2022年高考数学每日一练：第五周

1、2022年高考数学每日一练：第五周倜一】1. (2021烟台模拟)在方+。5=14, (2)54=28,痣是。5与苗3的等比中项这三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知&为公差不为零的等差数列，其前项和为S” 九为等比数列，其前项和 *)=2"+九7为常数，。1="，.(1)求数列斯, 儿的通项公式;(2)令金=怆%,其中幻表不不超过x的最大整数，求ci+cz+c3HHcioo的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 若选：由已知得生="一/=2, bj=T3T2=4,所以4=微=2,则 h,=b2qn2=2X2n2

2、=2n',故 a=b ,不妨设斯的公差为d,则l+2J+l+4d=14,解得d=2,所以斯=2-1.(2)由 C"=lgm,则 Cl = C2 = C3 = C4 = C5 = 0, C6 = C7 =C50= 1 ,C51=C52= = C1OO=2，所以 C1+C2+C3HFcioo= 1X45+2X50= 145.若选：(1)由已知得历=7271=2,。3=八一72=4,所以夕=£=2,则d=b2/-2=2X2"-2=2"r,故 ai=" = l.4X3不妨设斯的公差为乩 则4Xl+-Xd=28,解得d=4,所以a“=4-3.(2

3、)由 = 则 C1=C2 = C3 = O, C4 = C5 = " = C25=1,C26 = C27=Qoo = 2,所以 c+c+c3+aoo=X22+2X75=172.若选：由已知得岳=Ti=2, /?3=八一72=4,所以夕=得=2,则瓦=岳/-2=2X2-2=2，故 a=b=.不妨设斯的公差为d,则(1+742=(1+4(1 + 124,因为dWO,解得d=2,所以-1.由 c=lg a,则 Cl =C2 = C3 = C4 = C5 = 0,。6 = C50= 1 ,C5I = C52 =000= 2，所以 C1+C2+C3HFc1Oo= 1X45+2X50= 145.

4、倜二】2. (2021德州模拟)在锐角ABC中，角A, B, C的对边分别为。，b, c,已知6cosg+4) +cos A=5.求A;(2)若4 = 2,求 + c2的取值范围.解(1)由题意得 6sin2A+cos A=5,整理得 6cos%cos A 1=0,解得 cos A =3或 cos A = 1.又 A£(0, * 所以 cosA=£,即 A=?(2)由余弦定理 a2=b2+cr2bccos A,得 4=b2+c2bc,即+/=4+如由正弦定理得瞪bc2_4ssin 8 sin。亚32即 b=sin B, c=sin C, 而。=牛一8,邛sin Bcos 8

5、+专sin电1616 f2n /?c=7"sin Bsin C=sin Bsinr2"BJ =sin 2B-|co：4 3/ ti 4，s 23+y 巧sin(23-之+,716,0<B<?,又 9解得c 2兀 c TT0 乙所以328一方丹，所以sin（2B点）H 1 ,即bcC（,，4 ,所以 62+c2=4+%cG（T，8 .【周三】3. （2021长沙模拟）如图，在多面体ABCDEb中，四边形A8CO是正方形，AB=2, DE=BF, BF/DE, M为棱4E的中点.求证：平面BMO平面EFC：(2)若EOJ_平面ABC。，BMLCF,求二面角8一4/一

6、£的余弦值.证明 如图，连接4C,交BD于点、N,.N为AC的中点，连接MN,由M为棱AE的中点，则MNEC.MN4平面 EFC, ECu 平面 EFC, ：. MN/ 平面 EFC.VBF/DE, BF=DE,四边形BDE尸为平行四边形，：.BD/EF.)L BZXl-f-ffi EFC, EFu平面 EFC,.80平面 EFC,又 MNCBD=N,平面平面EFC.解 ：ECJ_平面ABC。，四边形4BC£)是正方形，分别以D4, DC, DE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设ED 2a,则 8(220), M(l,0, a), C(0,2,0)

7、,尸(2,2,2a), E(0,0,2a), A(2,0,0),-2, a), CF= (2,0,2a),VA/1 CF, A-lX2+aX2d=0, ，a=l, AE4=(2,0, -2), 赤=(0,2,2),2x2z=0,2y+2z=0,设平面的法向量为m=(x, y, z),m-EA=0, 则，jnAF=0,A/n=(l, 1,1),:BF/DE, OE_L平面 ABC。，.8E_L平面 ABC。，A BF±DAf X DA A. AB, ABCBF=B, AB9 B/u 平面 AB/7,DA _L平面ABE平面ABb的法向量为加=(2,0,0).-2 小Vcos Gn, D

