八年级数学——半角模型

1、例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且ZEAF=45°。求证：EF=BE+DF；证ABGADF，得Z3=Z2,AG=AF,进而求证AGEAFE,可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF特征描述：过等腰ABC(AB=AC)顶角顶点(设顶角为A)，引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.题型识别：“等线段、共顶点、半角度”解决方法：以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合；找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。如图，在正方形ABCD的边BC

2、,CD上分别有点E,F,ZEAF=45°,AH丄EF.求证：AH=AB；分析：将WDF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，根据旋转的性质可得DF=BG,AF=AG，乙DAF"BAG,然后求出ZEAF=ZEAG=45。,再利用"边角边”证明SEF和MEG全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH=AB证明：将MDF绕点A顺时针旋转90°得到ABG,由旋转的性质得，DF=BG,AF=AG,ZDAF=ZBAG.VZFAG=ZBAG+ZBAF=ZDAF+ZBAF=ZBAD=90°,ZEAF=45°,ZEAF=ZEAG=45°

3、;.在MEF和MEG中，'AF=AG<ZEAF=EAG、AE=AEAEF竺MEG(SAS)fAH、AB分别是WEF和MEG对应边上的高，AH=AB.(1)如图1,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：.(2)如图2:在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.点E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=60°,探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点C,使DG=BE，连结

4、AG，先证明ABEADG，再证明SEF5GF，可得出结论，他的结论应是.请你帮小王同学写出完整的证明过程.GA图1图2(1)如图1,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=45。,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为"在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、1CD上的点，且zEAF二2zBAD”，则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将SEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线

5、上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.A,mi已知：如图，RfABC中，ZACB=90°,AC=BC,将直角三角板中45°角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点(点D在点E的左侧，并且菁优网点D不与点A重合，点E不与点B重合)，设AD=m，DE=x，BE=n(1)判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；(2)当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有

6、效途径下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题(1)如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,ZEAF=45°,连接EF，则EF=BE+DF，说明理由完成解题过程解：把MBE绕点A逆时针旋转90°至4DE',点F、D、E在一条直线上.(2)类比猜想请，同学们研究：如图(2),在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当ZBAD=120°,ZEAF=60。时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由.D如图，在等腰直角5BC的斜边AB上任取两点M、N，使ZMCN=45°,记AM=m,MN=n,BN=k.试猜想:以m

7、、n、k为边长的三角形的形状是(在下列括号中选择).(锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形)Z)BSEEi已知：如图1在RfABC中,ZBAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点，若ZDAE=45度探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把"EC绕点A顺时针旋转90°,得到ABE',连接ED，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.A卫问题1如图1在等腰梯形ABCD中ADBCAB=BC=CD点MN分别在ADCD上若ZMBN=1ZABC,2试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