频率的稳定性课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3.1频率的稳定性1.通过做重复试验，探求频率的稳定性规律.2.通过试验了解随机事件发生的频率和概率的联系与区别.3.理解频率估计概率的应用实例.

对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的，或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法.事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大;事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.

思考：在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢?频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢?通过大量重复试验，用频率去估计概率.问题1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，事件A发生的概率是多少？

（一）频率和概率的区别和联系问题2：按照以下步骤，重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，说说你发现的规律.【重复试验】按照以下路径分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.第一步:每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率;第二步:每4名同学为一组，相互比较试验结果;第三步:各组统计试验事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入表中.小组序号试验总次数事件A发生的次数事件A发生的频率1100

2100

3100

...

合计

试验组:[100,100,100,100,100,100,100,100,100,100]频数:[49,51,52,51,56,48,44,53,54,48].频率:[0.49,0.51,0.52,0.51,0.56,0.48,0.44,0.53,0.54,0.48].小组序号试验总次数事件A发生的次数事件A发生的频率1100490.492100510.513100520.524100510.515100560.566100480.487100440.448100530.539100540.5410100480.48合计10005060.506讨论：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率，我们发现：(1)各小组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况?(2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律?答案：每人做25次试验，相当于在试验次数较少时重复几十次试验，通过比较事件A发生的频率，会发现频率不会完全相同，而且波动较大,小组合作100次试验，再比较各组得到的事件A的频率，会发现频率也不会完全相同，但波动变小.汇总全班的试验结果，至少有1000次试验,经过多次试验会发现频率非常接近A的概率0.5.结论:可以发现，频率具有不稳定性，但随着试验次数的增加，频率的波动幅度变小，逐渐稳定到一个常数.（借助折线图会更加直观）知新探究我们还可以利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)（如下表）.序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562160.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折线图表示频率的波动情况知新探究用折线图表示频率的波动情况我们发现：⑴试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.⑵从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.知新探究①频率是随机的，在实验之前不能确定；②概率是一个确定的数，与每次实验无关；③随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率.知新探究大量试验表明:

在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．

因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．雅各布第一•伯努利(JakobIBernoulli，1654—1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律．大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近．（1）新生儿的男婴出生率：公元1814年，法国数学家拉普拉斯在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一个有趣的统计.他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴的比值是22:21，即在全体出生婴儿中，男婴占0.512，女婴占0.488.（二）用随机事件的频率估计概率知新探究【例1】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.⑴分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；⑵根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗?分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.知新探究【例1】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.⑴分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；⑵根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗?解：

⑵由于调查新生儿人数的样本非常大,根据频率的稳定性,上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.⑴2014年男婴出生频率为

2015年男婴出生频率为由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.

要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.

知新探究用频率估计概率的步骤：⑴进行大量的随机试验，得频数；

⑶由频率与概率的关系，估计概率值.方法归纳小试身手1.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．

对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.练一练知新探究【例2】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么?解：当游戏玩了10次时，甲乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7．

根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.

相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近．

而游戏玩到1000次时，甲乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.（二）游戏的公平性方法归纳游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．知新探究

降水的概率是气象专家根据气象条件和经验,经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.

只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了,那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.

思考：气象工作者有时用概率预报天气,如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是90%”?又该如何评价预报的结果是否准确呢?

课堂小结1.频率的性质：2.频率与概率的区别与联系随机性和稳定性．

频率概率区别

本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定．是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关．联系

随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率．3.用频率估计概率的应用1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.56，0.56 B.0.56，0