中考数学几何模型能力对角互补模型解析版

1、中考数学几何模型对角互补模型共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90。的对角互补，含120。的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.类型一：含90°的对角互补模型(1)如图，/AOBhDCE=90,CDCE;ODOE=V2OC;12SVOCD+SvOCE=OC2(2)如图，ZAOB=/DCE=90,OC平分/AOB则有以下结论：N区"作法1作法2OC平分/AOB当/DCE的一边与AO的延长线交十点D时，则有以下五CDCE；oe-od=V2oc；1SVOCE-SVOC

2、D二£OCL2类型二：含120°的对角互补模型(1)如图，/AOB=2/DCE=120,作法1作法2OC平分/AOB则有以下结论：CDCE；ODOE=OC；SVOCD+SvoCE=OCC4(2)如图，ZAOB=/DCE=90,MWW作法1作法2OC¥分/AOB当/DCE的一边与AO的延长线交十点D时，则有以下结论:CDCE； oe-od=V2oc； SVOCE-SVOCD=2"OC作法1作法2/eqB例题1.如图，正方形ABCD,正方形OMN的边长均为10,点O是止方形ABCD勺中心，止方形OMN统O点旋转，证明：无论正方形OMN胧转到何种位置，这两个正

3、方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.变式练习>>>1.角线交于点O,点E、F分别在ABBC上(AEkBE,且/EOF=90°,OEDA的延长线交于点MOFAB的延长线交于点N,连接MN(1)求证：OM=ON(2)若正方形ABCD勺边长为4,E为OM勺中点，求MN的长.例题2.四边形ABC嫉对角线BD分为等腰直角ABD直角CBD其中/A和/C都是直角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD勺面积.变式练习>>>2.如图，在四边形ABCD43,/A=/C=90°,AB=AD若这个四边形的面积为12,则BC+CD=3C例题3.如

4、图，在RtABC,/ABO90,AB=3,BG=4,RtAMPNZMPN=90,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时，AP=.变式练习>>>3.如图，在矩形ABC用，AB=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE彳EF，BE垂足为E,直线EF交线段DCF点F,则空-=()BED.例题4.用两个全等且边长为4的等边三角形ABCACD成菱形ABCD把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与ABAC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BCCD相交于点E

5、,F时，(如图1),通过观察或测量BECF的长度，你能得出什么结论？(直接写出结论，不用证明)；(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BCCD的延长线相交于点E,F时(如图2),你在(1)中得到的结论还成立吗？说明理由；(3)在上述情况中，AEC勺面积是否会等于2也？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由.变式练习>>>4.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”(1)若点A(x,y)是"完美点”，且满足x+y=4,求点A的坐标；(2)如图1,在平面直角坐标系中，四边形OABO正方形，点A坐标为(0,4),连接OBE点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动

6、停止，设运动时间为t.不管t为何值，E点总是“完美点”；如图2,连接AE,过E点作PQLx轴分别交ABOCFP、Q两点，过点E作EHAE交x轴于点F,问:当E点运动时，四边形AFQP勺面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由.例题5.已知，点P是/MON1平分线上的一动点，射线PA交射线OMF点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ONT点B,且使/APB/MO的180°.(1)利用图1,求证：PA=PB;(2)如图2,若点C是AB与OP的交点，当及POK38pcb时，求PB与PC的比值；(3)若/MON60,OB=2,射线OP的长.AP交ONT点D,且满足且/PB

7、D=ABO请借助图3补全图形，并求达标检测领悟提升强化落实1 .如图，在等腰RtABC中，Z0=90°,AC=&F是AB边上的中点，点D>E分别在AGBC边上运动，且保持AD=CE连结DEDF、EF,在此运动变化的过程中，下列结论：4DEF是等腰直角三角形；四边形CDF环可能为正方形；四边形CDFE勺面积保持不变；DE长度的最小值为4;CDE0积的最大值为8,其中正确的结论是.2 .如图，在四边形AB0D43,AB=B0/ABC至0DA=90,BEXAD于点E,且四边形ABCD勺面积为8,求BE的长.3 .如图，正方形ABCD勺边长为6,点O是对角线ACBD的交点，点E

