经典控制理论——第七章3

1、一离散系统的稳定性一离散系统的稳定性1 1 采样系统的稳定条件采样系统的稳定条件 在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在 s 平面的位置。若系统特征方程的所有根都在 s 平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z 变换以后，对系统的分析要采用 Z 平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。s 域到 z 域的映射: 复变量s和z的相互关系为 z=esT ，式中T为采样周期 s域中的任意点可表示为 ，映射到z域则为jsTjTTjeeez）（于是，s域到z域的基本映射关系式为TzezT， 若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时sj，对应的复变量 。后者是Z平面上的一个向量，其模

2、等于1，与频率无关；其相角为T，随频率而改变。Tjez 可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。 当s位于S平面虚轴的左边时，为负数， 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数， 大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。TezTez图7-20：线性采样系统结构图 线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统如图7-20所示。其特征方程为01）（）（zGHzD 显然，闭环系统特征方程的根1、2、n即是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统稳定充要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内

3、，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。 应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样，用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。2 2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。根据复变函数双线性变换公式，令1

4、1wwz11zzw或式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即jvuwjyxz222222) 1(2) 1(111yxyjyxyxjyxjyxw 当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：122 yx0) 1(12222yxyxu 左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图7-21。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。 图7-21：Z平面和W平面的对应关系 离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半W平面。例例7-17 设闭环离散系

5、统如图7-22所示，其中采样周期T=1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。图7-22：例7-17闭环系统图 解：解：求出G(s)的z变换1)1 . 01 ()(skskssksG368. 0368. 1632. 0368. 01)(2zzkzzkzzkzzG闭环系统脉冲传递函数为)(1)()(zGzGz故闭环系统特征方程为0368. 0)368. 1632. 0()(12zkzzG11wwz令代入上式，得0368. 0)11)(368. 1632. 0()11(2wwkww化简后，得W域特征方程0)632. 0736. 2(264. 1632. 02kwkw列出劳斯表0632. 0736. 2

6、0264. 1632. 0736. 2632. 0012kwwkkw 从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k0，2.736-0.632k0，即k0 特征方程的系数，按照下述方法构造(2n3)行、(n+1)列朱利阵列，见下表：表 朱利阵列 在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k+1行各元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如下：kknnkaaaab0kknnkbbbbc110kknnkccccd22003300ppppq 12301ppppq 21302ppppq k=0,1,n1k=0,1,n2k=0,1,n3朱利稳定判据朱利稳定判据 特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面

7、上单位圆内的充分必要条件是D(1)0，D(1) 0， 当n为偶数时；D(1)0， D(1)0， 当n为奇数时；以及下列(n1)个约束条件成立|a0|bn-1|， |c0|cn-2|d0|dn3|， |q0|q2| 只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳定的， 否则系统不稳定。例例7-18：已知离散系统闭环特征方程为002. 008. 04 . 0368. 1234zzzzzD）（试用朱利判据判断系统的稳定性。解解 由于n=4, 2n3=5, 故朱利阵列有5行5列。根据给定的D(z)知：a0=0.002, a1=0.08, a2=0.4, a3=1.368, a4=1计算朱利阵列中的元素bk和

8、ck：104400aaaab368. 113401aaaab399. 022402aaaab082. 031403aaaab401. 112201bbbbc511. 021302bbbbc993. 003300bbbbc作出如下朱利阵列：因为D(1)=0.1140, D(1)=2.690 |a0|=0.002, a4=1, 满足|a0|b3| |c0|=0.993, |c2|=0.511, 满足|c0|c2|故由朱利稳定判据知，该离散系统是稳定的。4 4 采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响例例7-19 设有零阶保持器的离散系统如图7-23所示，试求：（1）当采样周

9、期T分别为1(s)，0.5(s)时，系统的临界开环增益Kc。（2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4(s)时，系统的输出响应c(kT)。图7-23 例7-19离散系统)(1()1 () 1()1 ()(1)(SSk12TezztTeTezTTekZzzG21s ( )1( )0( )(0.3681.368)(0.2640.368)0TD zG zD zzkzk 时0)104. 0736. 2()528. 0264. 1 (632. 0)(2kwkkwwD由劳斯判据KC=2.4T=0.5s 时 W域：0)017. 0214. 3()18. 0786. 0(197. 0)(2

