河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练

1、专题七类比探究题类型一线段数量关系问题1(2018-河南)(1)问题发现如图，在OAB和厶OCD中，OA=OBOC=OD/AOB=ZCOD=40°，连接AC,BD交于点M.填空:AC 击的值为：BD /AMB的度数为;(2)类比探究如图，在OAB和厶OCD中，/AOB=ZCOD=90°,/OAB=ZOCD=30°,连接AC交BD的延长线于点ACM请判断乔的值及/AMB的度数，并说明理由；BD(3)拓展延伸在的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M若OD=1,OB=Q7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.图图例1题图【分析】证明COAaA

2、DOB(SASJ得AC=BD,比值为1；由COAaADOB,得/CAO=/DBQ根据三角形的内角和定理，得/AMB=180°(/DBO-/OABH/ABD)=180°140°=40°一ACOC厂一(2)根据两边的比相等且夹角相等可得AO&ABOD则BD=OD=3,由全等三角形的性质得/AMB的度数;正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图和，同理可得厶AO&ABOD则/AMBAC厂=90°,BD=3，可得AC的长.【自主解答】解：问题发现 1【解法提示】/AOB=ZCO空40/COAFZDOB./OC=ODOA=OB

3、，COAADOB(SASJ AC=BD,AC二一=1BD 40°【解法提示】/COAaADOB/CAO/DBO./AO=40°,/OABH/ABO=140°,140°=在厶AMB中，/AM=180°(/CAO-/OABH/ABD=180°(/DBO-/OABH/ABD=180。(2)类比探究ACBD=,3,/AM=90°，理由如下:在RtAOCD中,/DC(=30°,/DO=90°,OD3 OC=tan30同理，得OB二tan30/AO=/CO=90°, /AO(=BOD AOCABOD AC=

4、OD=.3,/CAO/DBO.BD二 /AM=180°/CAO-/OAMBA180°(/DA/MB/OBDA180°90°=90°(3)拓展延伸点C与点M重合时，如解图，同理得AO&ABODAC厂 /AM=90°,侖,3,BD设BD=x,贝UAC=3x,在RtACOD中，/0C空30°,OD=1,CD二2,BC=x2.在RtAAOB中，/OA=30°,OB='7. AB=2OB=2：7,在RtAAMB中，由勾股定理，得AC+BC=Ah,即（：3x）2+（x2）2=（2：7）2,解得xi=3,X2=2

5、（舍去）， AC=3=：.f3;AC点C与点M重合时，如解图，同理得：/AM=90°,BD=;'3,设BD=x,贝UAC=_:3x,在RtAAMB中，由勾股定理，得AC+BC=AB",即（：'3x）2+（x+2）2=（2;7）2解得xi=3,解得x2=2（舍去）. AC=23.综上所述，AC的长为3'3或2:'3.图图例1题解图:针对训媒©1.（2016-河南）（1）发现如图，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a,b的式子表示)(2)应用33点A为线段BC外一动

6、点，且BC=3,AB=1如图所示，分别以ABAC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE连接CDBE. 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由; 直接写出线段BE长的最大值.拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,且PA=2,PgPB,ZBP昨90°,请直接写出线段0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点AM长的最大值及此时点P的坐标.图备用图2.（2015-河南）如图，在RtAABC中，/B=90°,BC=2AB=8，点D,E分别是边BC,AC的中点，连Bd="F；AE=_5；BD2一'接DE.将厶EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋

7、转角为(X.问题发现 当a=0°时， 当a=180°时,(2)拓展探究AE试判断：当OWa<360。时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明.BD(3)解决问题当厶EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.3.(2014河南)问题发现如图，ACB和厶DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE.填空： /AEB的度数为; 线段ADBE之间的数量关系为.(2) 拓展探究如图，ACB5八DCE均为等腰直角三角形，/ACB=ZDCE=90°，点A,DE在同一直线上，DCE中DE边上的高，连接BE,请判断/AEB的度数及线段CMAE,BE

