向量组的线性表示ppt课件

1、定义定义1 1 . , 21个分量个分量称为第称为第个数个数第第个分量，个分量，个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，nn例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，

2、也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,bann注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的

3、实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21nTaaaa 空间空间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一对应一一对应 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnn

4、T 221121),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n向量相等：向量相等： = (a1, a2, , an), =(b

5、1, b2, , bn)零向量：零向量：;)();,0;,()0; 容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足 1) 交换律 2) 结合律 ( 3) 对任一向量有 4) 对任一向量有 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1= ;()()() ;(3);2);, ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的线性运算成立分配律 1) k()=k () =上述均为 维向量均为实数. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)( aaaa

6、aaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个mnnmm, 2

7、1矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为这这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211

8、mmkkk 线性组合线性组合123412341110:,1201111023231201A aaaaAaaaa 向量组向量组 的一个线性组合：例例 mmb2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即线线性性方方程程组组bxxxmm 的的线线性性组组合合，这这时时称称是是向向量量组组则则向向量量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA 向量b能由向量组A线性表示.1234123411106:,1201723A aaaabaaaab 123124627xxxxxx方程组方程组 有解有解. 例例1122

9、3344bx ax ax ax a定义定义 . .,:,: 2121这这两两个个能能相相互互线线性性表表示示，则则称称量量组组与与向向若若向向量量组组称称线线性性表表示示，则则向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA例例 设有两个向量组设有两个向量组A : : 及及B : :112212112212,2,2,2,2,baabaaabbabb 1210,01aa 1211,12bb 则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.使使在数在数存存量量线性表示

10、，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表表示示的的系系矩矩阵阵ijsmkK 矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnbbbbbbbbbccc2122221112112121),),（ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组线性表示的行向量组能由的行向量组能由同时，同时，ABC,. . 的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知，由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由的行向量的行向量，即，即