2021年高考真题——理科数学全国Ⅲ卷

1、www.ks5uc0m2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1,已知集合A（x,y）x2y21,B（x,y）|yx,则A。B中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】A表示圆x2y21上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，故A。B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即AB元素的个数为2,故选B.2.设复数Z荫足（1i）z2i，则忆（）A.1B.C.72D.222【答案】C"2i2i1i2i2.吃一t.【解析】由题，z11i1i-2-i1,则|zV1212正，故选C

2、.3 .某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.刀才女寸力#在41Lr八I1S2012i4SG7fl>1011121上34567st9101112124S678910111上2014年2015年2016年根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选

3、项错误，故选A.533一4 .（xy）（2xy）的展开式中xy的系数为（）A.B.【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含22333xC52xyyC52xC.40D.80x3y3的项为23333-y40xy,则xy的系数为40,故选C.225.已知双曲线C:341a2b2a0,b0）的一条渐近线方程为22L1有公共焦点.则C的方程为（）2xD.41232222xy/xy,A.1B.181045B双曲线的一条渐近线方程为y也x,则b近2a222又.椭圆L工1与双曲线有公共焦点，易知c3,则a2b2c212322由解得a2,b而，则双曲线C的方程为£1,故选B.,45716.设函

4、数f(x)cos(x-),则下列结论错误的是()3f(x)的一个周期为2兀.，一87rB.yf(x)的图像关于直线x一对称3C.f(x)的一个零点为D.f(x)在(-,)单调递减2【解析】函数fx兀cosx一3的图象可由cosx向左平移个单位得到,3的最小值为oD.A.B.C.D.【答案】【解析】5432D程序运行过程如下表所示:初始状态第1次循环结束第2次循环结束10090此时S9091首次满足条件，N2为满足条件的最小值，故选M10010FT.WTg.5-0VWr=r+1程序需在3时跳出循环,D.2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为为()Tt

5、B37t由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r2，12123则圆枉体体积V<h一,故选B.4'9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则an前6项的和为()A.【答案】【解析】24AB.C.3-an2则a为等差数列，且a2a6,即aia2,a3,a6成等比数列，设公差为22daida15d又-a又d1，代入上式可得6ald22d224,故选A.2x10.已知椭圆C：-2a的圆与直线bx2yb2ay0)的左、右顶点分别为A,Aa,且以线段AiA为直径2ab0相切，则C的离心率为()A.【答案】【解析】C.以AA为直径为圆与直线bxay2ab0

6、相切,，圆心到直线距离等于半径,|2ab22aab又a0,b0,则上式可化简为ab2a2c2,可得a2323b2即ca-6,故选A311.已知函数f(x)A.【答案】【解析】x12xa(eB.13)有唯一零点，则C.a()12由条件，f(2x)f(x)(2x)x12xa(e2(2x)a(e2x2x4x2x1x442xa(ex1x1a(ee),得:(2x)ex1e)1)f(2x)f(x),即x1为f(x)的对称轴,由题意，f(x)有唯一零点，f(x)的零点只能为2即f(1)12一1解得a万.1a(e1,11e)0,12.0形誓CD&APABAD,AD2,动点的最大值为()P在以点C为圆心

7、且与BD相切的圆上.若A.【答案】B.272C.由题意，画出右图.设BD与0C切于点E,连接CE.以A为原点，AD为轴正半轴，AB为轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1).|CD|1,|BC|2.BDa22V5BD切0c'J'jECE±BD.CE是RtABCD2s八2|EC|Z-|BD|中斜边BD上的高.1_3|BC|CD|BD|2-的半径为5.P在5上.(x2)2P点的轨迹方程为设P点坐标(X0,y0),可以设出(yP点坐标满足的参数方程如下:X02275cosV1而aPAP(3。),AB羡AD(0,1),(0,1)aD(2,0)1x1X0I2两式相加得：5

8、一cos5V。(2,0).(2,)5,5sin52赤sin5(25.(5sin(5一cos5252)2()2sin(5尸352.5、(其中sin-,cos).兀.当且仅当52k兀，kZ时，取得最大值3.、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x,y满足约束条件xy>0,y2<0,则z3x4y的最小值为y>0,【答案】1【解析】由题，画出可行域如图:目标函数为z3x4y,则直线y（纵截距越大，值越小.11【答案】8【解析】aan为等比数列，设公比为.aia21a1a1q1Q，即2Q分），aia33a1alq32,代入式可得a18.1,显然q1,a10,了得1q3

9、,即q33a4a1q121、，一-）1的x的取值范围是11,即fx31fxfx的图象如下：x1,x<0,15,设函数f(x)*则满足f(x)f(x2,x0,1【答案】-，4x1,x<01【解析】，fxoxc，fxfx72,x02r1由图象变换可画出yfx2与y1由图可知，满足f16.,为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与,都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与成60角时，AB与成30角；当直线AB与成60角时，AB与成60角；直线AB与所成角的最小值为45;直线AB与所成角的最大值为60.其中正确的是(填写所有正确结论的编

