导数复习经典例题分类

1、导数解答题题型分类之拓展篇题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x)0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元(即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立)；参考例4;1例1.已知函数f(x)x3bx22xa，x2是f(x)的

2、一个极值点.3(I) 求f(x)的单调递增区间；(U)若当x1,3时，f(x)a2?恒成立，求a的取值范围.3、2x例2.设f(x),g(x)ax52a(a0)。x1(1) 求f(x)在x0,1上的值域；(2) 若对于任意为0,1，总存在xo0,1,使得g(xo)f(xj成立，求a的取值范围例3.已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)的切线斜率为3，g(x)x3号X2(t1)x3(t0)(I)求a,b的值；(U)当x1,4时，求f(x)的值域；(川)当x1,4时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围例4.已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b在区间2,1上的最大值是

3、5,最小值是一11.(I)求函数f(x)的解析式；(U)若t1,1时，f(x)tx0恒成立，求实数x的取值范(a0)围.x3210例5.已知函数f(x)笃图象上斜率为3的两条切线间的距离为仝竺，函数a5(、-、3bx2g(x)f(x)3.a(1) 若函数g(x)在x1处有极值，求g(x)的解析式；(2) 若函数g(x)在区间1,1上为增函数，且b2mb4g(x)在区间1,1上都成立，求实数m的取值范围.题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；经验1已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即f(x)0或f(x)0在

4、给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧)，如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别；经验2:函数

5、与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6.已知函数f(x)1x3(kx2，g(x)-kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数.323(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.例7.已知函数f(x)ax33x21-a(I)讨论函数f(x)的单调性。(II)若函数yf(x)在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴

6、有公共点，求实数a的取值范围。例8.已知函数f(x)=x3ax24x+4a，其中a为实数.(I)求导数f(x)；(n)若f(1)=0,求f(x)在2,2上的最大值和最小值;(川)若f(x)在(一,2和2，+)上都是递增的，求a的取值范围例9.已知：函数f(x)x3ax2bxc(I)若函数f(x)的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；(II)若函数f(x)在x1和x3时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围例10.设yf(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x-时，f(x)的极小值为1.2(I)求f(x)的解析式；(U)证明：当x(1,)时，函数f

7、(x)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.例11.在函数f(x)ax3bx(a0)图像在点(1,f(1)处的切线与直线6xy70.平行,导函数f'(x)的最小值为一12。(1)求a、b的值；(2)讨论方程f(x)m解的情况(相同根算-根)。例12.已知定义在R上的函数f(x)ax3bxc(a,b,cR)，当x1时，f(x)取得极大值3,f(0)1.(I)求f(x)的解析式；(U)已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t3)上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数g(x)3(xM)的零点个数.x例13.已知函数f(x)kx3(I)求k的值；(II)若对任

8、意的t3(k1)x22k24,若f(x)的单调减区间为(0，4)1,1,关于x的方程2x25xaf(t)总有实数解，求实数a的取值范围例14.已知函数f(x)ax3bx2x(xR,a,b是常数)，且当x1和x2时，函数f(x)取得极值.(I)求函数f(x)的解析式；(U)若曲线yf(x)与g(x)3xm(2x0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围.32例15.已知f(x)=x+bx+cx+2.若f(x)在x=1时有极值1,求b、c的值；若函数y=x2+x5的图象与函数y=匚2的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.x1L例16.设函数f(x)x3x2ax，g(x)2xb，当x12时，f

9、(x)取得极值.3(1)求a的值，并判断f(1-2)是函数f(x)的极大值还是极小值；2)当x3,4时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求b的取值范围.题型三：函数的切线问题;经验1:在点处的切线，易求；经验2:过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线(一般用点斜式)；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例17.已知函数f(x)ax3bx2ex在点x°处取得极小值一4,使其导数f'(x)0的x的取值范围为(1,3)，求：(1) f(x)的解析式；(2) 若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三

