第二章 逻辑代数基础ppt课件

1、目目 录录2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 逻辑代数中的三种根本运算逻辑代数中的三种根本运算2.3 2.3 逻辑代数的根本公式和常用公式逻辑代数的根本公式和常用公式2.4 2.4 逻辑代数的根本定理逻辑代数的根本定理2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.7 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简本章重点和难点本章重点和难点v 逻辑代数的根本公式、常用公式逻辑代数的根本公式、常用公式v 逻辑代数重要定理逻辑代数重要定理v 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v 化简逻辑函数的方法化简逻辑

2、函数的方法前往前往1 1、根本概念、根本概念逻辑：事物的因果关系逻辑：事物的因果关系逻辑运算：当逻辑运算：当0 0和和1 1表示逻辑形状时，两个二进制数表示逻辑形状时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进展的运算，逻辑运算码按照某种特定的因果关系进展的运算，逻辑运算运用的数学工具是逻辑代数。运用的数学工具是逻辑代数。逻辑代数：与普通代数不同之处是逻辑代数中的变逻辑代数：与普通代数不同之处是逻辑代数中的变量只需量只需0 0和和1 1两个可取值，它们分别用来表示完全两两个可取值，它们分别用来表示完全两个对立的逻辑形状，在逻辑代数中，有与、或、非个对立的逻辑形状，在逻辑代数中，有与、或、非三种根本

3、的逻辑运算。三种根本的逻辑运算。逻辑运算的描画方式逻辑运算的描画方式: :逻辑代数表达式、真值表、逻逻辑代数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描画言语辑图、卡诺图、波形图和硬件描画言语HDL) HDL) 等。等。前往前往或或OROR非非NOTNOT(a)(b)(c)图图(a)(a)中，中，A A、B B同时闭合，指示灯亮；同时闭合，指示灯亮；图图(b)(b)中，中，A A、B B任一个闭合，指示灯亮；任一个闭合，指示灯亮；图图(c)(c)中，中，A A闭合，指示灯灭，闭合，指示灯灭，A A断开，指示灯亮。断开，指示灯亮。前往前往前往前往逻辑与真值表逻辑与真值表图形符号图形符号前往前往

4、规那么：有规那么：有0 0为为0 0，全，全1 1为为1 1开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表逻辑或真值表逻辑或真值表图形符号图形符号前往前往规那么：有规那么：有1 1为为1 1，全，全0 0为为0 0开 关A 开 关B灯Y断 开 断 开断 开 闭 合闭 合 断 开闭 合 闭 合灭亮亮亮功能表功能表逻辑表达式：逻辑表达式：Y=AY=A=NOT A=NOT A逻辑非真值表逻辑非真值表图形符号图形符号前往前往规那么：取反规那么：取反开关 A灯 Y断开闭合亮灭功能表功能表ABY 逻辑表达式：逻辑表达式：几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算A

5、BY0 00 11 01 11110 真值表1 1、与非、与非逻辑与非真值表逻辑与非真值表图形符号图形符号规那么：一样取反，不同取规那么：一样取反，不同取高高前往前往2 2、或非、或非BAY逻辑表达式：逻辑表达式：A BY0 00 11 01 11000 真值表逻辑或非真值表逻辑或非真值表图形符号图形符号规那么：一样取反，不同取规那么：一样取反，不同取低低前往前往3 3、异或、异或逻辑表达式：逻辑表达式：BABABAY逻辑异或真值表逻辑异或真值表图形符号图形符号规那么：一样取低，不同取规那么：一样取低，不同取高高前往前往4 4、同或、同或逻辑表达式：逻辑表达式：逻辑同或真值表逻辑同或真值表图形

6、符号图形符号规那么：一样取高，不同取规那么：一样取高，不同取低低前往前往5 5、与或非、与或非逻辑表达式：逻辑表达式：CDABY图形符号图形符号前往前往(1) 10100011和和00001111相与：相与：例例1 1：求以下逻辑运算结果。：求以下逻辑运算结果。(2) 10101100和和00001111相或：相或：0000001110101111(3) 10101100的非运算：的非运算：01010011(4) 10101100和和00001111异或：异或：10100011(6) 10101100和和00001111与非：与非：11110011(5) 10101100和和00001111同

7、或：同或：01011100前往前往1 1写出写出1010010110100101与与1111000011110000的加法运算的加法运算结果以及逻辑与、逻辑或、逻辑异或和逻辑结果以及逻辑与、逻辑或、逻辑异或和逻辑与非的结果。与非的结果。思索题思索题12 2写出写出1010101010101010的逻辑非运算结果。的逻辑非运算结果。前往前往1 1、根本公式、根本公式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 1 1 = 0 0; 0 0= 1 110 0 A = 0 0111 1 + A= 1 121 1 A = A120 0 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 0 0