8、之间的数量关系，并说明理由.(3) 解决问题如图，在正方形ABCD中，CD=2,若点P满足PD=1,且/BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.图图图4.（2018南阳二模）在厶ABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE,连接EC.（1）操作发现若AB=AC/BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是（2）猜想论证在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断.（3）拓展延伸如图，若A

9、BAAC/BAO90。，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C,E重合除外）？此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC=3匹时，请直接写出线段CF的长的最大值是.图图5.已知，如图，ABCAED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点BE重合），/BAC=zAED=90°,O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.问题发现如图，OF将AED绕点A逆时针旋转45。，如图,OFEC=OC勺值，并说明理由.类比延伸将图中厶AED绕点A逆时针旋转到如图所示的位置，请计算出(3)拓展探究将图中厶AED绕点A逆时针旋转，旋转角为a,0

10、6;WaW90°,AD=:2,AED在旋转过程中，存在ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长.类型二图形面积关系问题WA.-(2017河南)如图，在RtAABC中，/A=90°,AB=AC点D,E分别在边AB,AC上,A»AE,连接DC点M,P,N分别为DE,DCBC的中点.(1)观察猜想图中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是;探究证明把厶ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接MNBDCE,判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把厶ADE绕A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.11【分析】利用三角形的中位线定

11、理得出pg2oEpnA尹D,进而判断出BD=CE即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/DPMZDCA最后用互余即可得出结论；11先判断出厶ABDAAACE得出BD=CE同的方法得出PMkqBDPMqBD即可得出PMkPN,同的方法即可得出结论；先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大二A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.【自主解答】解：(1)点P,N是BC,CD的中点，1PN/BDPN=-BD.2点P,M是CDDE的中点，1 PM/CEPMI=qCE./AB=AC,AD=AE, BD=CE PM=PN./PN/BD /DPN=ZADC

12、/PM/CE /DP=/DCA./BAC=90°, /ADCFZACD=90°,/MPN=ZDPMMDPN=ZDCAbZADC=90°,PMLPN由旋转知，/BAD=ZCAE/AB=AC,A»AE, ABDaAACE(SAS)/ABD=ZACEBD=CE.1同的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,1pg2CE PMkPNPMN是等腰三角形，同的方法得，PM/CE/DPM=/DCE同的方法得，PN/BD/PNC=ZDBC./DPN=ZDCBFZPNC=ZDCBHZDBC/MPN=ZDPMkZDPN=ZDCEbZDCBFZDBC=ZBCEFZDBC=

13、ZACBFZACEFZDBC=ZACBFZABD+ZDBC=ZACBFZABC./BAC=90°,/ACBFZABC=90°,/MPN=90°, PMN是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，PMN是等腰直角三角形,当MN最大时，PMN的面积最大，DE/BC且DE在顶点A上面，MN最大二AWAN连接AMAN在厶ADE中，AD=AE=4,/DAE=90AMk22在RtAABC中，AB=AC二10,ANk5-'2,MN=2:'2+5,：2=7:'2,最大2)=2.49PMN大/gMNh4X('、1.(2013-河南)

14、如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/C=90°,/B=/E=30(1)操作发现如图，固定ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是; 设厶BDC的面积为$,AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是(2)猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和厶AEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE/AB交BC于点E(如图).若在射线BA上存在点F,使SD

15、CF二Sbde，请直接写出相应的BF的长.DCFBDE2.已知RtAABC中，BC=AC,/C=90°,D为AB边的中点，/ED90°,将/EDF绕点D旋转，它的两边分别交ACCB（或它们的延长线）于E,F当/EDF绕点D旋转到DELAC于E时，如图所示，试证明1SA+=SDEF&CEFAABC当/EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由.直接写出图中，&def，&cef与SUB。之间的数量关系.图3.（2018-郑州模拟）如图所示，将两个正方形ABC"正方形CGFE如图所示