8、在CD上，且DE=2CE连接BE过点C作CFBE垂足为点F,连接OF.求：(1) CF的长；(2) OF的长.4. 如图，/QPN勺顶点P在正方形ABC晒条对角线的交点处，/QPN="，将/QPNg点P旋转，旋转过程中/QPN勺两边分别与正方形ABCM边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).(1)如图，当“=90。时，DEDF,AD之间满足的数量关系是(2)如图，将图中的正方形ABC畋为/ADC=120°的菱形，其他条件不变，当“=60°时，(1)中的结论变为DErD请给出证明;(3)在(2)的条件下，若旋转过程中/QPN勺边PQ与射线AD交于点E,其

9、他条件不变，探究在整个5. “如图1,在RtAABC,/ACB=90°,CDLAB于点D”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：型;整在图i这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2,点E是直线AC上一动点，连接BDBCDE过点D作FDLED交直线BC于点F,设察=卫.”BCm(1)探究发现：如图，若fn,点E在线段AC上，则理=;jF(2)数学思考：如图3,若点E在线段AC上，则器=(用含mn的代数式表示)；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；(3)拓展应用：若AC=VS,BC=25,DF=46，请直接写出CE的长.6. (2019贵阳适应性

10、)如图，已知AC=BCAC±BC,直线MN经过点B,过点A作AD，MN垂足为D,连接CD(1)动手操作：根据题意，请利用尺规将图补充完整；(保留作图痕迹，不写作法)(2)探索证明：在补充完成的图中，猜想CDBD与AD之间的数量关系，并说明理由；(3)探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图，爸爸在A处,妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN±,且AC!BCAD!MNAC=BCAD=100rgCD=40np求出小明到公园门口的距离BD的长度.c例题1.如图，正方形ABCDf正方形OMN的边长均为10,点O是正方形ABCM中

11、心，正方形OMN统O点旋转，证明：无论正方形OMN胧转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.【解答】解：当OP/ADOP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的工，即25,4当OP在如图位置时，过O分别作CDBC的垂线垂足分别为E、F,如图在RtAOECGfRtAOFhfr,/EOGZHOFOE=OF=5,.OEOFHS四边形OHCS=S四边形OECf=25,即两个正方形重叠部分的面积为25.变式练习>>>1.角线交于点O,点E、F分别在ABBC上(AE<BE,且/EOF=90°,OEDA的延长线交于点OFAB的延长线交于点N,

12、连接MN(1)求证：OM=ON(2)若正方形ABCD勺边长为4,E为OM勺中点，求MN的长.如图，讨点o作ohVad于QM二正方形的边长为4,"E%的甲点.，汽aj=4,【解答】解：（1）二.四边形ABC虚正方形,.OA=OB/DAO=45,/OBA=45°, ZOA随/OBN=135, /EOa90°,/AO&90, ZAO随/BONOAMBOBIN（ASA,.OM=ON例题2.四边形ABCD对角线BD为等腰直角ABD直角CBD其中/A和/C都是直角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD勺面积.【解答】解：将ABC点A旋转90°,使B与

13、D重合，C到C'点,则有/CDC=/ADC/ADC=/ADC/ABC=180,所以C、DC'在同一直线上，则ACDC是三角形，又因为AC=AC,所以ACC是等腰直角三角形，在ABCF口ADC中 ZBAC=ZDAC心心.AB室ADC(SAS,四边形ABCD勺面积等于等腰直角三角形ACC的面积,所以S四边形ABCD=SxACC=_X2X2=2.2变式练习>>>2.如图，在四边形ABCD43,/A=ZC=90°,AB=AD若这个四边形的面积为12,则BC+CD=例题3.如图，在RtABC,/ABO90,AB=3,BG=4,RtAMPNZMPN=90,点P在

14、AC上,PM交AB于点E,PN交BCT点F,当PE=2PF时，AP=3.【解答】解：如图作PQLAB于QPR!BC于R./PQB=/QBR=/BRP=90°,四边形PQB用矩形， ./QPR=90°=ZMPN .ZQPE=/RPF.QP团RPFPRPFPQ=2PR=2BQPQ/BC.AQQPAP=AB：BCAC=3:4：5,设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x, .2x+3x=3,AP=5x=3.故答案为3.变式练习>>>3.如图，在矩形ABC用，AB=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE彳EF±BE垂足为E,直线EF、，一,

15、HH交线段D什点F,则黑=()BEADA.【解答】解：如图，连接BF,取BF的中点Q连接OEOC 四边形ABCO矩形，EF±BE，/BEF=ZBCF=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,.OB=OFOE=OB=OF=OC .B,C,F,E四点共圆， ./EBF=/ECFtan/EBF=tan/ACD.EP_AD_5 =,EBCD3故选：B.【本题两种方法解答，过E作两垂线亦可】例题4.用两个全等且边长为4的等边三角形ABCACCW成菱形ABCD把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB,AC重合，将三角尺