8、14A + A = 1 15A B = B A15A +B = B + A6A (B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A前往前往其中：其中：v (1) (1)、(2)(2)、(11)(11)、(12)(12)称称 “0101律，给出了律，给出了变量与常量间的运算规那么；变量与常量间的运算规那么；v(5)(5)、(15)(15)称称“交换律，交换律，v (6) (6)、(16)(16)称称“结合

9、律，结合律，v (7) (7)、(17)(17)称称“分配律，是和普通代数类似的分配律，是和普通代数类似的定律。定律。v(4)(4)、(14)(14)称称“互补律，互补律，v (3) (3)、(13)(13)称称“重叠律，重叠律，v (8) (8)、(18)(18)称称“反演律，是特殊定律；反演律，是特殊定律；v(9)(9)称称“复原律，复原律，v (10) (10)是对是对0 0和和1 1的求反运算。的求反运算。前往前往例例2 2：请对公式：请对公式1717进展证明进展证明解解1：右边右边=(A+B)(A+C)=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC=左边左边前往前往公式推演

10、法公式推演法ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000 00 00 00 00 00010010 00 00 01 10 00100100 00 01 10 00 00110111 11 11 11 11 11001000 01 11 11 11 11011010 01 11 11 11 11101100 01 11 11 11 11111111 11 11 11 11 1解解2： 真值表法真值表法A+BC(A+B)(A+C)=前往前往序序 号号公公 式式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) =

11、A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2 2、假设干常用公式、假设干常用公式前往前往例例3 3：证明：证明A + A B = AA + A B = A证明：证明：BAA)1 (BAAA1前往前往阐明：在两个乘积项相加时，假设其中一项以另一阐明：在两个乘积项相加时，假设其中一项以另一项为因子，那么该项是多余的，可以删去。项为因子，那么该项是多余的，可以删去。原变量吸收公式原变量吸收公式例例4 4：证明：证明A + AA + AB = A+BB = A+B证明：证明：B

12、AA )()(BAAA)(1BA)(BA阐明：两个乘积项相加时，假设一项取反后是另一阐明：两个乘积项相加时，假设一项取反后是另一项的因子，那么此因子是多余的，可以消去。项的因子，那么此因子是多余的，可以消去。反变量吸收公式反变量吸收公式前往前往例例5 5：证明：证明AB + ABAB + AB = A = A证明：证明：BABA)(BBAAA1阐明：两个乘积项相加时，假设它们分别包含阐明：两个乘积项相加时，假设它们分别包含B和和B两个因子而其他因子一样，那么两项定能合并，两个因子而其他因子一样，那么两项定能合并，且可将且可将B和和B两个因子消去。两个因子消去。互反变量吸收公式互反变量吸收公式前

13、往前往例例6 6：证明：证明A(A+B) = AA(A+B) = A证明：证明：BAABAAABAA)(AABA1)1 (阐明：变量阐明：变量A和包含和包含A的和相乘时，其结果等于的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。即可以将和消掉。前往前往例例7 7：证明：证明AB+AAB+AC+BC=AB+AC+BC=AB+AC C证明：证明：)(AACBCABACBCABA CBACBACABA )1 ()1 (BCACBA CABA 阐明：假设两个乘积项中分别包含阐明：假设两个乘积项中分别包含A和和A两个因两个因子，而这两个乘积项的其他因子组成第三个乘积项子，而这两个乘积项的其他因子组成第三个乘积

14、项时，那么第三个乘积项是多余的，可以消去。时，那么第三个乘积项是多余的，可以消去。混合变量吸收公式混合变量吸收公式可以导出：可以导出：AB+AAB+AC+BCD=AB+AC+BCD=AB+AC C前往前往前往前往例例8 8：证明：证明A(AB)A(AB)=AB=AB证明：证明：BABAAABAABAA)()(阐明：当阐明：当A和一个乘积项的非相乘，且和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项为乘积项的因子时，那么的因子时，那么A这个因子可以消去。这个因子可以消去。例例9 9：证明：证明A A(AB)(AB)=A=A证明：证明：ABABAAABAABAA )1 ()()(阐明：当阐明：当A和一个乘积项的

15、非相乘，且和一个乘积项的非相乘，且A为乘积为乘积项的因子时，其结果就等于项的因子时，其结果就等于A。前往前往2.4.1 2.4.1 代入定理代入定理在任何一个包含在任何一个包含A A的逻辑等式中，假设以另外的逻辑等式中，假设以另外一个逻辑式代入式中一个逻辑式代入式中A A的位置，那么等式依然的位置，那么等式依然成立。成立。含义：含义：前往前往例例1010：用代入定理证明式：用代入定理证明式1717适用于多变量的情况。适用于多变量的情况。A+BC = (A+B)(A+C)A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)解：解：例例1111：用代入定理证明德：用代入定理

