流体力学扩散理论PPT学习教案

1、会计学1流体力学扩散理论流体力学扩散理论24.1概述，关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。理论基础：扩散与输移理论。 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。 第1页/共65页34.2 分子扩散的费克定律，扩散方程 imxcDQ费克第一定律 QiixxQQix0),(),(11111xttxcttxtxQx费克第二定律 积分： )4exp(4),(211tDxtDMtxcmmM为t=0时在x1=

2、0处的扩散质的数量，这些扩散质沿x1方向扩散。表示浓度c沿x1分布规律，按指数规律急剧衰减。 0),(),(211211xtxcDxtxcm第2页/共65页44.3分子扩散的随机游动分析 自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离；假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于x1方向；每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等；出现正号的次数为p，出现负号的次数为q； p+q=N，p-q=S， p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2经过N次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率：p=N!/(p!q!)/2N：)!1 ()!1 (2!22

3、NSNNSNNNP第3页/共65页5分子运动N是个大数，SN，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2/2 )2exp(22NSnP令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；)2exp(221latxatlPN=at/l，Sl=x1与 比较，Dm=la/2=Nl2/(2t) )4exp(4),(211tDxtDMtxcmm)4exp(21tDxtDlPmm以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率 第4页/共65页6求在t时刻分子位于x1与x1+x1之间的概率P，分子到达x1后，下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下一步在x1与x1+x1的范围的机会为(1

4、/2)(x1/l)，则： 121121)4exp(212)4exp(xtDxtDlxtDxtDlPmmmm分子沿x1作随机运动其概率密度(P/x1) 符合正态分布 标准差： tDm2平均值： tDdPdPxxm20011方差： tDdPdPxxm2002121txDm221随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。 第5页/共65页74.4移流（层流）扩散方程 流动流体除了分子扩散还有随流传输 cuzyxxcDmdxxcucu)(dxxcDxxcDmm)(dxdydz流入扩散质cudydzdt，扩散量流出扩散质dydzdt，扩散量dydzdtxcDmdydzdtdxccDxxcDmm)(第6

5、页/共65页8进出量之差： dxdydzdtxcDcuxm)(dxdydzdtycDcvym)(dxdydzdtzcDcwzm)(在dt时间段微元体扩散质的增加量： dtdxdydztc)(由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：)()()(cmmmFzcDcwzycDcvyxcDcuxtccmFzcycxcDcwzcvycuxtc)()()()(222222或 移流扩散方程 左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项 第7页/共65页94.5紊动扩散拉格朗日法 4.5.1单个质点的紊动扩散泰勒扩散理论 设标志质点在y2方向的流速为

6、v2（2表示拉格朗日流速）t dtvYtYt0222)()0()(假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿y方向一维扩散取Y2 (0)点为原点，v2 (t)是随机变量，则Y2 (t)的统计平均值 t dttvttYt)()(00202 tttTtTttTttvttvt dt ddtttvttvTt dt dt dttvttvt ddtTdtttYTtY00202000200020020002000002222)()()()(1)()(1)(1)(第8页/共65页10每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均 t tttt dt dt dt d0 0002tt”ttdttt左边是距形微元从0到t的积分，是

7、一正方形 ttt dttvttvt dtY00202022)()(2)(的两个流速的乘积对许多质点的平均值 )()(0202ttvttv tt右边积分是个三角形,左边是右边的2倍 的意义是同一质点在时间差为第9页/共65页11拉格朗日自相关数： 2)()()(iiiLvtvtvRdRt dvdtvtvt ddtvtvt dtYtLttttt00220220022022)(2)()(2)()(2)(dRdRtt dtRtdRtdRt dttLLtLttLtLt0000000)()()(|)(|)(dRtvtYtL02222)()(2)(有两种极端情况 第10页/共65页12（1）扩散时间很短 1

8、)(LR22222)(tvtYtvtYtY22222)()(很小，,在扩散初期，扩散的发展与时间t成正比。（2）扩散时间很长 达到某一时刻t*后，可认为已无相关，即t=t*时，RL() 0，当tt*时， *000)()()()(ttLLLtdRdRtdRt第11页/共65页13当t很大时，忽略右边第二项，令： LtLTdR*0)(拉格朗日积分时间比尺。 LtTvtY22222)(或 LtTvtYtY2)()(22222在扩散发展很久之后，扩散的发展与 成正比。 t紊动扩散系数： dRvdRvTvdttYdDLtLLt0220222222)()()(21*第12页/共65页14LtvD22dRv

