多元函数的极值及其求法

1、第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题.一.二元函数的极值定义设函数zf(x,y)在点(xo,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有(x,y)(xo,yo),如果总有f(x,y)f(x°,yo),则称函数zf(x,y)在点(xo,y°)处有极大值；如果总有f(x,y)f(xo,yo),则称函数zf(x,y)在点(xo

2、,yo)有极小值.函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.例1.函数zxy在点(O,O)处不取得极值，因为在点(O,O)处的函数值为零，而在点(O,O)的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点._22.一例2.函数z3x4y在点(O,O)处有极小值.因为对任何(x,y)有f(x,y)f(O,O)O.从几何上看，点(O,O,O)是开口朝上的椭圆抛物面z3x24y2的顶点，曲面在点(O,O,O)处有切平面zO,从而得到函数取得极值的必要条件.定理1(必要条件)设函数zf(x,y)在点(x0,yo)具有偏导数，且在点(xo,yo)处有极值，则它在该点的偏导数必然为

3、零，即fx(xo,yo)O,fy(xo,yo)O.几何解释若函数zf(x,y)在点(x0,yo)取得极值z0,那么函数所表示的曲面在点(xo,yo,z°)处的切平面方程为zzofx(xo,yo)(xxo)fy(xo,yo)(yy°)是平行于xoy坐标面的平面zzo.类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为fx(xO,yO,zO)O,fy(xO,yO,zO)O,fz(xO,yO,zo)O说明上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即fx(x0,y0)0只要解方程组,求得解(Xi,y1)，(X2,y2)(Xn,yn),

4、那么极值点必包fy(X0,y0)0含在其中，这些点称为函数zf(x,y)的驻点.注意1.驻点不一定是极值点，如zxy在(0,0)点.怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题.定理2(充分条件)设函数zf(x,y)在点(x°,y°)的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,令fxx(x0,y。)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y。)c,则(1)当ACB20时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且当A0时，有极大值f(x0,y0),当A0时，有极小值f(x0,y°)；2(2)当ACB0时，函

5、数zf(x,y)在点(x0,y°)没有极值；(3)当ACB20时，函数zf(x,y)在点(x°,y°)可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论.求函数zf(x,y)极值的步骤：(1)解方程组fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,求得一切实数解，即可求得一切驻点(xi,yi),(x2,y2)(xn,yn);(2)对于每一个驻点(为、)。1,2，n),求出二阶偏导数的值A,B,C;2(3)确定ACB的符号，按定理2的结论判定f(xi,y)是否是极值，是极大值还是极小值；(4)考察函数f(x,y)是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点.例3.考察z版y2是

6、否有极值.解因为一z,x,y在x0,y0处导数不存在，但是对所xx2y2yx2y2有的(x,y)(0,0),均有f(x,y)f(0,0)0,所以函数在(0,0)点取得极大值.注意2.极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样?例4.求函数f(x,y)3322xy3x3y9x的极值.解先解方程组2fx3x6x902，求得驻点为(1,0),(1,2),(3,0),(3,2),fy3y6y0再求出二阶偏导函数fxx6x6,fxy在点(1,0)处，ACB2126720,又A0,所以函数在点(1,0)处有极小值为f(1,0)5;在点(1,2)处，ACB2720,所以f(1,2)不是极值;在点(3,0)

7、处，ACB2720,所以f(3,0)不是极值;在点(3,2)处，ACB2720,又A0,所以函数在点(3,2)处有极大值为f(3,2)31.二.函数的最大值与最小值求最值方法：将函数f(x,y)在区域D内的全部极值点求出;求出f(x,y)在D边界上的最值；即分别求一元函数f(x,1(x),f(x,2(x)的最值；将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值.实际问题求最值根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最值一定在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最值.例4.求把一个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大.解设x

8、,y分别为前两个正数，第三个正数为axy,问题为求函数uxy(axy)在区域D:x0,y0,xya内的最大值.因为y(axy)xyy(a2xy),-x(a2yx),ya2xy0a斛方程组，得x,ya2yx03由实际问题可知，函数必在D内取得最大值，而在区域D内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把a分成三等份，乘积(a)3最大.另外还可得出，若令zaxy,则海、3(Xyz、3U匹(3)(3)3xyz3xyz-.3三个数的几何平均值不大于算术平均值.三.条件极值，拉格朗日乘数法.一.22.引例求函数zxy的极值.该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在(0,0)取得极小值；若求