16、证明德. .摩根定理也适用于多变量摩根定理也适用于多变量的情况。的情况。解：解： 二变量的德二变量的德. .摩根定理为摩根定理为(A B) = A+ B(A+ B) = AB将将(B+C)(B+C)代入等式代入等式(2)(2)中中B B的位置的位置(1)(2)将将(BC)(BC)代入等式代入等式(1)(1)中中B B的位置的位置(A+(B+C)=A(B+C)=A B C(A(BC)=A+(BC)=A+B+C前往前往留意：对复杂逻辑式进展运算时，需遵守与普通代数留意：对复杂逻辑式进展运算时，需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次

17、算乘法，最后算加法。乘法，最后算加法。原变量反变量反变量原变量，01102.4.2 2.4.2 反演定理反演定理对于恣意一个逻辑式对于恣意一个逻辑式Y Y，假设将其中一切的：，假设将其中一切的：那么那么: :得到的结果就是得到的结果就是Y Y。含义：含义：运算规那么：运算规那么：v遵照遵照“先括号，然后乘，最后加的运算优先次序；先括号，然后乘，最后加的运算优先次序；v不属于单个变量的上的反号保管不变。不属于单个变量的上的反号保管不变。前往前往运用：运用： 为求取知逻辑式的反逻辑式提供方便。为求取知逻辑式的反逻辑式提供方便。)(DCCBAYCDCBAY)(DCBDACBCA例例1212：知：知Y

18、=A(B+C)+CDY=A(B+C)+CD，用反演定理求，用反演定理求Y Y。解：解：根据反演定理可以写出根据反演定理可以写出知：知：前往前往德德. .摩根定律那么是反演定理的一个特例。摩根定律那么是反演定理的一个特例。n n变量逻辑函数反演律：变量逻辑函数反演律： Y=A1+A2+A3+.+AnY= (A1+A2+A3+.+An)= A1 A2 A3.An那那么：么：DACBCA例例1313：假设：假设Y=(ABY=(AB+C)+C)+D)+D)+C+C，用反演定理求，用反演定理求Y Y。解：解： 知知:Y=(AB+C)+D)+C根据反演定理可以写出根据反演定理可以写出:Y=( A + B

19、) C ) D ) C前往前往2.4.3 2.4.3 对偶定理对偶定理含义：含义：假设两逻辑式相等，那么它们的对偶式也相假设两逻辑式相等，那么它们的对偶式也相等。等。对于恣意一个逻辑式对于恣意一个逻辑式Y Y，假设将其中的：，假设将其中的：，0110得到一个新的逻辑式得到一个新的逻辑式YD，称为，称为Y的对偶式，或的对偶式，或者说者说Y与与YD互为对偶式。互为对偶式。如：如：Y=A(B+C)Y=(AB+CD)Y=AB+(C+D)那那么：么：YD=A+BCYD=(A+B)(C+D)YD=(A+B)(CD)前往前往运用：证明两个逻辑式相等。运用：证明两个逻辑式相等。例例1414：证明恒等式：证明恒

20、等式A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)解：解： 运用对偶定理来证明运用对偶定理来证明A+BC = A (B+C) = AB+AC(A+B) (A+C) = AB+AC前往前往证明等式的方法：证明等式的方法：v 真值表法真值表法v 根本公式推导法根本公式推导法v 根本定理根本定理( (代入定理、反演定理、对偶定理代入定理、反演定理、对偶定理) )例例1515：证明：证明A A+BC=A+BC=AC C+A+AB B+BC+A+BC+AC CD D解：解： 右右=AC+AB+BC+ACD=AC(1+D)+AB+BC=AC +AB+BC=A(C+B)+BC=A(BC)+BC

21、=(A+BC)(BC)+BC)=A+BC德德. .摩根定律摩根定律分配律分配律结合律结合律前往前往例例1616：证明：证明ABC+ABABC+ABC+ABCC+ABC=AB+AC=AB+AC解：解：左左= ABC+ABC+ABC+ABC=AB(C+C)+ABC+ABC=AB(C+C)+AC(B+B)=AB+AC前往前往2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.1 2.5.1 逻辑函数逻辑函数假设以逻辑变量为输入，运算结果为输出，假设以逻辑变量为输入，运算结果为输出，那么输入变量值确定以后，输出的取值也随那么输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。即：输入之而定。即：输入

22、/ /输出之间是一种函数关系。输出之间是一种函数关系。含义：含义：Y=F (A,B,C,)前往前往如：举重裁判电路。如：举重裁判电路。AC灯灯电源电源B竞赛规那么规定：在一名主裁判和两名副裁判中，必竞赛规那么规定：在一名主裁判和两名副裁判中，必需有两人以上必需包括主裁判认定运发动的动作需有两人以上必需包括主裁判认定运发动的动作合格，试举才算胜利。主裁判掌握着开关合格，试举才算胜利。主裁判掌握着开关A，两名副裁，两名副裁判掌握开关判掌握开关B和和C。运发动举起杠铃，裁判以为动作合。运发动举起杠铃，裁判以为动作合格就合上开关，否那么不合。格就合上开关，否那么不合。指示灯指示灯Y是开关是开关A、B、