9、LL022)(22ycDtct拉格朗日扩散长度比尺在tTL后，紊动质点运动为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。 第13页/共65页154.5.2两质点的相对扩散 有些问题还需要研究质点间相对位置关系。如两点间距大于紊动的长度积分比尺，则两点将各自独立游动，互不影响，如小于紊动的长度积分比尺，将受到部分紊动的影响。 设两质点和的速度为v和v，相对速度w= v-v，各自位移为 和 ,相对位移 :YYt dtwzYYzt0)()0(第14页/共65页16相对扩散距离的均方值： )(2tzzss两点间距长度 相对扩散系数： dtsdDr221（a） 相对扩散速度： 202ssdtdvr变换：

10、 ),(),(),(),(21),(000020tswtsztszdtdtszdtsdtsDr第15页/共65页17改写： dtswtswtsDtr0000),(),(),(从（a）得： dtswtswt dst dtsDsstttr),(),(2),(200000200202或 dtswtswt dsstt t 00000202),(),(221),(),(200000202 t ttdtswtswt ddtdssdtd第16页/共65页18（1）扩散时间t很短 认为质点流速不变，保持t0时的值， 相对流速的相关 )0 ,()0 ,(),(),(0000swswtswtswiiii等于常数，

11、 tAttswtswtsDiir1000),(),(),(212002002),(),(),(tAttswtswstssii10020221 ) ),(),(Atswtswssdtdii第17页/共65页19常数A1与s0的大小有关： （1）当s00.7s，线性关系良好。由图b曲线扩散初期的线性关系： tvY222smtYv/024. 0102 . 048. 022222222/0006. 0smvLrvD22扩散长度比尺： mvDtyL24221025. 1024. 0100 . 3第22页/共65页244.6紊动扩散欧拉法4.6.1紊流扩散方程溶质浓度：c=c(x1,x2,x3,t)层流移

12、流扩散方程： cmFxcxcxcDcuxcuxcuxtc)()()()(232222212332211cmFxccxccxccDuuccxuuccxuuccxtcc)()()()()()()(232222212333222111cmFxcxcxcDucxucxucxucxucxucxtc)()()()()()()(232222212332211332211紊流扩散方程 第23页/共65页25 的物理意义：紊流中通过分别正交于xi轴的单位面积在单位时间内传输的紊动扩散量。 iucjijixcDuccjimjiijiiFxxcDxxcDucxtc22)(欧拉型紊流扩散方程 简化： jiijiixx

13、cDucxtc2)(当ij时，Dij=0， iitiixxcDxcutc2第24页/共65页264.6.2紊动扩散系数 设扩散质沿x2方向，通过单位面积单位时间扩散质数量002002)(),(1dttvttcTvcTt0为质点经过该单位面积的时刻； t为从开始扩散算的扩散时间； c(t0,t)为扩散质浓度。 第25页/共65页27在t时间内质点流动距离为Y2，由混合长度概念： 2020),(),(dxcdttYttc质点流速： ),(022ttYdtdv )(21),(),(122200200222tYdtddxcddtttYdtdttYTdxcdvcT由费克定律： 22dxcdDvc)()(

14、)(212222tvtYtYdtdD第26页/共65页281.当扩散时间较短，R()是时间函数，D也随时间变化。 讨论:2.当扩散时间很长： LLLtvTvdRvD222202)()(当扩散时间较长时，D与L成正比。 3.L是一个长度积分比尺，是衡量大尺度紊动的参数 可见，紊动扩散系数D主要取决于大尺度的旋涡运动。 第27页/共65页294.7关于扩散方程的求解 （1）在静止或均匀流动中的扩散 扩散方程可从一个固定点瞬时放入或连续放入扩散质，求得一维、二维和三维解析解。 （2）剪切流中的一维纵向离散采用过流断面上的平均流速和平均浓度计算，求得断面平均浓度沿纵向的分布。 （3）剪切流中的二维离散

15、 （4）数值求解 （5）物理模型 第28页/共65页304.8静止流体中瞬时源和连续源的扩散 4.8.1瞬时源的扩散 (1)集中投入的情况 在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质，分析t时刻在无界空间浓度分布。 一维分子扩散方程： 212xcDtcm数学求解：量纲分析法。 浓度c(x1,t) 是M,x1,t,Dm的函数，与M成正比。 扩散系数Dm的量钢为L2/T ，选用Dmt为特性长度。 第29页/共65页31tDxftDMcmm441令： tDxm41代入： 0),(),(111ttxcxtxQ02fddf 通解为： 20ecf质量守恒 Mcdx 1积分: c0=1 基本解: )4ex

