1, , xn),其中x = (x1, , xn) A称为自变量, y = (y1, , ym) Rm 称为因变量。 f = (f1, , fn) 其中(qzhng)x=(x1, , xn)A为自变量, y=(y1, , xm)B为因变量.一个n元m维向量值函数y = f(x) 对应(duyng)于m个n元数量值函数第14页/共29页第十五页，共30页。若用列向量(xingling)表示, 即例1 空间R3中曲线(qxi

8、n)的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t) t ,R,为一元向量值函数，可写成：r=r(t)第15页/共29页第十六页，共30页。2. 多元函数(hnsh)的极限与连续性 定义 2.3 (二重极限） 设有点集A R2,f :AR是一个二元数量值函数。点 (x0, y0)是A的聚点, aR是一个常数(chngsh).若 0, 0, 使得恒有|f(x,y)a|0, 取 =, 则当时, 恒有| f(x, y)0|0, 0, 使得(sh de)恒有|f(x,y)f (x0, y0) |2)元数量值函数与向量值函数。第26页/共29页第二十七页，共30页。3. 多元(du yun)连续函数的性质 若函数f(x)在有界连通闭集A上连续,m与M分别是 f 在A上的最小值与最大值， 则对 ,m 0, = ( )0, 使得 x1 , x2 A，当| x1 - x2| 时， 恒有| f(x1 )-f(x2 )| 。第27页/共29页第二十八页，共30页。 作 业习题(xt)5.2(P4244)3( 1, 3, 5, 7), 4 ( 2 ), 7( 2), 8 , 11第28页/共29页第二十九页，共30页。NoImage内容(nirng)总结会计学。a是Rn中的一点(y din)，若当k时，(xk,a) 0,即：。设 xk(xk,1, xk,2,。(4)若xk收敛