23、C的二值逻辑函数：的二值逻辑函数：Y=F(A，B，C)前往前往2.5.2 2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法各种表示方法之间可以相互转换。各种表示方法之间可以相互转换。前往前往输入变量输入变量A B CA B C输出输出Y Y1 1 Y Y2 2 遍历所有可能的输遍历所有可能的输入变量的取值组合入变量的取值组合输出对应的取值输出对应的取值1 1、逻辑真值表、逻辑真值表 将输入变量一切的取值下对应的输出值找出来，将输入变量一切的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。列成表格，即可得到真值表。前往前往n n个变量，那么为个变量，那么为2n2n个组合。个组合。abcdAB

24、如：楼道开关表示图如：楼道开关表示图开关开关 A灯灯下下下下上上下下上上下下上上上上亮亮灭灭灭灭亮亮开关开关 B开关形状表开关形状表A、B: 向上向上1 向下向下-0 L : 亮亮-1; 灭灭-0确定变量、函数，并赋值确定变量、函数，并赋值开关开关: : 变量变量 A A、B B灯灯 : : 函数函数 L L 逻辑真值表逻辑真值表ABL001100010111前往前往例例1717：试列出之前举重裁判电路的逻辑真值表。：试列出之前举重裁判电路的逻辑真值表。AC灯灯电源电源B 输入输入A B CA B C输出输出 Y Y0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1

25、11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 11 - 开封锁合开封锁合0 - 开关断开开关断开1 - 灯亮灯亮0 - 灯灭灯灭前往前往2 2、逻辑函数式、逻辑函数式 将输入将输入/ /输出之间的逻辑关系用与输出之间的逻辑关系用与/ /或或/ /非的运算非的运算式表示就得到逻辑代数式，即逻辑函数式。式表示就得到逻辑代数式，即逻辑函数式。表示方法：表示方法：(1)(1)找出真值表中使找出真值表中使Y=1Y=1的输入变量组合；的输入变量组合；(2)(2)每组输入变量组合对应一个乘积项每组输入变量组合对

26、应一个乘积项“与运算与运算 其中：其中：1-1-原变量，原变量，0-0-反变量；反变量；(3)(3)将这些乘积项相加将这些乘积项相加“或运算，那么得或运算，那么得Y Y。前往前往法一：由真值表写逻辑函数式法一：由真值表写逻辑函数式法二：直接根据电路功能的要求和与、或的逻辑定法二：直接根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义得义得Y Y。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1ABCABCABCABCABCCABCBABCAY 例例18 18 ：用法一将以下图所示真值表转换为逻辑函数：用法一将以下图所示真值表转换为

27、逻辑函数式。式。前往前往例例1919：写出举重裁判电路的逻辑函数式。：写出举重裁判电路的逻辑函数式。法法1： Y=ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB(C+C)+ABC+ABC=AB(C+C)+AC(B+B)=AB+AC=A(B+C)解：解：法法2：“B、C至少有一个合上，表示为至少有一个合上，表示为(B+C)“同时还要求合上同时还要求合上A，那么应写作，那么应写作A(B+C)所以，逻辑函数式：所以，逻辑函数式：Y=A(B+C)前往前往3 3、逻辑图、逻辑图 将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以

28、画出表示函数辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图。关系的逻辑图。前往前往如：如：)(CBAY 那么：那么：4 4、波形图、波形图 将逻辑函数输入变量每一种能够出现的取值与将逻辑函数输入变量每一种能够出现的取值与对应的输出值按时间顺序陈列起来画成时间波形，对应的输出值按时间顺序陈列起来画成时间波形，其中其中0表示低电平，表示低电平，1表示高电平。表示高电平。如：如：前往前往5 5、各种表示方法间的相互转换、各种表示方法间的相互转换(1)(1)真值表与逻辑函数式的相互转换真值表与逻辑函数式的相互转换v找出真值表中使找出真值表中使Y=1Y=1的输入变量组合；的输入变量组合；v每组

29、输入变量组合对应一个乘积项每组输入变量组合对应一个乘积项“与运算与运算v 其中：其中：1-1-原变量，原变量，0-0-反变量；反变量；v将这些乘积项相加将这些乘积项相加“或运算，那么得或运算，那么得Y Y。真值表真值表 逻辑函数式逻辑函数式逻辑函数式逻辑函数式 真值表真值表v把输入变量取值的一切组合逐个代入逻辑式中求把输入变量取值的一切组合逐个代入逻辑式中求出函数值，列表。出函数值，列表。前往前往例例2020：知一个奇偶判别函数的真值表如左以下图所示，：知一个奇偶判别函数的真值表如左以下图所示，试写出它的逻辑函数式。试写出它的逻辑函数式。AB CY 0 000 0 010 0 100 0 11