10、条切线，求实数m的取值范围.例18.已知f(x)x3ax24x(a为常数)在x2时取得一个极值，(1) 确定实数t的取值范围，使函数f(x)在区间t,2上是单调函数；(2) 若经过点A(2,c)(c8)可作曲线yf(x)的三条切线，求c的取值范围.题型四：函数导数不等式线性规划结合；1 1例19.设函数g(x)-x3ax2bx(a,bR)，在其图象上一点F(x,y)处的切线的斜率记为f(x).32(1)若方程f(x)有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式；若g(x)在区间1,3上是单调递减函数，求a2b2的最小值。1例20.已知函数f(x)x3ax2bx(a,bR)311(1) 若yf(

11、x)图象上的是(1,)处的切线的斜率为4,求yf(x)的极大值。3(2) yf(x)在区间1,2上是单调递减函数，求ab的最小值。例21.已知函数f(x)mx3nx2(m，nR，mn且m0)的图象在(2,f(2)处的切线与x轴平行(I) 试确定m、n的符号；(II) 若函数yf(x)在区间n,m上有最大值为mn2，试求m的值.题型五：函数导数不等式的结合例22.已知函数fxxabx0，其中a,bR.x(I)若曲线yfx在点P2,f2处的切线方程为y3x1，求函数fx的解析式;(U)讨论函数fx的单调性；(川)若对于任意的a-,2，不等式fx10在-,1上恒成立，求b的取值范围.2 4例23.已

12、知函数f(x)-x3ax2bx1(xR,a，b为实数)有极值，且在x1处的切线与直线xy10平行.(1) 求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a，使得函数f(x)的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；11例24.已知函数f(x)-ax3-x2cxd3 4上恒成立。3(1)求a、c、d的值；(2)若h(x)3x24(a、c、dR)满足f(0)0,f'(1)0且f'(x)b1bx，解不等式f'(x)h(x)0；24_2例25.设函数f(x)x(xa)(xR)，其中aR(1) 当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2) 当a0时

13、，求函数f(x)的极大值和极小值；(3) 当a3时，证明存在k1,0，使得不等式f(kcosx)f(k2cos2x)对任意的xR恒成导数解答题题型分类之拓展篇答案题型一例1、解：(I)f'(x)X22bx2.x2是f(x)的一个极值点，x2是方程x22bx20的一个根，解得b3.2令f'(x)0,则x23x20,解得x1或x2.函数yf(x)的单调递增区间为(，1),(2,+).(n)v当x(1,2)时f'(x)0,x(2,3)时f'(x)0,f(x)在(1,2)上单调递减，f(x)在(2,3)上单调递增.f(2)是f(x)在区间1,3上的最小值，且f(2)2a

14、.32aa若当x1,3时，要使f(x)2孑恒成立，只需例2、解：(1)法一:(导数法)23，f(x)如解得0a1.1)2x22x24x0220(x1)(x1)在x0,1上恒成立.f(x)在0,1上增,f(x)值域0,12x2法一：f(x)x10,x21_2x2法三:f(x)x1f(x)值域0,1由条件，只须0,1,x(0,1,复合函数求值域.1)24(x1)2x1,g(x)ax52a(aa5，5of/(1)b1x2(x2(x1)52a,50)在x2a4用对号函数求值域.x10,1上的值域55a4.22a,5a.例3、解：(I)f/(x)3x2(U)由(I)知，f(x)在解得a3b21,0上单调

15、递增，在0,2上单调递减,在2,4上单调递减又f(1)4,f(0)0,f(x)minf(2)4,f(x)maxf(4)16f(x)的值域是4,16(川)令h(x)f(x)g(x)|x2(t1)x3x1,4要使f(x)g(x)恒成立,只需h(x)0,即t(x22x)2x6(1)当x1,2)时t字2,解得t1；x2x(2) 当x2时tR;(3) 当x(2,4时t半6解得t8;综上所述所求t的范围是(，1U8,)x2x例4、解：(I)Qf(x)3ax22ax'2b,f(x)3ax4axax(3x4)令f(x)=0,得x0,X242,13因为a0，所以可得下表:x2,000,1f'(x

16、)+0-f(x)/极大因此f(0)必为最大值，二f(0)5因此b5,Qf(2)16&5,f(1)a5,f(1)f(2),即f(2)16a511，二a1，二f(x)x32x25.(n)vf(x)3x211,.a1,.f(x)x32x24x,.f(x)tx0等价于3x24xtx0,令g(t)xt3x20,即0则问题就是g(t)0在t1,1上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需g(1)g(1)4x,3x25xx2x解得0例5、解:.切线方程为.|2a2a|2.101，所以所求实数x的取值范围是0,1.f(x)£x2，.由gx23有xa，即切点坐标为(a,a),(a,aaa3(xa