10、号)【答案】【解析】由题意知，a、hAC三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|1|AB|、/2,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，b点的运动轨迹是以u圆心，1为半彳竺.以C为坐标原点，以CD为轴正方向，CB为轴正方向为轴正方向建立空间直角坐标系则D(1,0,0),A(0,0,1),直线的方向单位向量(0,1,0),|a|1.B点起始坐标为(0,1,0),直线的方向单位向量b(1,0,0),|b|1.设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0),其中为BC与CD的夹角，塔兀)那么AB'在运动过程中的向量AB(cos,sin,1),设端

11、与所成夹角为0,；,(cos,sin，1)(0,1,0)22则c0sJ|ab21smI0,-2-_兀兀一.一故丁金,所以正确，错误.设短与所成夹角为0,;1，cos(cos,sin,1)(1,0,0).2|cos2当aB与夹角为60时，即sin2cos兀3'2122cos|coscos2sin且221|cos20，-.2=9,此时AB与夹角为603，正确，错误.22,23题为选考三、解答题：（共70分.第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答.第题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17. (12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAj3cosA0

12、,(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC,求AABD的面积.一支【解析】(1)由sinAV3cosA0得2sinA-0,3r一1.宜,一一”八即A-knkZ,又A0,兀，3n2支A一n，得A.331»一-代入并整理得由余弦定理a2b2c22bccosA.又a2J7,b2,cosAc125,故(2)AC2,BC4.2"AB4,2b2由余弦定理cosC2abACAD,即AACD为直角三角形,则ACCDcosC，得CDV7.由勾股定理ADJ|cd|2|ac|2V3.ADc2d2n汽汽DAB,326ABsin-召.6最高气温10,1515,2020,2525,3030,3

13、535,40天数21636257418.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为20枷,为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的

14、利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，丫的数学期望达到最大值？【解析】易知需求量可取200,300,500PX200PX300PX500216130353623035257423035则分布列为:X200300500P2525当nw200时：丫n642n,此时Ymax400,当n200时取到.4 1当200门300时-Y2n-2002n20025 588002n6n800n555此时Ymax520,当n300时取到.当300nW500时，1Y2002n200532002n22-3002n300255此时Y520.当n>500时，易知一定小于的情况.综上所

15、述：当n300时，取到最大值为520.19. （12分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，4ACD是直角三角D二JCBD,ABBD.:平舟ACD平面(2)过AC的平面交BD于点E,形.(1)若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求面角DAEC的余弦值.【解析】取AC中点为O,连接BO,DO；AABC为等边三角形BOAC.ABBCABBDBCBDABDCBD.ABDDBCADC.ADCD,即ACD为等腰直角三角形,为直角又O为底边AC中点.DO令AB易得:ACa,则|AB|IACOD*，OBBCBD3-a2.OD2OB2BD2由勾股定理的逆定理可得DOB一2即ODOBODAC

16、ODOBAC。OBOODAC平面ABCOB平面ABC平面ABC又.OD平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC由题意可知VDACEVBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点平面ABC以O为原点，OA为轴正方向,OD为轴正方向，设AC为轴正方向,a,建立空间直角坐标系,则O0,0,0,aAa,0,02aD0A2B0,a,023a0,a,-44易得：AEa3a,a,-244jOAacc一,0,02设平面AED的法向量为n；平面AEC的法向量为n2、.31,30,1,3AEni0TT,解得n0,解得0n2ADni0若二面角DAEC为，易知为锐角,220. (12分)已知抛物线C:y.

17、2x,过点(2,0)的直线交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；设圆M过点P(4,|2),求直线与圆M的方程.【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.设l:xmy2,A(x,y),B(x2,y2),y22x/口2联立：xmy2得y2my40,16恒大于，Vix/2y/y22m,y1y2(my12)(my22),2(m1)y1y22m(y1y2)4，2八一，一、4(m1)2m(2m)4OaOb,即O在圆M上.若圆M过点P,则MXP0(x4)(x24)(y2)(y22)0(my2)(my22)(y2)(y22)0,2(m1)yiy2(

18、2m2)(yy?)802-1,、化间得2mm10斛得m一或21.当m2时，l:2xy40圆心为Q.y。)，y0X”21,x0y023,y1y2y0丁半径r|OQ|11一，劭y222291.429、2,1、2则圆M:(x4)(y3)8516当m1时，l:xy20圆心为Q(m,y0),半径r|OQ|3212一.一一22一则圆M:(x3)(y1)1021.(12分)已知函数f(x)x1alnx.(1)若f(x)>0,求的值；(2)设m为整数,且对于任意正整数，(1),M(1一最)<m,求m的最小值.【解析】f(x)xalnx则f(x)当a<0时,xx0,f，且f(1)0x在0,上单

19、调增，所以不满足题意;当a当0当x若0时，xa时,f(x)0,若若a时,a1,题意综上所述a则f(x)在(0,a)上单调递减;f(x)在(a,)上单调递增.f(x)在(a,1)上单调递增，当f(x)在(1,a)上单调递减当f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,(a,1)时f(x)(1,a)时f(x)上单调递增f(1)f(1)0矛盾0矛盾f(x)>f(1)0满足当a1时f(x)x1皿*>0即皿*1则有ln(x11)<x当且仅当x0时等号成立ln(17)12k1方面：ln(1)即(1另一方面:当n>3时,21R."11(1-)(1211ln(12)21.ln(1*mN,了)e-1、一2'2).(111).(11尹.(11牙)1R1(1(2,e)1-m的最小值为.22.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，直线的参数方