30、1 1 000 1 011 1 101 1 110解：解：A=0,B=1,C=1使使Y=1A=1,B=0,C=1使使Y=1A=1,B=1,C=0使使Y=1且：且：Y = ABC=1且：且：Y = ABC=1且：且：Y = ABC =1前往前往Y=ABC+ABC+ABC所以：所以：例例2121：知逻辑函数：知逻辑函数Y=A+BY=A+BC+AC+ABCBC，求它对应的，求它对应的真值表。真值表。解：解：将将A、B、C各种取值逐一代入各种取值逐一代入Y式中计算，将式中计算，将计算结果列表。计算结果列表。A B CBCABCY0 0 00000 0 11010 1 00110 1 10001 0 0

31、0011 0 11011 1 00011 1 1001前往前往(2) (2) 逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图 逻辑函数式逻辑函数式 用逻辑图形符号替代逻辑函数式中的逻辑运算用逻辑图形符号替代逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们衔接起来，就得到所符号并按运算优先顺序将它们衔接起来，就得到所求逻辑图。求逻辑图。 从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，可在输出端得到所求逻辑函数符号的输出逻辑式，可在输出端得到所求逻辑函数式。式。前往前往例例2222：知逻辑函

32、数为：知逻辑函数为Y=(AB+BY=(AB+BC)C)+A+ABCBC，画出对，画出对应的逻辑图。应的逻辑图。对应的逻辑图为：对应的逻辑图为：ABCBBCACBAB &C1A1 1 1B&1 1 Y解：解：Y=(AB+BC)+ABCY=(AB+BC)+ABC前往前往例例2323：知函数的逻辑图如以下图所示，试求它的逻：知函数的逻辑图如以下图所示，试求它的逻辑函数式。辑函数式。逻辑图为：逻辑图为：解：解：)( BAB)(BAA)()(BABABABABABABABABA)()()(逻辑函数式为：逻辑函数式为：前往前往(3) (3) 波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换

33、波形图波形图 真值表真值表真值表真值表 波形图波形图 从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到所求真值表。就得到所求真值表。 将真值表中一切的输入变量与对应的输出变量将真值表中一切的输入变量与对应的输出变量取值依次陈列画成以时间为横轴的波形，就得到所取值依次陈列画成以时间为横轴的波形，就得到所求波形图。求波形图。前往前往例例2424：见书：见书p34p34。例例2525：知：知A A、B B、C C三个变量，当它们取值包含奇数个三个变量，当它们取值包含奇数个

34、1 1时，输出变量时，输出变量Y Y为为1 1，否那么输出均为，否那么输出均为0 0，试求该逻，试求该逻辑函数真值表、逻辑函数式和逻辑图，并由辑函数真值表、逻辑函数式和逻辑图，并由A A、B B、C C波形画出波形画出Y Y波形。波形。解：解：(1)(1)真值表为真值表为A B CY0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11前往前往(2)(2)逻辑函数式为逻辑函数式为Y=ABC+ABC+ABC+ABC=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A(B C)+A(B C)=A(B C)+A(B C)=A B C前往前往(3)(3)逻辑图为逻辑图为前

35、往前往(4)(4)波形图波形图见书见书p34p342.5.3 2.5.3 逻辑函数的两种规范方式逻辑函数的两种规范方式两种规范方式两种规范方式最小项之和最小项之和最大项之积最大项之积前往前往1 1、最小项、最小项(1) (1) 含义：含义： 在在n变量逻辑函数中，变量逻辑函数中，m为包含为包含n个因子的乘个因子的乘积项，而且这积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的方式个变量均以原变量或反变量的方式在在m中出现一次，称中出现一次，称m为该组变量的最小项。为该组变量的最小项。前往前往两变量两变量A, B的最小项的最小项ABBABABA,三变量三变量A,B,C的最小项的最小项例如：例如：ABCCA

36、BCBACBABCACBACBACBA,4个个8个个对于对于n变量函数，有变量函数，有2n个最小项。个最小项。所以：所以： 同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于最小项的值等于1。(详见下表详见下表)最小项最小项取值取值对应对应编号编号A B C 十进制数十进制数ABC 0 0 00m0ABC0 0 11m1ABC0 1 02m2ABC0 1 13m3ABC1 0 04m4ABC1 0 15m5ABC1 1 06m6ABC1 1 17m7前往前往同理，同理，4 4个变量的个变量的1616个最小项记作个最小项记作m0m15m0m15。(2)

37、 (2) 最小项性质最小项性质v对于恣意一个最小项，只需一组变量取值使得它的值对于恣意一个最小项，只需一组变量取值使得它的值为为1；v对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1 ；v对于变量的任一组取值，任何两个最小项之积为对于变量的任一组取值，任何两个最小项之积为0 ；v两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。留下公共因子。两个最小项只需一个因子不同，称这两个最两个最小项只需一个因子不同，称这两个最小项具有相邻性。小项具有相邻性。相邻：相邻：BACCBABCACBA)(如：如：ABC与与AB

