高中数学求函数的值域课件

1、2.3 2.3 函数值域的求法函数值域的求法2022年5月6日星期五高中数学高中数学 函数函数y = f ( x )因变量因变量自变量自变量对应法则对应法则自变量自变量x的取值范围为的取值范围为 _因变量因变量y的取值范围为的取值范围为 _定义域定义域值域值域 1:在初中我们学习了哪几种函数在初中我们学习了哪几种函数?函数函数表达式表达式是是什么什么?它们的它们的定义域定义域各是什么各是什么? 一次函数一次函数 :反比例函数反比例函数: 二次函数二次函数 :y=ax+b(a0) 定义域定义域为为R) 0( kxky定义域定义域为为x|x 0 f(x)=ax2+bx+c(a0)定义域定义域为为R

2、 值域值域 呢呢?值域值域为为y|y 0 当当a0时，时，值域值域为为: abacyy44|2 当当a0时，时，值域值域为为: abacyy44|2 值域值域为为R常用的求函数的值域的方法有以下几种： 1.直接法 2.配方法 3.换元法 4.判别式法 5.分离系数法 6图像法1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。 例例1：求函数：求函数 的值域的值域1xy二、配方法： 形如形如 y=ax2+bx+c(a0) 的函数常用配方法求的函数常用配方法求函数的值域函数的值域, 要注意要注意 f(x) 的取值范围的取值范围. 例例2 (1)求函数求

3、函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间在下面给定闭区间上的值域上的值域: -4, - -3 ; -4, 1 ; -2, 1 三：换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法理函数化为代数函数来求函数值域的方法( (关注新元的取值范围关注新元的取值范围) ). 例例3 求函数求函数 的值域的值域:注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。 y=x- - x- -1 3、求下列函数的值域：、求下列函数的值域：（1）y = x +x 1解：设解：设

4、t = x 1则则 x = 1 t 2 且且 t 0 y = 1 t 2 + t 45)21(2 t xyo1由图知：由图知：45 y45,( 故函数的值域为故函数的值域为（2）y = 2x 3 +134 x134 x解：设解：设 t = 04132ttx且则tty 3213227212 tt3)1(212 t xyo27由图知：由图知：27 y故函数的值域为：故函数的值域为：),27 四、判别式法四、判别式法例例4 求函数求函数 y = 的值域的值域. 主要适用于形如主要适用于形如 y = ( (a, d不同时为零不同时为零) )的函数的函数( (最最好是满足分母恒不为零好是满足分母恒不为零

5、) ).ax2+bx+c dx2+ex+f 能转化为能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函的函数常用判别式法求函数的值域数的值域. 1223222 xxxx求函数求函数 y = 的值域的值域1223222xxxx解：由题知解：由题知 x R，则有，则有2yx 2 + 2yx + y = x 2 2x 3( 2y 1 )x 2 + 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 00,21 时时当当 y0)3)(12(4)1(42 yyy0432 yy2114 yy且且有有解解时时当当67,21 xy21 y故函数的值域为故函数的值域为 4，1 例例5、求下

6、列函数的值域、求下列函数的值域: (1) y =521 xx解：由解：由5227)52(21 xxy522721 x05227 x21 y故函数的值域为故函数的值域为),21()21,( 练习求下列函数的值域练习求下列函数的值域(1)y=3x+2(-1x1) (2) xxy1解解:(1) -33x3 -13x+25 即即-1y5 值域值域是是-1，5y=xxx111-1x1解解:(2)01xy1即函数的即函数的值域值域是是 y| y R且且y 1 （3） 求下列函数的最大值、最小值与值域：求下列函数的最大值、最小值与值域： y=x2-4x+1 y=x2-4x+1 x 3,4 y=x2-4x+1

7、 , x 0,1 y=x2-4x+1 x 0,5解：解： y=x2-4x+1 = (x-2)2-3顶点为顶点为(2,-3)，顶点横坐标顶点横坐标为为2. (对称轴对称轴x=2)抛物线的开口向上，函数的定义域抛物线的开口向上，函数的定义域R x=2时，时，ymin=-3 ,无最大值；函数的无最大值；函数的值域值域是是y|y-3 .当当x=3时，时，y= -2, x=4时，时，y=1 在在3,4上上,ymin =-2， ymax =1； 值域值域为为-2，1. 顶点横坐标顶点横坐标2 3,4，解略解略:解解顶点横坐标顶点横坐标2 0,5 当当x=0时，时，y=1, x=2时，时，y=-3, x=5

8、时，时，y=6, 在在0,1上，上， ymin =-3， ymax =6 值域值域为为-3，6. 求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1）y = （2）y =（3）y = x2+4x+3 (-3x1x1)（4）y =3-2x-x2 x-3,13241 xx3312 xx变式变式:(1)求函数求函数 的值域的值域612xxy(2)求函数求函数 , x 3,5 的值域的值域612xxy（5）、求下列函数的值域）、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | | 1 x |解：由解：由 y = | x + 1 | | x 1 |当当 x 1 时，时，y = ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 2当当 1 x