16、放置，连接DE,BG.图中/DC曰/BCG=°设厶DCE的面积为»ABCG的面积为S,则S与S的数量关系为猜想论证：如图所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DEBG设厶DCE的面积为S,ABCG的面积为S，猜想S和S2的数量关系，并加以证明；i2如图所示，在ABC中，AB=AC=10cm,/B=30°，把厶ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于ACD的面积，请写出CP的长.4.(2018驻马店一模)如图，ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC,CD在同一条直线上,点

17、M,N分别是斜边AB,DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD,PM，PN,MN.(1)观察猜想图中，PM与PN的数量关系是，位置关系是；探究证明将图中的CDE绕着点C顺时针旋转a(0°<a<90°)，得到图，AE与MPBD分别交于点GH判断APM”的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把厶CDE绕点C任意旋转，若AC=4,CD=2,请直接写出PMN面积的最大值.图参考答案类型一针对训练1解：(1)点A为线段BC外一动点，且BOa,AB=b,当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b.CD=BE理由：ABD与厶ACE是等边三

18、角形， AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,/BADbZBAC=ZCABFZBAC即/CAD=ZEAB.AD=AB在八。人。和厶EAB中，/CAD=ZEAB,AC=AE CADaAEAB-CD=BE.线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=4;/将厶APM绕着点P顺时针旋转90°得到PBN连接AN,如解图，则厶APN是等腰直角三角形，PN=PA=2,BN=AM.点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0),OA=2,OB=5,AB=3,线段AM长的最大

19、值等于线段BN长的最大值，当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB+AN./AN='2AP=2'2,线段AM的长最大值为2'2+3.如解图，过点P作PELx轴于点E.APN是等腰直角三角形，ppAE=.'2， OBBO-ABAE=53-：2=2；2， P（2、2:2）第1题解图2解：（1）当a=0°时，/在RtAABC中，/B=90°, AO,aB'+bC=（8-2）2+82=45.点D、E分别是边BCAC的中点， AE=4.52=2-5,BD=82=4,.AE=2砺_V5BDT4=2.如解图，当a=180

20、6;时，得可得ABDEACBC ,'AE=BD，AE=AC=4/55betBC=8=丁AE当0°WaW360°时，BD勺大小没有变化./ECD=ZACB/ECA=ZDCB.ECAC5'DCBC2,ECMADCB AEEC亜 BDTDct2.图图图第2题解图(3)如解图，/AC=45,CD=4,CDLADAD=ACCD=(4,5)242=8016=8./AD=BC,AB=DC/B=90°,四边形ABCD是矩形，-BD=AC=45.如解图，连接BD过点D作AC的垂线交AC于点Q过点B作AC的垂线交AC于点P,/AC二45，CD=4，CDLAD80-16

21、=8, AD=AC一CD=.(4,5)2-42=点D、E分别是边BCAC的中点，111 DE=2AB=2X(8十2)=2X4=2, AE=AD-DE=8-2=6,AE=込由，可得bD=26_12寸5,55BD="2"综上所述，BD的长为45或一八一3.解：ACB和厶DCE均为等边三角形，CA=CBCD=CE/ACB=ZDCE=60°,/ACD=ZBCE.在厶ACD和厶BCE中，AC=BC/ACD=ZBCE,CD=CE ACDaABCE(SAS)ADC=ZBEC./DCE为等边三角形，/CDE=ZCED=60°点A,D,E在同一直线上，/ADC=120&#

22、176;,/BEC=120°，/AEB=ZBEC-/CED=60°.ACDAABCE-AD=BE.(2)/AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下：ACB和厶DCE均为等腰直角三角形， CA=CBCD=CE,/ACB=/DCE=90°./ACD=/BCE.在厶ACD和厶BCE中，CA=CB/ACD=/BCE,CD=CE ACDaABCE(SAS) AD=BE,/ADC=/BEC./DCE为等腰直角三角形，/CDE=/CED=45点A,D,E在同一直线上， /ADC=135°,/BEC=135°, /AEB=/BEC-/CED=90