38、C具有相邻具有相邻性性所以：所以：前往前往2 2、最大项、最大项(1) (1) 含义：含义： 在在n变量逻辑函数中，假设变量逻辑函数中，假设M为为n个变量之和，个变量之和，而且这而且这n个变量均以原变量或反变量的方式在个变量均以原变量或反变量的方式在M中出中出现一次，称现一次，称M为该组变量的最大项。为该组变量的最大项。两变量两变量A, B的最大项的最大项三变量三变量A,B,C的最大项的最大项例如：例如：4个个8个个BABABABA,CBACBACBACBACBACBACBACBA,前往前往对于对于n变量函数，有变量函数，有2n个最大项。个最大项。所以：所以： 同时，输入变量的每一组取值都使一

39、个对应的同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于最大项的值等于0。(详见下表详见下表)三变量最大项编号表三变量最大项编号表最大项最大项取值取值对应对应编号编号A B C十进制数十进制数A+B+C0 0 00M0A+B+C0 0 11M1A+B+C0 1 02M2A+B+C0 1 13M3A+B+C1 0 04M4A+B+C1 0 15M5A+B+C1 1 06M6A+B+C1 1 17M7同理，同理，4 4个变量的个变量的1616个最小项记作个最小项记作m0m15m0m15。前往前往(2) (2) 最大项性质最大项性质v在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的在输入变量任一取值

40、下，有且仅有一个最大项的值为值为0；v全体最大项之积为全体最大项之积为0；v任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1；v只需一个变量不同的最大项的乘积等于各一样变只需一个变量不同的最大项的乘积等于各一样变量之和。量之和。CCCBACBABABACBACBA)()()()(如：如：A+B+C与与A+B+C两个最大项只需一个变量不两个最大项只需一个变量不同同所以：所以：CBACBABA)()()()()1)(BACCBA前往前往3 3、逻辑函数的最小项之和方式、逻辑函数的最小项之和方式 将给定的逻辑函数式化为假设干乘积项之和的方将给定的逻辑函数式化为假设干乘积项之和的方式亦称式亦称“积之和方式，

41、然后利用根本公式积之和方式，然后利用根本公式A+A=1将每个乘积项中短少的因子补全，这样就可将每个乘积项中短少的因子补全，这样就可以将与或的方式化为最小项之和的规范方式。以将与或的方式化为最小项之和的规范方式。例如：例如：BCCABCBAY),()(AABCCABBCAABCCAB)7 , 6 , 3(m知知Y(A,B,C)=ABC+BC，求其最小项之和的方式。，求其最小项之和的方式。那么可化为：那么可化为：前往前往例例2626：知：知Y=ABY=AB+BC+BC+ABC+ABC，求其最小项之和的方式。，求其最小项之和的方式。解：解：Y=AB+BC+ABC=AB(C+C)+BC(A+A)+AB

42、C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=m5+m4+m6+m2+m7)7 , 6 , 5 , 4 , 2(m前往前往例例2727：知：知Y=ABY=ABC CD+AD+ACD+ACCD+AC，求其最小项之和的方，求其最小项之和的方式。式。解：解：Y=ABCD+ACD+AC=ABCD+ACD(B+B)+AC(B+B)(D+D)=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=m9+m7+m3+m15+m14+m11+m10)15,14,11,10, 9 , 7 , 3(m前往前往思索题思索题2知：知：Y=ABCD+BCD+BC，求其展开为最，求其展开为最小项之和的方式。

43、小项之和的方式。前往前往4 4、逻辑函数的最大项之积方式、逻辑函数的最大项之积方式 将给定的逻辑函数式化为假设干多项式的或与方将给定的逻辑函数式化为假设干多项式的或与方式亦称式亦称“和之积方式，然后利用根本公式和之积方式，然后利用根本公式AA=0将每个多项式中短少的变量补全，这样就可将每个多项式中短少的变量补全，这样就可以将函数式的或与的方式化为最大项之积的规范方式。以将函数式的或与的方式化为最大项之积的规范方式。例如：例如：知知Y(A,B,C)=AB+AC，化为最大项之积的方式。，化为最大项之积的方式。那么可化为：那么可化为： Y=AB+AC=(AB+A)(AB+C)=(A+A)(B+A)(

44、A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)(B+C)前往前往=(A+B+CC)(A+BB+C)(AA+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) (A+B+C)6 , 4 , 1 , 0(M=M0 M1 M4 M6Y=(A+B)(A+C)(B+C)前往前往2.5.4 2.5.4 逻辑函数方式的变换逻辑函数方式的变换 任何一个逻辑函数任何一个逻辑函数Y都遵守公式都遵守公式Y+Y=1,又由又由于全部最小项之和恒等于于全部最小项之和恒等于1，所以不包含在，所以不包含在Y中的那中的那些最小项之和就是些最小项之