17、)，或ya3(xa)，整理得3xy2a0或3xya)2a,解得a1,.f(x)5x3，二g(x)x.32(1)2g(x)在x1处有极值，g(1)0，即312(2)v函数g(x)在区间1,1上为增函数，.g(x)3x又Tb2mbmb3在b题型二答案：例6解：(1).f(x)即k13b0,解得b23b4g(x)在区间1,1上恒成立，.b2mb4(,0上恒成立，.m3.m的取值范围是3,由题意f(x)x2(k1)xx恒成立，又(2)设h(x)f(x)g(x)3bx3o(1)/g(x)31,.g(x)x3x30在区间1,1上恒成立,mb44g(1)，即b2x2(k1)xvf(x)在区间(2,)上为增函

18、数,0在区间(2,)上恒成立x2，二k12，故k33x2kx321.k的取值范围为k13，3x23b,h(x)x2(k1)xk令h(x)0得xk或x当k1时，h(x)(x随x的变化情况如下表：(xk)(x1)1由(1)知k1,1)20,h(x)在R上递增，显然不合题意当k1时，h(x),h(x)x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)00h(x)/.3.2.极大值kk1623极小值k12/0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,由于匕2I3|2故需-62即方程h(x)0有三个不同的实根,1丄0，即(k3综上，所求k的取值范围为k例7、解：(1)f(x)3ax26x,1)(k22k2)

19、k1k22kf(x)0得x10或x22,当a>0时,(,0)递增,(0,)递减,aa递增；22当a<时，(，)递减,(-,0)递减,(0,)递减。aa(2)当a>0时X(,0)0(0,-)a2a(三)af(X)+0一0+f(x)增极大值减极小值增此时，极大值为f(0)13,极小值为f(-)弓13.7分aaaaX2(，一)a2a(?,0)a0(0,)f(X)一0+10一f(x)减极小值增极大值减当a<0时3324此时，极大值为f(±)飞1aaf(0)f(2)0即(a3)(a4)(a1)a例8、解：(I),极小值为f(0)1.因为线段AB与x轴有公共点所以af(x

20、)0,解得a(U)由f(1)x=1又f(4)3502?f(a33x212,q2axf(x)4312xx21),f(2)0,f(2)2(m)f(x)3x22ax4，由题意知1,0)3,44x0,例9、解：(I)值点，所以的根，所以a3,bf(x)3x2设切点P(x,y)f(x)12b0，即a23bf(2)f(2)0,2空2,63x22ax0,4a29,6xf(x)93(xxx1处取得极大值，在c(5,27)例10解：(I)设f(x)d;3axbx2f(X)3ax得a4,c或x1cx2c3x(1,)ax33ax(II)x33x29x1)(x3),f(x)3处取得极小值.bx2bx2，依题意得cxd

21、(acxdbf丄2故所求的解析式为:Q(1,0)0x-或3，最小值50272.f(x)3x2x4，由f(x)0得f(x)在-2,q2上最大值24a884a6a0,0,6,a2.b|xx因为x1，x0,23x2axb0,3是方程f(x)0,x3,x1；函数图像与x轴有3个交点,f(X)0,1因为存在极3x2x3f(1)f(3)2axb0f(X)在00d.30-a4f(x)2，)时，函数f(x)图像上任意两点，且0.X2X1Q其图像关于原点对称，即f(0，则有f(x)1c0，f13ax1a8cx1c2x)由f(x)得1由4x33x.(H)由f(x)12x2310解得：X2)时，函数f(x)单调递增

22、；设X1,y1,X2,y2是X2咅，则有y2%过这两点的直线的斜率(1,例11、解：(1)f'(x)3ax2b的最小值为12,b12,且a0.(3')又直线6xy70的斜率为6因此f'(1)3ab6,a2,b12.(6')(2)由(1)知f(x)2x312x,f'(x)6x2126(x.2)(x.2)，列表如下:x(,V2)(V'2j2)(Q)f,+0一0+f(x)极大值极小值所以，函数f(x)的单调增区间是(，/)和(、_2,)f(1)10,f(2)f(x)在x一2上的极小值是f(2)8.2.当8.、2,f(3)18,f(x)在x2上的极大值是

