佛山市南海区高一下学期期末考试数学试题

1、高一数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A=xIx25x+6>0，B=xIx>0，则AB（）A.b,3B.（-g,21-3,+a）C.b,+8）D.（0,213,+8）2. 某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（）A.8B.9C.1

2、0D.113. 若函数f（x）=4x+a（x>0,a>0）当且仅当x2时取得最小值，则实数a的值为（）xA.12B.24C.16D.364. 两个相关变量满足如下关系：X2345625505664根据表格已得回归方程y9.4x+9.2，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（）A.37.4B.39C.38.5D.40.5256.若非零实数a,b满足a<b，则下列不等式成立的是（）4B.2513C.2523D.505.班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏18927不喜欢电脑游戏81523列总数262450如果校长随机地问这

3、个班的一名学生，认为作业多的概率为（）14.一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是,球的体积是aA.<bbaB.+<2ab1ab21<a2bD.a2+a<b2+b7.已知点E为平行四边形ABCD所在平面上一点且满足DE=2CE，点F为AE与BD的交点，若AB=a,AD=b，则AF=（）2 1133T23,-A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b3 3224455&在NBC中，盘,c分别为三个内角A,B,C的对边，若acosA=bcosB，贝ijABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9.天气预报说，

4、在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）A.25%B.30%C.45%D.55%附随机数表03474373863696473661469863716233261680456011141095977424676210.已知a=1，b=2，则a+b+a-b的最大值等于（A.4B.J3+p7C.D.5二、多项选择题：本大题共有勺小题每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.ii. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是2，甲获胜的概率是5，下面结论正确的是（）74A.甲不输的概率B.乙

5、不输的概率-丄JJ31C.乙获胜的概率D.乙输的概率12. 已知数列耳满足a=a+a=2n+1，ngN*，nn+1的前n项和,则下列结论中正确的是（）A.S2n-1（2n-1）.丄anC.S=3-+1S2n22n2nB.S=1S2n2nD.S=S+12nn2第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.其中第14题第一空3分，第二空2分.13.已知向量AB=（1,2），BC=（2,2），则cosj/B,BC?=.15.甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别

6、不相同的概率是_.16. 已知数列a中，若a=1,a=2na，则a=.n1n+1nn四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在直三棱柱ABCABC111中，AB二1，BC二2，AC=j3AA=11(I)求三棱锥A-ABC的表面积;1(II)求B到面ABC的距离.1118. (本小题满分12分)已知a是公比q2，a=12的等比数列，其前n项和为S.n3n(I) 是否存在正整数乩使得S>2020；若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由;k(II) 求£(a+a+a+a).1352i+1i119. (本小题满分12

7、分)在ABC中，已知A45°，D是AC上一点，DC6，BC14，ZBDC120°.(I)求BD的长；(I)求ABD的面积.20. (本小题满分12分)某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案(2)规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为25,35),35,45),【45,55),(55,65),【65,75),【75,85),【85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图

8、.(II) 若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；(III) 假设公司中所有骑手都选择了你在(II)中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？21. (本小题满分12分)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，(b+c)(sinB-sinC)=(ac)sinA且ZA>ZC.(I) 求ZB；(II) 给出三个条件：b=2；®ac边上的中线为m<m<3c=2a试从中选出两个

9、可k3丿以确定ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求c的值(只需写出二个选定方案即可).22. (本小题满分12分)已知数列的前n项和为S，满足S=nnnna1(I) 求证：a是等差数列；n(II) 已知b是公比为q的等比数列，a=b，a=b丰a，记T为数列b的前n项和.n11221nn(1) 若b=a(m,k是大于2的正整数)，求证：T=(m-1)a；kmk-11(2) 若b=a(z是某个正整数)，求证：q是整数，且数列b中的每一项都是数列a中的项.3inn参考答案一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.710-l

10、o15.nn-1)16.22四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（I）：因为AB2+AC2=BC2，所以ABC为直角三角形,则SABC=2AB'AC詣因为直三棱柱ABC-ABC，所以A1AB£AC为直角三角形,AC=2，S=1AA-AB=1iaab2i21,3S=AAAC='，在等腰ABC中，AAC22¥边上的高h呼，则*bC-2QB'h叫1+7所以三棱锥AABC的表面积S=S+S+S+S=：3+1ABCAABAACABC2"=S),（II）：因为三棱锥C-AAB与三