45、和就是Y。 之前的内容中，可以经过运算将给定的与或方之前的内容中，可以经过运算将给定的与或方式或或与方式逻辑函数式变换为最小项之和或最大式或或与方式逻辑函数式变换为最小项之和或最大项之积的方式。项之积的方式。 假设在实践运算中，遭到器件的限制，只能用假设在实践运算中，遭到器件的限制，只能用与或非或其他功能的门电路来实现逻辑函数式，就与或非或其他功能的门电路来实现逻辑函数式，就需求用到逻辑函数方式的变换。需求用到逻辑函数方式的变换。变换要点：变换要点：前往前往例：见书例：见书p38。化简方法：化简方法：v 公式化简法公式化简法v 适用于编制计算机辅助分析程序的适用于编制计算机辅助分析程序的Q-M

46、法。法。v 卡诺图化简法卡诺图化简法前往前往 根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，可根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，可节省器节省器 件，降低本钱，提高任务的可靠性。件，降低本钱，提高任务的可靠性。化简意义：化简意义：化简规范化简规范(最简的与或表达式最简的与或表达式)v 乘积项的个数最少乘积项的个数最少(与门的个数少与门的个数少;v 每个乘积项中包含的变量数最少与门的输入端每个乘积项中包含的变量数最少与门的输入端个数少。个数少。 1 A B C 1 L & & 1 L=B+C B C 1 1 BCBBB)(AL CBL BCBBBBAL BC1)(ABL BCBL B)

47、(A BBCBB)(A BCBBB)(A 化简后使电路简单，可靠性提高。化简后使电路简单，可靠性提高。前往前往2.6.1 2.6.1 公式化简法公式化简法反复运用逻辑代数的根本公式和常用公式，消反复运用逻辑代数的根本公式和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子。去函数式中多余的乘积项和多余的因子。原理：原理：方法：方法： v合并项法合并项法 AB+AB=Av吸收法吸收法v消项法消项法v配项法配项法v其他常用公式其他常用公式A+AB=AA+AB=(A+A)(A+B)=A+B A+A=1A+A=AAA=0A+BC=(A+B)(A+C)(A+B)=AB(AB)=A+B前往前往AB+AC=AB

48、+AC+BC留意：留意： (1)A、B、C都可以是复杂逻辑式都可以是复杂逻辑式(2)普通将表达式转化为普通将表达式转化为“与或方式与或方式前往前往例例2828：写出以下逻辑函数式的化简结果。：写出以下逻辑函数式的化简结果。(1) Y1=AB+(A+C)B+AC(2) Y2=AB+BC+AB+AC(3) Y3=AB+AC+BC+AD(4) Y4=ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BC解：解： (1) Y1=AB+(A+C)B+AC=AB+(AC)B+AC=AB+(AC)+AC)(AC+B)=AB+AC+B=(A+B)(B+B)+AC=A+B+AC=A+B前往前往解：解： (2) Y2=AB

49、+BC+AB+AC=AB+BC+AC+AB+AC=AB+BC+AB+AC+AC=AB+BC+AB+A=A+BC+AB=(A+A)(A+B)+BC=A+B+BC=A+B前往前往另解：另解：(2) Y2=AB+BC+AB+AC=AB+B(A+C)+AC=AB+B(AC)+AC=AB+(AC+B)(AC+(AC)=AB+AC+B=(A+B)(B+B)+AC=A+B+AC=A(1+C)+B=A+B前往前往解：解： (3) Y3=AB+AC+BC+AD=A(B+C)+BC+AD=A(B+C)+BC+AD=A(BC)+BC+AD=A(BC)+BC+AD=A+BC+AD=A+D+BC前往前往解：解：(4)

50、Y4=ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BC=ABC+ABD+BCD+BD+BC=ABC+BD+BCD+BC=B(AC+C)+B(D+CD)=B(A+C)+B(D+C)=AB+BC+BD+BC=AB+BD+B=AB+B=B前往前往2.6.2 2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法1 1、逻辑函数的卡诺图表示法、逻辑函数的卡诺图表示法本质：本质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来。出来。以以2n2n个小方块分别代表个小方块分别代表n n变量的一切最小项，变量的一切最小项，并将它们陈列成矩阵，而且使几何位置相邻并将它们陈列成矩阵，而且使几何位置相邻

51、的两个最小项在逻辑上也是相邻的只需一的两个最小项在逻辑上也是相邻的只需一个变量不同，就得到表示个变量不同，就得到表示n n变量全部最小项变量全部最小项的卡诺图。的卡诺图。方法：方法：几何相邻性几何相邻性逻辑相邻性逻辑相邻性前往前往二变量的卡诺图二变量的卡诺图三变量的卡诺图三变量的卡诺图四变量的卡诺图四变量的卡诺图前往前往五变量的卡诺图五变量的卡诺图 图形两侧标注的图形两侧标注的0和和1表示使对应小方格内的最表示使对应小方格内的最小项为小项为1的变量取值，同时，这些的变量取值，同时，这些0和和1组成的二进制组成的二进制数所对应的十进制数大小也就是对应的最小项的编号。数所对应的十进制数大小也就是对

