对称共焦腔内外的光场分布

1、3.2 3.2 对称共焦腔内外的光场分布对称共焦腔内外的光场分布回顾 讨论自再现模积分方程解的物理意义,建立了 激光模式的概念.前瞻 求解对称开腔中的自再现模积分方程,求出求出本本征值和本征函数征值和本征函数，了解输出激光的具体场的分布，从而从而决决定开定开腔自腔自再现模的全部特征再现模的全部特征。),(),(),(dsyxuyxyxKyxummmnmn),(),(2),(yxyxikyxyxikeLieLikyxyxK(3-7)v镜面上场的振幅分布；镜面上场的振幅分布； v镜面上场的位相分布；镜面上场的位相分布； v模的衰减；模的衰减； v模的相移；模的相移； v模的谐振频率。模的谐振频率。

2、fLRR22122)(,aLLaaL3.2.1 3.2.1 共焦腔镜面上的场分布共焦腔镜面上的场分布一一. .方形镜面对称共焦腔 设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为，并把x，y坐标的原点选在镜面中心,而以(x，y)来表示镜面上的任意点以方型镜面的对称共焦腔为例,求解(3-7)式方程1 1、本征函数的近似解：、本征函数的近似解：二二. .近轴情况下自再现模积分方程的解析解 LyYLxX2,2其中Hm(X)和Hn(Y) 均为厄密多项式222YXe高斯型函数mnC 常系数镜面上的场分布是镜面上的场分布是厄米多项式与高斯函数函数的乘积厄米多项式与高斯函数函数的乘积厄米厄米多项式的零点决定

3、了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓222)()(YXnmmnmneYHXHCu（3-18）2 2、本征值的近似解：、本征值的近似解：2) 1(expnmkLimn（3-19）),(),(),(dsyxuyxyxKyxummmnmn3.场分布LyxnmmnmneyLHxLHCyxu22)2()2(),(几个低阶几个低阶厄米多项式的值厄米多项式的值124816)(128)(24)(2)( 1)(244332210HHHHH2dd) 1()(2eeHmmmm本征函数描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分布。本征函数描述共焦腔镜面上场的振

4、幅和相位分布。三三. . 镜面上自再现模场的特征镜面上自再现模场的特征 1. 厄米厄米高斯近似共焦腔方型镜上高斯近似共焦腔方型镜上场场的振幅（强度）分布的振幅（强度）分布LyxnmmnmneyLHxLHCyxu22)2()2(),(（3-18） 基模基模: 取（3-18）式中 m=n=0，得到共焦腔方型镜上基模 TEM00 场的分布 1)(0H因为LyxeCyxu220000),(所以 可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜 中心（x=y=0）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为 处场的振幅降落为中心处的1/e。Lyxr22Ls0定义基模光斑半径为 基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内

5、.上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。LyxeCyxu220000),(-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012数值例：L=1m ,=10.6m, 共焦腔的CO2激光器 0s1.84mm L=30cm , =0.6328m,共焦腔的HeNe激光器 0s0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。Ls0由 可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑 尺寸并无影响.LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00 当m、n取不同时为零的一系列整数时,由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布，出现

6、一条暗线时当00)exp()exp(2210022102201010uxyxxCLyxxCuss2)(1H因为 故1)(0H-2-1012-2-1012-0.4-0.200.20.4-2-1012，出现一条暗线时当00)exp()exp(2201022012200101uyyxyCLyxyCussLyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(002)(1H因为 故1)(0H方向出现两条暗线时xuxyxxCLyxxCussss 0 2)exp()4()exp(224200202220220222022020LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(001)(

7、24)(022HH因为 故-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012TEM20方向出现两条暗线时yuyyxyCLyxyCussss 0 2)exp()4()exp(224020202220202222020202LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(001)( 24)(022HH因为 故方向各出现一条暗线、在时时当yxuyuxyxxyCyxxyCusss 0 0 0 0 )exp()exp(2411112022112022021111LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(002)(1H因为 故-2-1012-2-1012-0.2-0

8、.100.10.2-2-1012TEM11方向各出现三条暗线在时和当xuxxyxxxCussss 0 23 0 )exp()212216(300202203303030LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(001)( 128)(033HH因为 故 可以看出，可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单的增大而单调下降的特征决定

9、着场分布的外形轮廓。调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。LyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00高阶模的光斑尺寸与基模的关系高阶模的光斑尺寸与基模的关系snssmsnm001212可见可见, ,阶次越高阶次越高, ,光斑半径越大光斑半径越大, ,光强分布越偏离中心光强分布越偏离中心. .图(3-5) 的变化曲线及相应的光强分布YYFXXFnm)()(及2.2.镜面上场镜面上场位相分布位相分布: :共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。相位面。由于 为实函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面),

10、(yxumnLyxsnsmmnmneyHxHCyxu22)2()2(),(00由自在现模由自在现模umn(x, y) 的辐角决定。的辐角决定。注意：不同于平行平面腔！平行平面腔镜面上不同相。注意：不同于平行平面腔！平行平面腔镜面上不同相。3.3.单程相移与谐振频率：单程相移与谐振频率：2)1(argnmkLimnmnmnekLmnmnqmnLcLqcnm222) 1()1(212nmqLcmnq而当q一定时，若m、n改变，则横模的频率也将发生变化qmnqqnmnqmnqnqmmvLcvvvvLcvvv2122121221, 1, 1由以上两式可得共焦腔的振荡频率图图(3-6) 方形镜共焦腔的振

11、荡频谱)1(212nmqLcvmnq从上式可以看见，共焦腔在频率上是高度简并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的谐振频率。如：TEMmnq ，TEMm-1，n+1，qTEMm，n-2，q+1，TEMm-2，n，q+1， TEMm+1，n-3，q+1等都有相同的频率。这种现象会对激光器的工作状态产生不良影响.因为所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处,从而彼此间产生强烈的竞争作用,导致多模振荡,使输出激光光束质量变坏.普通激光器的输普通激光器的输出都是多模的出都是多模的 u激光多横模振荡示意图激光多横模振荡示意图3.2.2 3.2.2 共焦腔共焦腔中的行波场与腔内外的光

12、场分布中的行波场与腔内外的光场分布 一、方形镜对称共焦腔的行波场一、方形镜对称共焦腔的行波场 厄米厄米-高斯光束高斯光束1、推导方法、推导方法菲涅耳菲涅耳基尔霍夫基尔霍夫衍射积分公式衍射积分公式腔内、外任一点的场腔内、外任一点的场镜面上的场镜面上的场2 2、腔中的场分布、腔中的场分布由镜面M1上的场分布在腔内造 成的行波求得Lz2定义得腔中场分布zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222图3-7 计算腔内外光场分布的示意图上式表示TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的电场强度。其中,实部代表振幅,虚部代表相位222( , , )(1)(1)()212Lxyx y zkmnL1212LzarctgarctgLzzyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222描述了波阵面上的相位分描述了波阵面上的相位分布，称为相位因子布，称为相位因子（1）Hm ，Hn m 阶、阶、n阶厄米多项式阶厄米多项式,确定了场在确定了场在x、 y方向的大小及节线数目方向的大小及节线数目 Hm : 有有m个零点个零点,