11、棱锥C-AB的底面积相等A1ABA1B1B高也相等（点C到平面ABBA的距离）所以三棱锥C-AAB与三棱锥C-ABB的体积相等.又V=V=SAA=xx1=",CA1ABA1ABC3ABC1326所以V=V=CA1B1BB1A1BC设B到面ABC的距离为H,11本小题满分12分）18、则VB1A,C=3Sa/=寻，解得H=解：（因为化=12，q=2，所以a1=3,3(2k1)2023所以-=十>2020，得2k>-r所以使得>2020的正整数k的最小值为10.（II）数列a是首项为3,公比为4的等比数列.2i+l3(4i+11)a+a+a+135+a=2i+141=4

12、i+11工!(4i+11)=工*4i+1工*1i=1i=1i=116(4n1)3n.19.本小题满分12分）解：（1）在BDC中，由余弦定理得：BC2=DC2+DB2-2DC-DB-cosZBDC,化简得：BD2+6BD160二0,解得BD=10或-16（舍去）.(2)在ABD中，由ZBDC二120°，得ZBDA=60°,由正弦定理得一岂二sinZAABsinZBDA解得AB=5；'6,sinZABD=sin(ZBAD+ZBDA).(兀兀)J5+J6二sin+二143丿4175+25J3所以ABD的面积S二一BA-BD-sinZABD=ABD22'20. （

13、本小题满分12分）'解：（I）依题意，各组的频率之和为：10x0.005+10x0.005+10xa+10x0.03+10xa+10x0.015+10x0.05故0.6+20a=1，解得a=0.02.（II）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：30x0.05+40x0.05+50x0.2+60x0.3+70x0.2+80x0.15+90x0.05=62,方案（1）日工资为50+62x3-236,方案（2）日工资约为150+（6244）x5=240>236，故骑手应选择方案（2）.（III）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，则平均业务量应超过的75%的骑手.前

14、五个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2；前四个小组的频率之和为0.05+0.05+0.2+0.3=0.6；前五个小组的频率之和为0.05+0.05+0.2+0.3+0.2=0.8；故该骑手的平均业务量应在区间65,75）内.设他的平均业务量为,则0.6+（x-65）x0.02>0.75，解得：x>72.5，又xGN*.故的最小值为73.所以，该骑手每天的平均业务量至少应达到73单.21. (本小题满分12分)解：(I)由(b+c)(sinB-sinC)=(a-c)sinA,得(b+c)(b-c)=(a-c)a,即b2=a2+c2一ac,由余弦定理1b2=a2

15、+c22accosB，得cosB=,2由于0<B，所以B=I.(II)方案1,选b=2和c=2a,因为b=2,c=2a，可得4=a2+4a2ax2a,所以a=半，c=半方案2,AC边上的中线为m<mb2+4m2=2a2+2c2,b2+4m2=2a2+2(2a匕,b2=10a2一4m2,b2=a2+c2-ac=a2+4a2-2a2=3a2，3a2=10a2-4m2，2、订4J7a=m，c=m77'方案3,选b=2和AC边上的中线为mp3<<<m<由条件得4+4m2=2a2+2c2，a2+c2=2+2m2，4=2+2m2-ac，ac=2m2-2，(a+c

16、)2=6m2-2，a+c=；6m2-2(a-c=6-2m2,ZA>ZC,a一c=、'62m26m2一2一、；62m2-得c=22. (本小题满分12分)解:(I)证明：n(a+a)“由S=in，得2S=na+nan2n1nn-12S=(n-1)a+(n-1)an一11:+a=0n一11-得：(n-2)a-(n-1)an故(n-3)a-(n-2)a+a=0n-1n-21-得：(n-2)a-(2n-4)a+(n-2)a=0nn-1n-2即2a=a+a对任意的neN*且n3成立.n-1nn-2所以，a是等差数列.n(II)(1)设等差数列的公差为乩则由题设得a+d=aq,d=a(q-1)，且q工1111由b=a，得bqk-1=a+(m-1)d,km11所以b(qk-1-1)=(m-1)d，1bT=k-1q-1(qk-1-1)(m-1)d(m-1)a(q-1)q-11q一1=(m-1)a1故等式成立.(2)(i)证明q为整数：由b=a，得bq2=a+(i-1)d3i1111移项得a(q+1)(q-1)=a(i-1)