16、p(4),(211tDxtDMtxcmm结果：浓度c沿x1轴的分布是正态分布第30页/共65页32二维扩散： 22222121xcDxcDtc令c(x1,x2,t)=c1(x1,t)c2(x2,t) )()()(222222121121122222121212211221xcDtccxcDtccxcDcxcDctcctccccttc上式只有当两个括号的量分别等于零才能满足，即c1和c2应满足瞬时源一维扩散的解。 扩散总质量： 21dxcdxM基本解 ：)44exp(4),(222121212121tDxtDxDDtMcctxxc第31页/共65页33(2)空间上分布投入的情况 可考虑为若干个瞬

17、时源的叠加，按叠加原理求解。 设沿x1轴上在x1=处d上面源的强度：M()=f()d dabf()4exp(4),(211tDxtDMtxcmm第32页/共65页34起始时 ：c(x1,0)=f()，ax1b， 扩散作用叠加后，经时间t在x1处的浓度： dtDxtDftxcba4)(exp4)(),(12111对于一阶函数，t=0时，f()=0(x10); f()= c0(x10) dtDxtDctxc01211014)(exp4),(变换后： 41 2),(1101tDxerfctxc第33页/共65页35误差函数： dezerfz022)(性质： erf(-z)=-erf(z)；erf(0

18、)=0；erf()=1 起始台阶函数1-3-2-12341 2),(1101tDxerfctxc起始为台阶形分布的瞬时源的扩散 第34页/共65页36表： 误差函数及正态分布的积分 xxerfdxxx022)2exp(210.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.21.41.61.82.02.53.04.00.00.11290.22270.32860.42840.52050.63090.67780.74210.79690.84270.91030.95230.97630.98910.99530.99960.999981.00000.00.03980.07930.119

19、70.15540.19150.22570.25800.28810.31590.34130.38490.41920.44520.46410.47730.49380.49870.499960.5000第35页/共65页374.8.2连续源的扩散 连续源是指在时间上的连续扩散，即从某时刻t=0开始，在某处连续加入扩散质，求以后任何时刻空间中扩散值的浓度分布。 设扩散源于原点x1=0,当t=0,沿x1=0处浓度在瞬间突然升高为C0 从量纲分析出发，设 )(010fctDxfccmtDxm1ddcttddcdtdc21222121dcdtDxcm第36页/共65页38代入扩散方程，变换为一常微分方程 2

20、221dfdddf边界条件为f(0)=1,f()=0 因C(-x1,t)=c(x1,t),可只沿+x1轴求解，得 )0(44111010 xtDxerfcctDxerfccmm1x0cct增 加1t3t2t第37页/共65页39给定连续加入的扩散的量 ，而且是变化的，可以看作无数不同的强度的瞬时源产生的时间上叠加的结果，然后进行零到t 的时间积分。 设在时间微时段加入的扩散质为如图所示，则经历（t- ）时间扩散的产生的浓度为 )(4exp)(4)(21tDxttDdfcmm211( )( , )exp4()4()tomxfc x tdDm tD t第38页/共65页40连续源分布在沿x1轴一定

21、范围ax1b内于时刻 在d 时间内加入的扩散质的量为 ，一维扩散时间经时间（t- ）在x1处的浓度为 21()( , )exp4()4()xfcd dDm tDm t 2110()( , )(, )exp4()4()tbaxfc x td dDm tDm t 对于连续源的二维、三维扩散，原则上也可按上述方法看作无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相应瞬时源的浓度分布公式进行时间积分计算。 ( , )Mfd d 第39页/共65页41等强度连续点源的三维扩散 瞬时点源扩散 2223121233/21/2123123123( , )exp()(4)()444,xxxMc x x x ttD D DDtD

22、 tD tMcdx dx dx在静止流体中各向同性扩散情况，D1=D2=D3=Dm2222123rxxx23/2( , )exp(4)4mMrc r tDmtD t第40页/共65页4223/2exp4()4()mmmdrdcDtDt于时刻 在d 时间内加入的扩散质的量为m ，经历（t- ）时间在r处的浓度为 d从起始到t时间在位置r产生的浓度为上式的时间积分 23/200( , )exp4()4()ttcmmmrc r tddDtDt1/24()mrDt1/23/21(4)2 ()mrddDt0 时4mrD tt 时 第41页/共65页4321/223/2/2/242( , )exp()8(