23、f(,2)8、2,当m8.一282,或m2时,方程有一根；当m8.2,或m8一2时,方程有二根；8.2时,方程有三根.(12')例12、解:(1)由f(0)1得c=1f(x)3ax2b,f(1)1)3abb10，得a1,b3f(x)(2)3xf'(x)3x13(x1)(x1)得x1,x1时取得极值.由(t,t1.二M(2,1).g(x)x213,g(x)xx2x3),1(t,t3)1冷，二当xMx时,g(x)g(x)在M上递减.又g(2)12,g(1)3二函数g(x)M的零点有且仅有解：(I)f2例13、f(t)3t212t1个(x)13kx26(k1)x又t0时f(t)0;0

24、tf(1)5,f(1)3,例14、解：(I)f(x)f(t)3ax2252x22bx5xf(4)1时f(t)08a25a80,k1(II)25,依题意f(1)8a8f5解得a1580,即卩3a2b12a4b°,解得0,有两个不同的交点,13x613x63 2x43 2-x4x(H)由(I)知，曲线yf(x)与g(x)3xm(20)2xm0在2,0上有两个不同的实数解13(x)-x6时(x)3 2x4于是2x题意有(2)(1)(0)(x)在1m-313m12m02,123xx2，由(x)221上递增；当x(1,0)时(x)(x)1，当x(2,1)13二实数m的取值范围是0120,于是(

25、x)在1,0上递减.13m一12例15、解：f'(x)=3x2+2bx+c,由题知f'(1)=03+2b+c=0,f(1)=11+b+c+2322=1b=1,c=5,f(x)=x+x5x+2,f(x)=3x+2x5f(x)在5,1为减函数，f(x)在(1,+x)为增函数b=1,c=5符合题意3即方程：x2x5U恰有三个不同的实解：x3+x25x+2=k(x工0)即当XM0时，f(x)的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，由知f(x)在,5为增函数,3z55229f(x)在护为减函数，f(x)在(1宀)为增函数，又7石,f(1)=-1,f=2292二1k229且kM227例16、

26、解：(1)由题意f(x)x22xa当x1、2时，f(x)取得极值，所以f(1、2)01.2221、2a0即a1此时当x1、2时，f(x)0，当x12时，f(x)0，f(1,2)是函数f(x)的最小值。(2)设f(x)g(x)，贝U-x3x23xb0，b-x3x23x8分33设F(x)!x3x23x，G(x)bF(x)x22x3，令F®x22x30解得x1或x3列表3如下：函数F(x)在(3,1)和(3,4)上是增函数，在(1,3)上是减函数。当x1时，F(x)有极大值F(1)5;当3函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，205b或b93x3时,F(x)有极小值F(3)93题型三答

27、案：例17、解:(1)在(函数F(x)与G(x)的图象有两个公共点205、°-)933因止匕f(x)在X0abc由题意得：f'(x)3ax2,1)上f'(x)0；在(1,3)上f'(x)1处取得极小值44，2bxc3a(x1)(x0;在(3,3),(a0)上f'(x)0由联立得:f'(1)3a2bc16，9-f(x)0，f'(3)x36x29x27a6bc0x3(3,1)1(1,3)-3(3,4)4F(x)00+F(x)9539/203y(32t12t9：)(xt)(t362it9t)(3t212t9)xt(3t212t9)2t(t6t

28、(3t212t9)xt(2t26t)过(1,m)m(3t212t9)(1)2t36t23g(t)2t2t212t9m0令g'(t)6t26t1226(tt2)0，求得：t1,t2，方程g(t)0有三个根。(2)设切点Q(t,f(t)，f(t)f(t)(xt)y例18、解:(1)v函数f(x)在xaf(2)124a40，2x或x2时，f(x)30,xf(x)0，f(x)在(2时取得一个极值，且f(x)3x22ax4，22f(x)3x4x4(3x2)(x2).2或x2时，f(x)3-,2,)上都是增函数，3x2时，3在2,2上是减函数.30,使f(x)需：g(1)023129m0m16g(