23、°./CD=CECMLDE-DM=ME./DCE=90°,DM=ME=CM AE=AD+DE=BE+2CM./PD=1,.点P在以点D为圆心，1为半径的圆上./BPD=90°,.点P在以BD为直径的圆上，点P是这两圆的交点. 当点P在如解图所示位置时，连接PD,PBPA作AHLBP,垂足为H,过点A作AELAP,交BP于点E.四边形ABCD是正方形，/ADB=45°,AB=AD=DC=BC=-'2,ZBAD=90°, BD=2.vDP=1,.BP='3./BPD=ZBAD=90°,点A、P、DB在以BD为直径的圆上，/

24、APB=ZADB=45°. PAE是等腰直角三角形.又BAD是等腰直角三角形，点B,E,P共线，AHLBP,由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD,;3=2AH+1,AH= 当点P在如解图所示位置时，连接PDPBPA作AHLBP,垂足为H,过点A作AE!AP,交PB的延长线于点E,同理可得：BP=2AH-PD, ：'3=2AH-1,曲+1-AH=.图第3题解图4解：(1)TAB=AC,/BAC=90°,线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AEAD=AE,ZBAD=ZCAEBADaACAECE=BD,/ACE=ZB,/BCE=ZBCAbZACE=90

25、6;,CE=BD,CELBD线段CEBD之间的位置关系和数量关系为(1)中的结论仍然成立证明如下：如解图，线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE, AE=AD,/DAE=90°./AB=AC,/BAC=90°,/CAE=ZBAD ACEaAABD CE=BD,/ACE=ZB,/BCE=90°,34.线段CEBD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CELBD(3)45过A作AMLBC于M,过点E作ENLMA交MA的延长线于N,如解图.线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,/DAE=90°,AD=AE,/NAE=ZADM易证得RtAA

26、MDARtAENA NE=AM.CELBD即CELMCMCE90°,四边形MCE为矩形， NE=MC-AM=MC/ACB=45°. 四边形MCE为矩形，RtAMORtDCFMDAMCF=DC,设dg=x,在RtAAMC中，/ACB=45°,AC=33x3 -AM=CM=3,MD=3x,CFx121323 CF=一一x+x=一一(x)+332,4'当x=2时，CF有最大值，最大值为4.3故答案为45°,4；图iD图第4题解图5解：(1)/AABC,AED是两个全等的等腰直角三角形， AD=BC.TO为BC的中点，F为AD的中点， AF=OC./BA

27、C=ZAED=90°,AB=AC,AE=DE/DAE=ZCBA=45°, AD/BC四边形AFOC是平行四边形,OF亚EC=2故答案：匚BAO=ZCAO=45°,/DAE=45/DAE=ZCAO./ABAC,AF=AOAF_AO苕ACAFSAAEC.OFAO'2ECTact2；如解图，连接AO/BAO=ZCAO45/dAT45°,/DAT/CAO即/DAO=ZCAE./AETAC, AF=AQAFAO荷AC, AFSAAEC OF_AOAJ2ECTACT2；/ABC和厶AED是两个全等的等腰直角三角形,AD=BC=：2,ED=AE=AB=AC=1

28、,当厶ACD为直角三角形时，分两种情况：图8当AD与AB重合时，如解图，连接CD.第5题解图当厶ACD为直角三角形时，ADLAC即将ADE绕点A逆时针旋转45。./AD=2,AC=1,由勾股定理可得CD=（，2）2+12=3;当AE与AC重合时，如解图，当厶ACD为直角三角形时，AClCD即将ADE绕点A逆时针旋转90。，此时CD=AC=1.综上所述，CD的长为3或1.针对训练1解：（1）厶DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上， AC=CD./BAC=90。/B=90。30。=60。. ACD是等边三角形，/ACD=60。，又/CD=/BAC=60°,/ACD=/CDE DE/AC