8、A) < , =T，W + 1 + 1X2 3由图可知二面角B-AF-E为钝角，.二面角BA尸一E的余弦值为一半.【周四】4. （2021晋中模拟）一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有 大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3 次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的 两个都是红球”出现0次，则扣除10分（即获得一 10分）.（1）求一轮游戏中获得20分的概率；（2）很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加 而是减少了，请运用概率统计的相关

9、知识解释这种现象.解（1）每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中 随机摸出2个球，每次游戏出现“摸出的两个都是红球”的概率为D Cl 1"eg 10-设每轮游戏中出现“摸出的两个都是红球”的次数为X,p（x=i）=c!x+x（l±）2=福,P（X=2）=dX 尚 2x（1=）=磊，?437727.一轮游戏中获得20分的概率P=P（X=1）+P（X=2）=T5而+丁5而=丽.（2） ”摸出的两个都是红球”出现3次获得200分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2 次获得20分，若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分（即获得一 10分

10、）.设每轮游戏得分为Y,则Y的取值为- 10,20,200,尸吠=0）=41-#=箴P（X=3）=GX阖击由（1）知，丫的分布列为Y-1020200P72927011 0001 0001 0007292701E(y)= -10义 1 00G+20X 1 000+2OOX 1 00G= -1.69.这表明，获得分数y的均值为负.因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了.【周五】5.(2021 襄阳联考)己知函数危)=+0¥6抽工(1)求=/(%)在戈=。处的切线方程；(2)当。=2时，设函数g(x)=，：),若沏是g(x)在(0，兀)上的一个极值点，求证：沏是函数 g(x)在(0,兀)上

11、的唯一极小值点，且e2<gao)veqi(1)解 由已知得，(x)=ev+tz(sinx+xcosx),而/ (0)=1，尔)=1,故y=/U)在x=0处的切线方程为yl=x,即xy+l=0.e*"x 1(2)证明 当。=2 时，由题意得 g(x)=;-2sin x, x£(0, 7t),则 g'(处=?-92cos x,a/ ri ,(x22x+2),令(p(x)=g (x), 则(p (x) =ye' + 2sin x>0, / (x)在(0,兀)上单调递增,.,mG(l,舒，使g，(灿=0,当x£(0, w)时,g1 (x)<

12、;0,即g(x)在(0, xo)上单调递减, 当x£(xo,兀)时，g (x)>0,即g(x)在(xo,兀)上单调递增，；.g(x)在(0,兀)上有唯一极小值点沏且9，g(o)<g( 1)=e2sin l<e-2,、n e。ttA . . er(x 1)设力=7 x£(l,引时 (x)=-p-2>0,则也)=?在(1, m上单调递增， .A(xo)= >A(l)=e,-2sinx()W(2, - 2sin 1), g(xo)= 2sin x()>e-2,综上，e2Vg(xo)e一啦.t周六3r26.(2021南昌模拟)已知椭圆。的中心在原

13、点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆。在第 一象限内的交点是M,点M在y轴上的射影恰好是椭圆C的上焦点B，椭圆。的另一个焦 点是尸”且加加2 = *(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/过点(0, -1),且与椭圆C交于P, Q两点，求尸2尸。的内切圆面积的最大值.解设椭圆C的标准方程为方+;=l(a>b>0),由已知可得点M的坐标为冷，又尸i(0, c),22(0, c),则漏.法2=(一乎，_2,(一圣 0)=手=&C=1,所以 M|, 1), Fi(0, -1), F2(0,l).由 MF |+MF2 =yl(2+22+弋(5+。2=2a=a=2, 所以=/=3,故椭圆C的标准方程为，+弓=1.(2)由(1)知直线/过点尸i(0, -1),且与椭圆C交于P, Q两点，故尸2尸。的周长为(|PB| + |PF2l)+(IQQl + lQBI)=4a=8,又S&FPO =)(1尸刑+|。尸2|+仍。|>，=14<"=4«为该三角形内切圆的半径), 显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=履一 1,尸(为，yi),。(2, y2).y=kx - 1,联立<注+2_消去y得(4+33比26日一9=0,/=36M+36(4+3M) = 14