小学数学五大几何模型

1、小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACDSBCD；反之，如果SaacdSabcd,则可知直线AB平行于CD.等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）;三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;面积比等于它们的高之比.两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相

2、等角或互补角）两夹边的乘积之比.Saabc：Saade（ABAC）:（ADAE）三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”：）GS&：&或者SS3S2S4AO:OCSS2：S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.DS2OAI梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理S的对应份数为四、相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型ADAEDEAFABACBCAG；&ABC22AF2:AG2所谓的相似三角形,就是形状相同，大小不同的三角形（只要

3、其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五年级奥数.几何.五大模型五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直线AB与PQ交于点M,SPABQABPMQM特殊情况：当PQ/AB时，

4、易知4PAB与4QAB的高相等，从而SAPAB=SAQAB例题精讲一、鸟头定理AE=1AC,CD=1BC,541三角形DEF的面积BF=6AB，那么三角形ABC的面积等于多少？如图16-4,已知.【考点】【解析】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答如下图，连接AD,BE,CF.有ABE,AABC的高相等，面积比为底的比，则有AEACSaBE=XSaBC=_SABCAC5同理有SAEF=ABSaBE，即二SAEF=5*6SABC=ABC.类似的还可以得到SCDE=4SABC=5SABC,SBDF=-3SABC=,SABC所以有+S1-(CDE+SBDF)=(1-1-165-1)861ABC1

5、20ABCTDEFU为更二角形ABC的面积120【答案】【巩固】61120。1如图，在AABC中，延长AB至D,使BDAB,延长BC至E,使CE1BC,2点，若ABC的面积是2,则4DEF的面积是多少？F是AC的中【考点】【解析】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答在ABC和4CFE中，ACB与FCE互补，.SabcACBC224"SAfceFCCE111'又S.',ABC2,所以S(FCE0.5.Mia.同理可得SAadf2,SAbde3.所以SadefABCSACEFDEBSAADF20.5323.5【答案】3.5。、三角形相似模型【例2】如图，三角形PDM的

6、面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是平方厘米.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线.取AD的中点N,连接MN,设MN交PD于K.则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK,可知三角形PDM的一1884面积等于MKBC8（平万厘米）,所以MK=-（厘米），那么NK4-一（厘米）.2333因为NK是三角形APD的中位线，所以AP2NK8（厘米），所以三角形APD的面积为1 8-68（平方厘米）.23【答案】

7、8。【巩固】如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】阴影部分是一个不规则的四边形,不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差.而从图中来看，既可以转化为BEF与EMN的面积之差，又可以转化为BCM与CFN的面积之差.（法1）如图,连接DE.由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为

8、BC的一半，则1EM:BMDE:BC1:2,所以EM_EB;3_,1EN:FNDE:FC1:1,所以EN-EF.21 111那么EMN的面积占BEF面积的11，所以阴影部分面积为151-12.5（平方厘米）.2 366（法2）如图,连接AM.根据燕尾定理，Sabm：SbcmAE：EC1:1,SACM：SbcmAD:DB1:1,所以SBCO-SABC-6020平方厘米，而SBDCSABC6030平方厘米，所以3 322_1_SFCNSBDC7.5平方厘米，4那么阴影部分面积为207.512.5（平方厘米）.【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：利用面积公式：底高2;利用整体减去部分；利用比例和

9、模型.【答案】【例3】12.5。如图，已知$abc14,点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且AD2,BD5,AFFC,SH边形DBEFSaABE则Saabe是多少?【考点】【解析】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答ABC的面积已知，若知道4ABE的面积占ABC的几分之几就可以计算出4ABE的面积.连,SH边形DBEFSaABE-SADEFSAADEAC与DE平行,SAABESACDBAD2,BD5:ACD:S.'.CDB2:5SaabbSacdb5SBC5141077【答案】10。【巩固】如图，ABCD为正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm,请问四边形PQRS的面积为多少

10、?【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答(法1)由AB/CD,后MP有MNDC所以PCMQQCMBEC所以MQ11以PQMC-MC2311-MC,所以SSPQR占Samcf的g，所以SSPQR(112)-(cm2).3(法2)如图，连结AE,则SABE48(cm2),而RBABEREF所以受EFABEFSabr一SABE32c16,J8(cm).而Smbq33_1c,1c,2MNSans343(cm),因为22DCMPPC所以MP1MC3SMNP1142,、,、一一1243-(cm),阴影部分面积等于SABRSANSSMBQSMNP16三、蝴蝶模型【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三

11、角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答五年级奥数.几何.五大模型【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:b1:1.52:3,Saod：Sboca2:b222:324:9,所以SAOD4cm2【答案】4。【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，Saob：Sacoda2：b24:9,所以a:b2:3,Saod：Saobab:a2b:a3:2,ULI13SAODSCOB1.21.8,S梯形ABCD1.21.81.82.77.52L2【

12、答案】7.5。【例5】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36-16,3的面积就是36-20.454520。【巩固】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道Saamg:Saabg:Samcg:Sabcg221:(12):(

13、12):21:2:2:4,设Saagm1份，则Samcd份，所以正方形的面积为1224312份，S阴影224份，所以与影：品方形1:3,所【答案】例6以Si影1平方厘米.1。平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.【考点】【解析】【答案】【巩固】梯形模型【难度】3星【题型】填空连接DE,根据题意可知方厘米），那么Sabcd12。BE:AD1:2,根据蝴蝶定理得S弟形（12）29（平方厘米），Saecd3（平12（平方厘米）.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF

14、的面积为1部分的面积是平方厘米.【考点】【解析】【答案】【例71梯形模型【难度】3星【题型】填空连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SocdSoae.根据蝴蝶定理，_2SOCDSOAESOCESOAD2816,故Socd16,所以Socd4（平方厘米）.另解：在平行1 1四边形ABED中，Sade1Sabed116812（平方厘米），所以2 2SaoeSadeSaod1284（平方厘米），根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244（平方厘米）.4。E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F,已知三角形AFD的面积是6,三角形DEF的面积是4,求四边形BCE

15、F的面积为多少？D【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6,而顶上的三角形为6X6F=9,，”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.【答案】11。【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】连接BF,根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为1010520（平方厘米），所以长方形的面

16、积为2010260（平方厘米）.四边形ABEF的面积为605102025（平方厘米）.【答案】25。例8如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？BEF的面积和三角形DEC的BCE的面积为6649（平方【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形五年级奥数.几何.五大模型厘米），所以长方形的面积为96230（平方厘米）.四边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）.（法2）由题

17、意可知，空-2,根据相似三角形性质，ED空2,所以三角形BCE的面积EC63EBEC3、，2.为：6-9（平方厘米）.则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15230（平方厘3米）.四边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）.【答案】【巩固】11。如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【考点】【解析】【答案】例9【考点】【解析】梯形模型【难度】3星【题型】填空连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以SEODSFOCSecd48面积为2459。SEOFSCOD,所以SEODSFOCSEODS

18、fFOC?又根据蝴蝶定理,SEOFSCOD212（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12289（平方厘米）.正方形ABCD的边长为6,E是BC的中点（如图）。梯形模型【难度】3星【题型】填空四边形816,所以SEOD4（平方厘米）,224平方厘米，四边形OFBC的OECD的面积为连结DE,S°S-2EOS-DE2,即Sdeo-Sbed-366,SSaboSbeoSabe332'9,所以Soecd6915o【答案】15。【巩固】如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是【难度】3星【题型】填空【考点】梯形

19、模型【解析】解法一：连接DE,依题意SiAOB11BOAO9AO2254,所以AO12,则SAOD1-11一-DOAO-161296.又因为S/,aob22-1一一一，_3Sdoe54-16OE,所以OE6-,二24付S.'BOESOECDS，：bdc123*S:,BOES,ABDSBOEdLUbj54963530-119-.88解法二：由于Saod：SaobOD:OB16:9,所以SiaoddUd5416954,根据蝴蝶定理,S.：BOESaod一一一3一，S,；aobsfdoe,所以Sboe54549630一，所以8SoecdS：bdcS.'.BOE1S'ABDSj

20、BOE【答案】11958。四、燕尾定理【例10】如右图，面积为1的4ABC中，BD:DE:EC1:2:1,CF:FG:GA1:2:1,AH:HI:IB1:2:1,求阴影部分面积.【考点】燕尾定理【解析】解答【题型】【难度】3星设IG交HF于M,IG交HD于NDF交EI于P.连接AM，IF.AI:AB3:4,AF:AC3:4,SaaifSAABC16-SAFIM:SAAMFIHSFIM:SAAIMFG：GA2,1SAAIMSAAIF4入ABC64AH:AI1:3-1SAAHMe&ABC,64AH:AB1:4AF:AC3:4,Saahf国&ABC16同理SACFDSABDH3SSA

21、ABC16-SAFDH7S-SAABC16HM:HF6416AI:AB3:4,AF:AC3:4,IF/BC又.IF:BC3:4,DE:BCDE:IF2:3,DP:PF2:3,同理HN:ND2:3,HM:HF1:4,HN:HD2:5,17SAHMN-SAHDFSAABC10160160同理6个小阴影三角形的面积均为160阴影部分面积6160218021o80【巩固】如图,ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少?CC【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接CK、CI、CJ.根据燕尾定理，Sack:SabkCD：BDSAB

22、K:SCBKAG:CG1:2,所以SACK:SABK:SCBK1:2:4,那么Sack1sSACK3121类似分析可得S2SAGI15AF:CF2:1,BD:CD2:1,可得SACJ那么,Scgkj-11742184根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为,那么四边形JKIH84周围的图形的面积之和为Scgkj2Sagic17SABE2842161，一一,-,所以四边形JKIH的面积为11537061709701的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.DEF的边长为6个单位小正【答案】-9_。70课堂检测【随练1】四个面积为【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩

23、展成一个大正三角形DEF,则AGF与CEH都是正三角形.假设正六边形白勺边长为为a,则AGF与CEH的边长都是4a,所以大正三角形4217,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为61,三角形DEF的面积为理由于FA4a,FB3a,所以AFB与三角形DEF的面积之比为4312.7749同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为12,所以ABC的面积占三角形DEF面49491313"649e-1213积的1_3一，所以ABC的面积的面积为494913【答案】-。6【随练2】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚

24、线围成的五边形ABCDE的面积是【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于131231，所以五边形的面积是663八26.3110336|。家庭作业【作业1】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。【考点】三角形的鸟头模型【难度】5星【题型】解答【解析】

25、连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED,故最少测量1次就可解决问题。【答案】1次。【作业2】如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm,则图中阴影部分的面积是cm2.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空五年级奥数.几何.五大模型【解析】方法一、连结EG、FJ可得GI:IF=2:3,所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH的十分之也就是大正方形的十分之一，为10cm2。方法二：根据同底等高的两个三角形面积相等，左图中阴影面积与右图中的阴影面积相等。只要找到底边的比例关系便可以解答。根据相似三角形”就是常说的沙漏定理。来找到底边a、b的比例关系,但是需要添加辅助线，如图所示：延长EA到K,使得EA=AK因为EK:GJ=4:1,所以EI:IJ=4:1,三角形EGJ的面积是正方形面积的八分之一441,2SegiS|egj-1010-10(cm2)14-58【答案】10。【作业3】如图，三角形ABC的面积是1,BDDEEC,CFFGGA,三角形A