52、应的最小项的编号。前往前往方法：逻辑函数包含有哪几个最小项，就在卡诺图相方法：逻辑函数包含有哪几个最小项，就在卡诺图相对应的方格内填对应的方格内填1 1，其他各方格填，其他各方格填0 0。例如画出逻辑函数例如画出逻辑函数 的卡诺图的卡诺图 7 ,6 ,5 ,3m)C,B,A(F根据最小项逻辑表达式画卡诺图根据最小项逻辑表达式画卡诺图。 00 01 11 10 0 1 A BC m0m0m3m3m2m2m4m4m6m6m5m5m7m7m1m11 10 00 00 01 11 11 10 0前往前往用卡诺图表示逻辑函数的方法：用卡诺图表示逻辑函数的方法：1 1、将逻辑函数化为最小项表达式；、将逻辑

53、函数化为最小项表达式；2 2、填写卡诺图。、填写卡诺图。例例2929：用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：Y=AY=AB+AB+AB BC C+AC+AC解：解：(1) (1) 将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式Y=AB+ABC+AC=AB(C+C)+ABC+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC0,2,3,4,6) m(2) (2) 填写卡诺图。填写卡诺图。 。 00 01 11 10 0 1 A BC L Lm0m0m3m3m2m2m4m4m6m6m5m5m7m7m1m11 11 11 11 11 10 00 00 0前往前往 ),(m151310

54、60 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 0 00 00 00 00 0例例3030：画出下式的卡诺图：画出下式的卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解：解： (1)(1)将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式(2)(2)填写卡诺图填写卡诺图Y=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)Y=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)Y=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD前往前往2 2、用卡诺图化简逻辑函数、用卡诺图化简逻辑函数根

55、据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。根据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。反映出来。DABDADBA DBACDBADCBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 前往前往3 3、假设八个最小项相邻并陈列成一个矩形组，、假设八个最小项相邻并陈列成一个矩形组， 那么可合并为一项并消去三个变量。那么可合并

56、为一项并消去三个变量。合并最小项的原那么：合并最小项的原那么：1 1、假设两个最小项相邻，、假设两个最小项相邻， 那么可合并为一项并消去一个变量。那么可合并为一项并消去一个变量。2 2、假设四个最小项相邻并陈列成一个矩形组，、假设四个最小项相邻并陈列成一个矩形组， 那么可合并为一项并消去两个变量。那么可合并为一项并消去两个变量。即：假设有即：假设有2n2n个最小项相邻并陈列成一个矩形组，个最小项相邻并陈列成一个矩形组，那么他们可以合并为一项，并消去那么他们可以合并为一项，并消去n n个变量，合并个变量，合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。前往前往卡诺

57、图化简法的步骤：卡诺图化简法的步骤：v 将函数化为最小项之和的方式；将函数化为最小项之和的方式；v 画出表示该逻辑函数的卡诺图；画出表示该逻辑函数的卡诺图；v 找出可以合并的最小项；找出可以合并的最小项；v 选取化简后的乘积项；选取化简后的乘积项；选取原那么：选取原那么：v 化简后的乘积项应包含函数式的一切最小项，即覆化简后的乘积项应包含函数式的一切最小项，即覆盖图中一切的盖图中一切的1。v 乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。v 每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。前往前往画包围圈时应遵照的原那么：画包围圈时应遵照的

58、原那么：v 包围圈内的方格数一定是包围圈内的方格数一定是2n2n个，且包围圈必需呈个，且包围圈必需呈矩形。矩形。v 循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。角相邻。v 同一方格可以被不同的包围圈反复包围多次，但同一方格可以被不同的包围圈反复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。格。v 一个包围圈的方格数要尽能够多一个包围圈的方格数要尽能够多,包围圈的数目要包围圈的数目要能够少。能够少。前往前往例例3131：用卡诺图化简：用卡诺图化简( , , ,)(0,1,2,5,6,7,8,

59、9,13,14)L A B C Dm 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 1111111111DCCBDCADBC BCAL=CD+BC+ABC+ACD+BCD前往前往 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 011 1111111111110( , , ,)(03,5 7,811,1315)L A B C DmB 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 011 1111111111110CD圈圈0 0圈圈1 1前往前往L=B+C+DL=BCDL=B+C+DCBCBCACACBAY),(例例3333：

60、Y=AC+AC+BC+BC解：解：=AC(B+B)+AC(B+B)+BC(A+A)+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABCCBCABAABC前往前往法一：法一：用卡诺图化简该逻辑代数式。用卡诺图化简该逻辑代数式。ABCCBBACA前往前往法二：法二：CBCABACBBACA结论：卡诺图化简结果并不一定具有独一性，但应结论：卡诺图化简结果并不一定具有独一性，但应满足最简与满足最简与-或规范。或规范。前往前往DCACBADCDCAABDABCY 例例3434：用卡诺图化简该逻辑代数式。用卡诺图化简该逻辑代数式。解：解：先将上式化为最小项之和的方式。先将上式化为最小项之和的方式。Y=ABC+ABD+ACD