16、绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BCCD相交于点E,F时，（如图1）,通过观察或测量BECF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BCCD的延长线相交于点E,F时（如图2）,你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，AEC勺面积是否会等于2、耳？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由.【解答】解：(1)BE=CF.证明：在ABm口ACF43, /BA&ZEAC=/CAFZEAC=60°, .ZBAE=/CAFAB=ACZB=/ACF=60, .ABEACF(ASA.BE=CF

17、(3)能. AEC勺CE边上的高为等边ABC勺高，为2jl, AEC勺面积等于-：,与上二仁厂仍然成立.证明；1EA-4CE和5口产中,二/网工二60",./乂/=1±0'；在AaDF卬，2fad=NcmAC=AD,ZADF-ZACEr.AACEADF,*.BE=cr- 底边CE=2,BE=6或2.变式练习>>>4.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”(1)若点A(x,y)是“完美点”，且满足x+y=4,求点A的坐标；(2)如图1,在平面直角坐标系中，四边形OAB值正方形，点A坐标为(0,4),连接OBE点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到

18、B点时运动停止，设运动时间为t.不管t为何值，E点总是“完美点”；如图2,连接AE,过E点作PQLx轴分别交ABOCFP、Q两点，过点E作EHAE交x轴于点F,问：当E点运动时，四边形AFQP勺面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由.【解答】解(1)二.点A(x,y)是“完美点”1. x=yx+y=4x=2,y=2 .A点坐标(2,2)(2)二四边形OAB3正方形，点A坐标为(0,4), .A0=AB=BC=4B(4,4)设直线OEB析式y=kx过B点.-4=4kk=1 直线OEB析式y=x设点E坐标(x,y) 点E在直线OB上移动 x=y不管t为何值，E点总是“完美点”

19、学点总是“完美点匕，四边形是矩形:=月。=户。=4：.AP=EQZaep-ZFEQ-9,个户eq-Rfafr.4P=E0,ZTEQ=ZEAPfNaP£=/EQF=9。*'.APE注EFQJ.PE-FQ=（AP+FQ）AO；2PE-EOy=2X=8E*.2*=11*=*，当E点运动日，四边形HQ产的面积不变，面积为8例题5.已知，点P是/MONJ平分线上的一动点，射线PA交射线OMF点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线OM点B,且使/APB/MO时180°(1)利用图1,求证：PA=PB;(2)如图2,若点C是AB与OP的交点，当Sapoa3Sapcb时，求PB与P

20、C的比值；(3)若/MO电60。，OB=2,射线APxONT点D,且满足且/PBD=/ABO请借助图3补全图形，并求OP的长.【解答】解：(1)作PE!OMPF，ON垂足为E、F四边形OEP冲，/OEP=/OFP=90°,./EPF+/MON180,已知/AP3/MO的180°/EPF=/APB即/EPA/APF=/APR/FPB./EPA=/FPB由角平分线的性质，得PE=PF,EP庠FPB即PA=PB;(2)'''Spok3SaPCB)PO=3PG由(1)可知PAB为等腰三角形，则ZPBC=180一/APBMON/BOP又BPC=/OPB(公共角

21、)，.PBPOB，蚂=氏，POPB(3>作垂足为当上一MQV=60°时，Z.4P5=120°,由取二阳,得/之以4=/挖4万=工(18J°APB>=30°,2又尸江0二乙婚0,/初一/曲十乙4比？=1$0”；TRQ=(l£0c-)=7广，2则/d呼=/HP-/也2工105",在中，/与0户=30",，户0=45",在Rt4OE/Z中，3上。B=»0H=心2在良1即/中,PH=B8=1,即Pg=PO?PC=3PC,PBPC领悟提升强化落实达标检测1 .如图，在等腰RtABC中，Z0=90

22、6;,AC=&F是AB边上的中点，点D>E分别在AGBC边上运动，且保持AD=CE连结DEDF、EF,在此运动变化的过程中，下列结论：4DEF是等腰直角三角形；四边形CDF环可能为正方形；四边形CDFE勺面积保持不变；DE长度的最小值为4;CDE0积的最大值为8,其中正确的结论是.月FR答案：2 .如图，在四边形AB0D43,AB=B0/ABC至0DA=90,BEXAD于点E,且四边形ABCD勺面积为8,求BE的长.答案:2,23 .如图，正方形ABCD勺边长为6,点O是对角线ACBD的交点，点E在CD上，且DE2CE连接BE过点C作C"BE垂足为点F,连接OF.求：(

