2022年高考数学保分题及答案解析

1、2022年高考数学考前保分题1.如图，菱形A8CO的对角线AC与BO交于点£ 80=8, AC=6,将ACO沿AC折到B4C的位置使得PD=4.(1)证明：PB1AC.(2)求平面布8与平面尸所成锐二面角的余弦值.【分析】(1)证明推出BE_L4C, PEA.AC.然后证明ACJ_平面PBE.即可证 明 PBLAC.(2)取OE的中点O,连接OP,取CO的中点/，连接OF.以O为坐标原点，OF, 0D,0P的方向分别为x, y, Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z.求出平 面PAB的法向量，平面PCD的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即 可.【解答】(

2、1)证明：因为ABCC是菱形，所以ACJ_8£>,则 BEA.AC, PEA.AC.因为8Eu平面PBE, PEu平面PBE,且BECPE=E,所以AC_L平面PBE.因为PBu平面尸BE,所以尸BJ_4C.(2)解：取DE的中点O,连接0P,取CC的中点尸，连接OF.因为 80=8,所以 DE=PE=4.因为 P£>=4,所以所以由(1)可知AUL平面PBE,所以平面尸80,平面48CD,贝lj尸0,平面A8CD>>>故以0为坐标原点，OF, OD, OP的方向分别为X, y, z轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系O-Ayz.由题中数

3、据可得A (-3, -2, 0), B (0, -6, 0), C (3, -2, 0), 0(0, 2, 0), P(0, 0, 2® 则6=拓=(3, -4, 0), BP = (0, 6, 2DP = (0, -2, 2V3).则£丝=3/-4% =。，令刘=% 得蔡=(* 3, -3m - BP = 6yl 4- 2y13z1 = 0设平面PCO的法向量为1=(X2, ”，Z2)，则代(=3小 -4y2 = 0,令也=4,就=(4, 3, V3).(n DP = -2y2 + 2V3z2 = 0设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为0,贝kos。= I 典 I =

4、 I 4X4+3X：-3.X.=噜.阿1nl 42+32+(-373)2 xj4Z+32+(>/3)2【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空 间想象能力转化思想以及计算能力.2.如图，在三棱柱 ABC-481。中，BB=AB=AB=BC,。为 4c 的中点，AB±BD,NBiBC=90° .(1)求证：平面A881A1 J_平面ABC；(2)求二面角D-BBi-A的余弦值.【分析】(1)只须证明平面ABC内直线0。垂直于平面4BB14即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值.【解答】(1)证明：取AB中点O,连接O。、OB,所以

5、ODBC,因为 88i=4Bi,所以。8iJ_A8,又因为BDCOBB,所以 A8_L平面 0810,又因为OOu平面OBi。，所以A8LOO,因为/Bi8C=90° , OD/BC,所以 OO_LBiB,又因为所以OO_L平面ABB1A1,又因为0£>u平面ABC,所以平面A8C_L平面于是平面AB814-L平面ABC.(2)解：由(1)知O。、04、081两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2,瓯=(0, 1, V3), fi£> = (1, 1, 0),设平面BBiO的法向量为其=(x, y, z),呼, y + gz = O,令

6、尸 _百，(V3, -V3, 1),BD m = x + y = 0平面881A的法向量为 = (1, 0, 0),Imnly/3V21所以二面角D-BB1-A的余弦值为= -=.|m|n|v7-l 7【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.3.如图，在四棱锥P-A8C。中，FJ_平面A8CD,底面A8CZ)是菱形，NA8c=60° .点 E,尸分别在棱BC, PC上，且尾 =2应7, PF = 2FD.(1)证明：£F平面PAB-,(2)若布求二面角B-PC-。的余弦值.【分析】(1)在以上取点G,使PG = 2GA,连结BG, FG,

7、证明BEFG是平行四边形， 得出EF/BG,即可证明E尸平面PAB.(2)取BC中点”，连结则分别以AH, AD, AP为x, y, z轴建立空 间直角坐标系，求出平面PBC、平面PCD的法向量，利用法向量求二面角B - PC-D 的余弦值.【解答】(1)证明：在以上取点G,使PG = 2G4,连结BG, FG,如图1所示：图1t t PF PG 2因为PF = 2FD,所以一=一=PD PA 3由平行线分线段成比例定理的逆定理知，GF/AD,且>又因为BE = 2EC,且A8CC是菱形，所以 8EA£),且所以 BEGF,且 8E=Gf,所以8EFG是平行四边形，所以EFBG

8、,又因为EFC平面PAB, BGu平面PAB,所以E尸平面PAB.(2)解：因为四边形A8CO是菱形，NABC=60° ,所以ABC为等边三角形，取BC中点连结则4H_L8C.因为B4J平面48CD,分别以A4, AD, AP为x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图2 所示：图2设 A8=2,则8(遮，-1, 0), C(V3, 1, 0), D (0, 2, 0), P(0, 0, 2夜),>>>所以8c = (0, 2, 0), PC = (V3, 1, -2V2), CD = (-V3> 1, 0).设平面P8C的法向量为=(xi, ji, zi),(V3%1 + 为 一 2yhz、= 0(2yi = 0令%=2&，得£ = (2VL 0, V3).设平面PCD的法向量为薪=(%2, y2' Z2)，d.frn-PC = 0 pri(V3x2 +y2 - 2V2z2 = 0U.cb=0，t-V3x2+y2 = 0'令X2=2,得薪=(2, 23, V6).设二面角8-PC-O的大小为。，由图可知。为钝角,“皆 n I 厂 n-in 47