导数的不等式恒成立问题

1、导数的应用【考查重点与常见题型】题型一运用导数证明不等式问题例1】设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,xR.(1) 求f(x)的单调区间与极值；(2) 求证：当a>ln21且x>0时，ex>x2-2ax+1.(1) 解由f(x)=ex-2x+2a,xR知f'(x)=ex2,xR.令f'(x)=0，得x=In2,于是当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：x(8,In2)In2(In2,+8)f'(x)0r+f(x)单调递减、2(1In2+a)单调递增/故f(x)的单调递减区间是(一8,In2，单调递增区间是In2,+),f(x

2、)在x=In2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln22ln2+2a=2(1In2+a).(2) 证明设g(x)=exx2+2ax1,xR,于是g'(x)=ex2x+2a,xR.由(1)知当a>ln21时，g'(x)的最小值为g'(In2)=2(1In2+a)>0.于是对任意xR，都有g'(x)>0,所以g(x)在R上是增加的.于是当a>ln21时，对任意x(0,+)，都有g(x)>g(0).而g(0)=0，从而对任意x(0,+),g(x)>0.即exx2+2ax1>0,故ex>x22ax+1.J已知f(x)=

3、xlnx.(1)求g(x)=fx+%R)的单调区间；(2)证明：当x>1时，2xe<f(x)恒成立.xk解：(1)g(x)=Inx+一,xxk令g(x)=0得x=k.x/x>0,当k<0时，g'(x)>0.函数g(x)的增区间为(0,+s)，无减区间；当k>0时g'(x)>0得x>k;g'(x)<0得0<x<k,增区间为(k,+)，减区间为(0,k).(2)证明：设h(x)=xlnx2x+e(x>1),令h'(x)=Inx1=0得x=e,h(x),h'(x)的变化情况如下：x1(1,

4、e)e(e,+g)h'(x)1一0+h(x)e20故h(x)>0.即f(x)2xe.题型二利用导数研究恒成立问题a【例2】已知函数f(x)=Inx-x'若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；3若f(x)在1,e上的最小值为2求a的值；(3) 若f(x)<x2在(1，+m)上恒成立，求a的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+),口，1ax+a且f(x)=；+2=-.ta>0,f'(x)>0,故f(x)在(0,+)上是增加的.x+a(2) 由(1)可知，f'(x)=”. 若a>1，则x+a>0,即f&#

5、39;(x)>0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上是增加的，33-f(x)min=f(1)=a=,-a=2(舍去). 若a<e,则x+a<0,即卩f'(x)<0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上是减少的，a3e f(x)min=f(e)=1=2，a=§舍去) 若一e<a<1，令f'(x)=0得x=a,当1<x<a时，f'(x)<0,f(x)在(1,a)上是减少的；当一a<x<e时，f'(x)>0,f(x)在(a,e)上是增加的, f(x)min=f(a)=ln(a)+1

6、=2,-a=e.综上所述，a=e.(3) tf(x)<x2,Inxa<x2.又x>0,/a>xlnxx3.令g(x)=xlnxx3,h(x)=g'(x)=1+Inx3x2,1(x)=厂6x=/x(1,+g)时，h'(x)<0,h(x)在(1,+g)上是减少的.h(x)<h(1)=2<0,即即g'(x)<0,g(x)在(1,+g)上也是减少的.g(x)<g(i)=1,当a>1时，f(x)<x2在(1,+g)上恒成立.变式训塚2已知函数f(x)=ax33x+1对x(0,1总有f(x)>0成立，则实数a的

7、取值范围是答案4,+g)解析当x(0,1时不等式ax33x+1>0可化为3x1、八(、3x1rtra-a>一，设g(x)=丁,x(0,1,xx1,3x33x13x26x2g'(x)=x6=x4，g'(x)与g(x)随x的变化情况如下表:因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是4,+g).x10,11221g'(x)+0一g(x)/4、导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011辽宁)设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1) 求a,b的值；(2) 证明：f(x)w2x2.b(1)解f