23、1) CF的长;(2) OF的长.【解答】解：(1)如图，在BE上截取BG=CF,连接OG.RRBC计，CF1BE ./EBC=/ECF/OBC=/OCD=45° /OBG/OCF在OB田OC叶，OB=dC4ZOBG=ZOCF,.OBOCF(SAS,OG=OF/BOG/COF.OGLOF在RUABC计，BC=DG=6,DE=2ECEC=2,BE=a/bE2<E2=丘2+/=2丁,(2)由(1)知，CF=EF-BG-BF-CF二%屈，5在等腰直角色仪?产中.bC=bf?be则62=BF?2解得：BF=2i臀,EF=BE-BF=2M,5.cU=bf?ef,产二工G产,2.CF=笛4

24、. 如图，/QPN勺顶点P在正方形ABC斯条对角线的交点处，/QPN="，将/QPN§点P旋转，旋转过程中/QPN勺两边分别与正方形ABCD勺边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重(1)如图，当“=90°时，DEDF,AD之间满足的数量关系是D4DF=AD;(2)如图，将图中的正方形ABC畋为/ADC=120°的菱形，其他条件不变，当“=60°时，(1)中的结论变为(3)在(2)的条件下，若旋转过程中/QPN勺边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DEDF,AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.

25、【解答】解：(1)正方形ABCD勺对角线ACB改于点P,PA=PD/PAE=/PDF=45,/APE/EP民/DP+/EPD-90°,/APE=/DPF在APEDPF中rZAPE=ZDPFPA=PDAP眸DPF(ASA,AE=DFDRDF=AD(2)如图，取AD的中点M连接PM四边形ABC西ZADC=120°的菱形，.BD-ADZDAP=30°,/ADP=ZCDP=60°, .MD/等边三角形， .PM=PD/PME=/PDM60, ./PAM=30°, /MPD60, ./QPN=60°,，/MPE=/FPD在MP序口DPF中，rZ

26、PME=ZPDF，PM=PDlZmfe=Zfpd .MP叁DPF（ASAME=DFDRDF=AD(3)如图，在整个运动变化过程中,当点E落在功上时，九当点石落在山的延长线上时，DFD£=AD-2(如图3,取功中点Mn连接RW,证明雁步:义QPF)5. “如图1,在RtABC中，/ACB=90°,CDLAB于点D.”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：.在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2,点E是直线AC上一动点，连接DEbd|bc|过点D作FD±ED交直线BC于点F,设&1=卫.”BCm(1)探究发现：如图，若mn,点E在线段AC上，则四=

27、1;丽(2)数学思考：如图3,若点E在线段AC上，则器=_(用含簿n的代数式表示)；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；(3)拓展应用：若AC=VWBC=275,DF=3，请直接写出CE的长.【解答】解：（1）当fn时，即：BC=AC ./ACB=90,.A+ZABC=90°,.CD!AR，/DCBZABC=90°,./A=/DCB ./FDE=/ADC=90°,/FD曰/CDE=/ADG/CDE即/ADE=/CDF .ADEoCDF.理=巫，DFDC,一/A=/DCB/AD仔/BDC=90,.ADQCDB.怛=逗=1.-.l

28、!lL=i,DCBCDF故答案为1.(2)./ACB=90°, /A+/ABC=90,.CD!AR ./DCBZABC=90°,/A=/DCB ./FDE=/ADC=90°,/FD曰/CDE=/ADG/CDE即/ADE=/CDF .ADPCDF.理=巫，DFDC./A=/DCB/ADC=/BDC=90,.AD。CDB._=_=卫.迈=_L!DCBCmDFm故答案为L.m成立.如图，.'zS4C5-90tt,CF-/.4BC=90， /4/口CHjNEDX=乙处?二90",:、2fdeYcde=乙山CYCg即乙IDEJNCDF,，闻一sg.,理二改,DFDC :Z4=ZDC5,ZJDC=Z£DC=90.AaDCACDB,*AD=ACn*DE;门DCBCtnDFm(3)由(2)有，AD摩CDF.理=旭=工DFBC2,AE=AE=DE=1CD