29、2)01612249m0m11故:11m16;因此所求实数m的范围为：(11,16)在区间t,2上是单调函数的2t的取值范围是-,2)3(2)由(1)知f(x)x32x24x.设切点为P(x°,y°)，则切线的斜率kf(x°)3x：4x°4，所以切线方程为：y(x；2xo4x)(3xo4x)4)(xx0.将点A(2,c)代人上述方程，整理得：322x08x08x08c0.经过点A(2,c)(c8)可作曲线yf(x)的三条切线，方程2x：8x08x°8c0有三个不同的实根.设g(x°)2x；8x08x08c，贝U,|)上单调递增，在(|

30、,2)上单调递减,g(Xo)6x016xo280x0或x°2，g(x°)在(3在(2,)上单调递增,0,故9极大g极小9(2)0,得:28027题型四答案：例19、解：(1)根据导数的几何意义知24a两个实根由韦达定理，24bf(x)abg'(x)28，naxb由已知-2，4是方程xaxb0的2f(x)x2x8(2)g(x)在区间1,3上是单调递减函数，所以在22f(x)g'(x)xaxb0，即f(x)xaxb1,3区间上恒有0在1,3区间上恒成立1/这只需满足f(10即可，也即ab1而a2bab2可视为平面区域f(3)0b3a9b3a离的平方由图知当a2时

31、,2ab2有最小值13;b3例20、解：(1)f(x)1x33ax2bxf(x)2小x2axb由题意得4412a44f(x)4且f(1)II31ab11a1,b333f(x)1x3x233xf(x)(x1)(x3)令f(x)0得X11,x23由此可知x(,1)-1(1,3)3(3,)f(x)+00+1内的点到原点距91f(x)极小值9/(2)f(x)f(51时f(x)取极大值-31,2上是减函数b0在1,2上恒成立2ab0曲2a即4ab04ayf(x)在x22ax1)014f0作出不等式组表示的平面区域如图1当直线zab经过点P(-,2)时z23ab取最小值-2例21、解：(I)由图象在知f0

32、,n又nm，故n0,(II)令f(x)3mx2得x0或x2-易证x0是f(x)的极大值点，x令f(x)f(0)0，得x0或x3.分类：(I)当0m3时，f(X)max(2,f(2)处的切线与x轴平行，3m3分m0.4分2nx3mx26mx0,6分2是极小值点(如图).由，解得m1,符9合前提0m3.(II)当m3时,f(X)maxf(m)m42mn,.4m2mn2mn由，得m:33m29m10.记g(m)3m3m29m1,Tg(m)3m26m93(m1)260,g(m)在R上是:增函数，又m3，-g(m)g(3)260,0.g(m)0在3,192nf(0)0,m上无实数根.综上，m的值为m题型

33、五答案:例22、解：(I)f(x)直线y3x1上可得21弓，由导数的几何意义得xb7,于是a由切点P(2,f(2)在所以函数f(x)的解析式为f(x)解得b9.8°x9.x(U)解:当a0时，当a0时，当x变化时,f(x)1弓.x显然f(X)0(x令f(x)0，解得0).这时f(x)在(x.a.,0),(0,)上内是增函数.x(:,、a)a(、a,o)(o,ca,)f(x)+00+f(x)/极大值极小值/所以f(x)在(,、a),C、a,)内是增函数，在(、a,o),(0,)内是减函数.f(x)，f(x)的变化情况如下表:1、(川)解：由(U)知，f(x)在丄,1上的最大值为4f)与f(1)的较大者，对于任意的4不等式f(x)110在-,1上恒成立，当且仅当4fG)f(1)10，即10394広4a，对任意的a9a立.从而得b所以满足条件的b的取值范围是例23、解：(1)Qb2a.4a24b由、可得,(2)存在a8f(x)lx33f(x)有极值,0,2a由2a(1)2axx2a2b0.可知b,由题意f(1)1b0有两个不等实根.2axbx1,f(x)(x)x22或a0.故a(,2)(0,)x22axb,令f(x)0，方程f0.2