29、；/B=30°,/C=90°,1CD=AC=gAB,BD=AD=AC,根据等边三角形的性质，ACD的边AC,AD上的高相等， BDC的面积和厶AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=/DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CEAC=CD/DCE=ZACB=90°,/ACNbZACE=180°,/ACNkZDCM./ACNkZDCM在ACNaHADCM中，/N=ZCMb90°AC=CD ACNaADCM(AAS) AN=DM BDC的面积和厶AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S=第1题解图如解图，过点D作DF/BE

30、交BA于点环易求得四边形BEDF是菱形，BE=DF,且BE,DF边上的高相等,此时SADCF=SABDE；过点D作DF丄BD./ABC=60°,FD/BE交BA于点F2,/i2/FFD-ZABC=60°.211/BF=DF,/FBD=5/ABC=30°,/FDB=90°,112/FDF=ZABC=60°1a DF1F2是等边三角形， DF=DF.12BD=CD/ABC=60。，点D是角平分线上一点，1 DBC=/DCB=5X60°=30°, /CDF=180°/BCD=180°30°=150&#

31、176;,/CDF=360°150°60°=150°, /CDF=/CDF.在厶CDF和厶CDF中，DF=DF2/CDF=/CDF,CD=CD.CDFaACDF(SAS)，点f2也是所求的点./ABC=60°,点D是角平分线上一点，DE/AB./db二【BDE=/ABD=2*60°=30°.又BD=4,BF匸¥BF2=BF1+F1F2=2.解：当/EDF绕D点旋转到DEIAC时，四边形CEDF是正方形；设厶ABC的边长AC=BC=a,则正方形1CED啲边长为2a,ABC1，1a'S正方形CEDF=(1112

32、2(,a)=4a,即saDef+sacef=2&ABC;上述结论成立；理由如下:连接CD,如解图所示./AC=BC,/ACB=90°,D为AB中点,/B=45°,/DCE=2/ACB=45°,CDLABCD=*AB=BD,/DCE=/B,/CDB=90°/EDF=90°,/1=/2,在厶CDE和厶BDF中，/1=/2CD=BD,/DCE=/BCDEAABDF(ASA)1S+SA=SA+S=；ADEFCEFADEABDFABC图图1第2题解图(2)SDEFS'cef=qSc；理由如下:连接CD如解图所示,同得：DEQADFB/DC

33、=ZDBF=135°,/SA=SDEF五边形DBFEC+SaCFeSADBC'1=“CFe+2&ABC,1/SS=DEFPFE艺ABC.DEF、ScEFABC的关系是SPef一S9EF=qSABC3解：(1)如解图中，四边形ABCDEFGC都是正方形,/BCD=ZECG=90°./BCGFZBCOZDC&ZECG=360°,/BCGFZEC=180°.n图如解图，过点E作EMLDC于点M,过点G作GNLBN交BN的延长线于N,/EM(=ZN=90点35四边形ABCDA四边形ECGF匀为正方形，/BCD=ZDCNaZECG=90&#

34、176;,CB=CDCE=CG/1=90°/2,Z3=90°/2,1=/3.在厶CME"CNG中，/EM=/GNC/1=/3,EC=CG CM»CNG(ASA) EM=GN.11又TS1=-CD"EMS2=CBGN1222S1=S2;故答案为180°，S=S;猜想：S=S,证明：如解图，过点E作EMLDC于点M,过点B作BNLGC交GO的延长线于点N,/EM=/N=90°.矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的, CE=CBCG=CD/ECG=/ECN=/BCD=90°， /1=90°/2，/3=90°/2，/1=/3.在厶CMEAnCNB中，/EM=/BNC/1=/3,EC=CB CM»CNB(AAS) EM=BN.11又ts1=qCDEMS2=八CG-BN, S=S；12；如解图，作DMLAC于M延长BA