10、kwkkwwD由劳斯判据KC=4.37)(1)()(zGzGz)1 ()1 () 1()1 () 1(2TTTTTTTTeTeeKzeTeKzTeezTeK且由 ，可求得C(z)表达式 1)(zzzR 取K=1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反变换得到c(kT)，见图7-24图7-24 不同T时的响应 线性连续系统计算稳态误差的方法都可以推广到采样系统中来。下面仅介绍稳态误差系数的计算。设单位反馈采样系统如图7-25所示：图7-25 单位反馈采样系统 系统的开环脉冲传递函数为G(z) 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样时刻上的数值c(nT) (n=0，1，2)与输入信号

11、相比较外，还可以应用Z变换的终值定理来计算。)()(1)()()()()()(1)()(, )()()(zRzGzGzRzYzRzEzGzGzzRzzY)()()()(11zRzzRzGe利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差)(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim)(11*zGzRzzEzteezzt上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式有关。 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于 的关系，原线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系

12、统的型别,称v=0,1,2,.的系统为0型、I型、II型离散系统。sTez 下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。(1)单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差pzzzkzGzzzGzzEze1)(1 lim11)(1) 1(lim)() 1(lim)(111式中 称为静态位置误差系数。 )(1 lim1zGkzp 对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp,从而e()0；对I型、II型以上的离散系统（有一个或一个以上 z=1的极点），则 Kp=，从而e()=0。 因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连

13、续系统十分相似。（2）单位斜坡输入时的稳态误差）单位斜坡输入时的稳态误差vzzzkTzGzTzTzzGzzEze)() 1(lim) 1()(1) 1(lim)() 1(lim)(1211式中 称为静态速度误差系数。 因为0型系统的kv=0， I型系统的kv为有限值，II型和II型以上系统的kv= ，所以有如下结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。)() 1(lim1zGzkzv（3）单位加速度输入时的稳态误差）单位加速度输入时的稳态误差azzzkTzGzTzzzTzGzzEze2

14、2123211)() 1(lim) 1(2) 1()(1) 1(lim)() 1(lim)(式中 称为静态加速度误差系数。)() 1(lim21zGzkza 由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常值，III型及III型以上系统的 ka=,因此有如下结论成立： 0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。 在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点

15、在z平面的分布也有密切的关系。零、极点分布的关系零、极点分布的关系 设闭环系统的脉冲传递函数为nnnnnmmmmmazazazazabzbzbzbzbzNzMz122110122110)()()（式中m0时， （若令 ） akTikiiieApAkTy)(ipTaln1动态过程为按指数规律变化脉冲序列。pi 1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，动态响应为振荡脉冲序列； 若| pk |=1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列； 若| pk |1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且| pk |越小,即复极点越靠近原点,振荡收敛越快；

16、闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关系，如图7-27所示图7-27 复数极点分布与响应的关系 通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点。 当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为kT。若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡角频率为T。为了使采样系统具有较为满意的暂态响应，其z传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置。 在线性连续系统中采用的，根据一对主导极点分析系统暂态响应的方法，也可以推广到采样系统

17、。 综上所述,离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故动态过程质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆内时,由于输出衰减高频振荡脉冲,故动态过程性能欠佳。 因此因此,在离散系统设计时在离散系统设计时,应把闭环极点安置在应把闭环极点安置在z平面的右半单位圆内平面的右半单位圆内,且尽量靠近极点。且尽量靠近极点。例例-20 若系统结构如图7-28所示，试求其单位阶跃响应的离散值，并分析系统的动态性能。采样周期T=0.2秒。图7-28 例7-20系统结构图 解：解：系统的闭环脉冲传递函数为0173. 06048. 07728. 001

18、98. 04990. 03805. 0)(232zzzzzz当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z1)，输出量的z变换为：10173. 06408. 07728. 00198. 04990. 03805. 0)()()(232zzzzzzzzRzzY0173. 05875. 03776. 17728. 10198. 04490. 03805. 023423zzzzzzz利用长除法得1413121110987654321005. 1960. 0942. 0989. 0079. 1118. 1025. 1842. 0760. 0945. 0313. 1488. 1124. 1381. 0)(zzzzzzzzzzzzzzzY基于z变换定义，由上式求