8、9;(x)=1+2ax+.1分x由已知条件得f1=0,f'1=2,1+a=0,1+2a+b=2.a=1,解得4分b=3.证明因为f(x)的定义域为(0,+g),由(1)知f(x)=xx2+3lnx.精品文档设g(x)=f(x)(2x2)=2-xx2+3lnx,3x12x+3则g(x)=12x+-=-.8分x当0<x<1时，g'(x)>0,当x>1时，g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1,+)上是减少的.10分而g(1)=0，故当x>0时，g(x)<0,即f(x)<2x2.12分A.(1,2)B.(汽一

9、3)U(6,+s)C.(3,6)答案BD.(汽一1)U(2,+s)1.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()解析Tf'(x)=3/+2ax+(a+6)，由已知可得f'(x)=0有两个不相等的实根.=4a24x3(a+6)>0，即卩a23a18>0.-a>6或a<3.2. 曲线y=f(x)=e在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A.4e2B.2e2C.e2D.答案D解析T点(2，e2)在曲线上，.切线的斜率k=f'(2)=e2，切线的方程为ye2=e2(x2)，即e2xye2=0.与

10、两坐标轴的交点坐标为(0，(1,0)，2'3. 已知函数f(x)=x2+mx+lnx是单调递增函数，则m的取值范围是A.m>22B.m>22C.m<22D.mW2”2答案B解析依题意知,x>0，f'(x)=2x2+mx+1x令g(x)=2x2+mx+1,x(0,+),当0时，g(0)=1>0恒成立，.m>0成立,精品文档当4>0时，贝U=m28W0,22wm<0,综上，m的取值范围是m一22.4. 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产12400xrx20wxw400

11、,量x的年关系是R=R(x)=2贝U总利润最大时，每年生产的产品是80000x>400,()A.100B.150C.200答案DD.300解析由题意得，总成本函数为C=C(x)=20000+100x,总利润P(x)=x2300x200000wxw400,60000100xx>400,300x0Wxw400,又P(x)100x>400,令P'(x)=0,得x=300,易知x=300时，总利润P(x)最大.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 设P为曲线C:y=f(x)=x2x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3，则点P纵坐标的取值范围是.3 答案3，3

12、4解析设P(a,a2a+1)，贝Uf'(x)=2a11,3,133gmin=4.当a=2时,0waw2.而g(a)=a2a+1=a一22+4，g(a)max=3,3故P点纵坐标的取值范围是3,3.(强度与bh2成正比,6. 在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为其中h为矩形的长，b为矩形的宽).答案fd解析截面如图所示，设抗弯强度系数为k,强度为3,则3=kbh2,又h2=d2b2,3=kb(d2b2)=kb3+kd2b,3'=3kb2+kd2,d2令3'=0，得b2=3,b=fd或b=-33d(舍去).h=d2b2=fd.7. 已知函数

13、f(x)=x3+ax24在x=2处取得极值，若m、n1,1，贝Vf(m)+f'(n)的最小值是答案-13解析对函数f(x)求导得f'(x)=3X2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即一3X4+2aX2=0,-a=3.由此可得f(x)=x3+3x24,f'(x)=3x2+6x,易知f(x)在(1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，当m1,1时，f(m)min=f(0)=4.又Tf'(x)=3x2+6x的图像开口向下，且对称轴为x=1,当n1,1时，f'(n)min=f'(1)=9.故f(m)+f'(n)的最小值为13.三、解答题(共22分)8. (10分)设函数f(x)=ax33x2(aR),且x=2是y=f(x)的极值点.(1) 求实数a的值，并求函数的单调区间；(2) 求函数g(x)=ex(x)的单调区间.解(1)f'(x)=3ax26x=3x(ax2),因为x=2是函数y=f(x)的极值点，所以f'(2)=0,即卩6(2a2)=0,因此a=1.