23、)4mmmrD trD tmmDmmcr tdedDrD r( , )42mmmrc r terfcD rD t第42页/共65页444.9 均匀紊乱中的扩散 代入: 21iiiiicccuDtxx x 21iiiicccUDtxx x 单向的均匀流动中，即各处流速均匀u1=U,u2=u3=0 设: 11 xxUt11()txx1111()()()xxxUtxttxt 得: 222112233222123ccccDDDtxxx第43页/共65页454.9.1均匀紊流中顺时源扩散的浓度分布 1.瞬时（面）源的一维扩散 211211cccUDtxx浓度解: 211111122()exp44txUM

24、c xtD tt D D第44页/共65页462.瞬时（线）源的二维扩散 22112222112ccccUDDtxxx浓度解: 22121211221122(, )exp444xUtxMc x x tD tD ttD D第45页/共65页473.瞬时（点）源的三维扩散 21iiiicccUDtxx x 浓度解: 2321321233/21/2112233112233(, )exp(4)()444xUtxxMc x xx ttD D DD tD tD t第46页/共65页484.9.2均匀紊流中连续源扩散的浓度分布 1.连续源的一维扩散 1x0 xc100 当1c 当（x ,0）=浓度解: 11

25、11(, )14xUtc x terfD t第47页/共65页492.连续源的三维扩散 .2223123()(, )exp44xxM xc x x ttDUDt1x1x2xU3x连续源.M第48页/共65页50.222223231()()expexp4444xxxxMxM ttDDtDUDt转换为三维浓度时 .222312311()( ,)exp44xx UMc x x xDxDx第49页/共65页513.连续源的二维扩散 221211( ,)exp44x UMc x xDxDx4.连续源的非稳定扩散 21101111()( )( , )exp4()4()txU tfc x tdDtDt第50

26、页/共65页524.10 有边界反射的扩散 4.10.1 固定边界的反射 虚拟源实际源-2L-L022222(2 )1(, )expexp444xxLc x tDtDtDt第51页/共65页53虚 拟 源虚拟源实 际 源边界边 界02L2L-LL2x222(2)1(, )exp44nxnLc x tDtD第52页/共65页544.10.2 大气中扩散的逆温层反射 U大气混合层逆温层虚拟源实际源虚拟源地面HLX1.22221211(,)expexp()444/4x UxMMc x xDxDtUDxUUDt第53页/共65页55在x1,x3立面的上产生的浓度为 223313(2)(2)1( ,)e

27、xpexp444nxHnLxHnLc x xDtDtDt两种作用综合结果 1231213.222332( , )( ,)( , )(2)(2)exp()expexp4444nc x x xc x xc x xxHnLxHnLxMDtDtDtDt式中t=x1/U。取n=0,0, 1, 2计算已足够精确。求地面浓度时取x3=0代入即得。 第54页/共65页56例题: 在室内水槽进行扩散试验，设水槽右端为封闭，左端很长。在水槽具右端10m的断面A-A以平面源方式瞬时投放示踪剂。计算投放后10分钟在距右端5m的B-B断面及在A-A断面左边10m的C-C断面上的示踪剂浓度。投放量M=1kg/m2。已知扩

28、散系数为200cm2/s。计算中要考虑右端边界反射。若不计边界反射，B-B断面及C-C断面浓度又为多少？ 第55页/共65页57解Dt=200cm2/s=1.2m2/min (1)考虑右端的反射作用，浓度计算式为22(2 )( , )expexp444ttMxxLc x tDtDtDt右端边界距投放源L=10mB-B断面x=5m22315(5 2 10)expexp4 1.2 104 1.2 1041.2 10/Bckg m -2=4.91 10第56页/共65页58C-C断面 x=-10m22231( 10)( 102 10)expexp4 1.2 104 1.2 1041.2 101.0 10/cckg m (2)若不考虑边界的反射作用，浓度计算式为 2( , )exp()44ttMxc x tDtDtB-B断面22315exp()4.84 10/4 1.2 1041.2 10Bckg mC-C断面 2231( 10)exp1.0 10/4 1.2 1041.2 10cckg m第57页/共65页59例题:某平直均匀河段，宽W=60m，深h=3m，流量QR=140m3/s。污水出口在河中心，其流量Qp=0.7m3/s,浓度c0=500ppm,河宽远大于水深，污染源近似看作连续集中线源，设横向扩散系数Dty为0.054m2/s。试求：（1）以c(x,b)=0.05c(x,o