9、函数zx2y2在条件xy1下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分xy1的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值.如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出y1x,222一一一2_2代入zxy中，得zx(1x)2x2x1成为一兀函数极值问题，令,口1111zx4x20,倚x,求出极值为z(,).2222但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘

10、数法.利用一元函数取得极值的必要条件.求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下取得极值的必要条件.若函数zf(x,y)在(x°,y°)取得所求的极值，那么首先有(x0,y0)0.假定在(x°,y°)的某一邻域内函数zf(x,y)与均有连续的一阶偏导数，且y(x0,y0)0.有隐函数存在定理可知，方程(x,y)0确定一个单值可导且具有连续导数的函数y(x),将其代入函数zf(x,y)中，得到一个变量的函数zf(x,(x)于是函数zf(x,y)在(X0,y0)取得所求的极值，也就是相当于一元函数zf(x,(x)在xx0取得极值.由一元函数取得极值的必要条件知

11、道dz一、一、dy八fx(x0,y0)fy(x0,y0)丁。，dxxxodxxx0而方程(x,y)0所确定的隐函数的导数为dydxxx0x(x0,y°)y(x0,y°)将上式代入fx(x0,y0)fy(x0,y0*0中，得""口0。0)亲资0，因此函数zf(x,y)在条彳(x,y)0下取得极值的必要条件为fx(x0,y。)fy(x0,y0)x(x0,y0)0y(x0,y°).(x0,y0)0为了计算方便起见，我们令fy(%,yO)y(x0,y°)'则上述必要条件变为fx(x0,y°)x(x0,y0)0fy(x0,yO

12、)y(x0,y°)0,(A*)0容易看出，上式中的前两式的左端正是函数F(x,y)f(x,y)(x,y)的两个一阶偏导数在(x0,y°)的值，其中是一个待定常数.拉格朗日乘数法求函数zf(x,y)在条彳(x,y)0下的可能的极值点.构成辅助函数F(x,y)f(x,y)(x,y),(为常数)求函数F对x,对y的偏导数，并使之为零，解方程组fx(x,y)x(x,y)0fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0得x,y,其中x,y就是函数在条件(x,y)0下的可能极值点的坐标；如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.拉格朗日乘数法推广求函数uf(

13、x,y,z,t)在条彳(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的可能的极值点.构成辅助函数F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t)其中i,2为常数，求函数F对x,y,z的偏导数，并使之为零，解方程组fx1x2x0fy1y2y0fz1z2z0ft1t2t0(x,y,z,t)0(x,y,z,t)0得x,y,z就是函数uf(x,y,z,t)在条彳(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的极值点.注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出x,y,z之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点.例6.求表面积为a2而体积为最大的长方体的体

14、积.解设长方体的三棱长分别为x,y,z,则问题是在条件2(x,y,z)2xy2yz2xza0下，求函数vxyz(x0,y0,z0)的最大值.2构成辅助函数F(x,y,z)xyz(2xy2yz2xza),求函数F对x,y,z偏导数，使其为0,得到方程组yz2(yz)0(1)xz2(xz)0(2)xy2(xy)0(3)2xy2yz2xza20(4)由,xxz得，由型，得-(1)yyz(2)zxz即有，x(yz)y(xz),xy，y(xz)z(xy),yz,可得xyz,将其代入方程2xy2yz2xza20中，得、.6xyza.6这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在

15、这可6能的极值点处取得，即在表面积为a2的长方体中，以棱长为一6a的正万体的体积为最大,66q取大体积为va.36例7.试在千面x2y2z24上求出与点(3,1,1)距离最近和最远的点.解设M(x,y,z)为球面上任意一点，则到点(3,1,1)距离为d.(x3)2(y1)2(z1)2但是，如果考虑d2,则应与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取f(x,y,z)d2(x3)2(y1)2(z1)2,又因为点M(x,y,z)在球面上，附加条件为(x,y,z)x2y2z240.构成辅助函数F(x,y,z)(x3)2(y1)2(z1)2(x2y2z24).求函数F对x,y,z偏导数，使其为0,得到方程组2(x3)2x0(1)2(y1)2y0(