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文档简介
1、2020届福建省宁德市高三(5月份)高考模拟数学(文)试题一、单选题1已知集合A=|2x3,B=x|y=,则AB=( )Ax|1x3Bx|x2C1,2,3D2,3【答案】D【解析】分别求解集合,即可求出AB.【详解】由得,所以B=x|y=x|,又A=|2x3=2,1,0,1,2,3,AB=2,3.故选:D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题.2已知i是虚数单位,复数,则z的共轭复数( )ABCD【答案】B【解析】先计算,由共轭复数概念即可得.【详解】,.故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除数运算,共轭复数的概念,考查学生对基本概念的理解.3已知向量与的夹角为,|=2,|=1,则|
2、2|=( )A4B3C2D1【答案】C【解析】根据向量的数量积,向量的模的公式进行运算即可.【详解】向量与的夹角为,|=2,|=1,|2|2故选:C【点睛】本题主要考查了向量的数量积,向量的模的计算,考查了学生的运算求解能力.4设x,y满足约束条件,则z=2xy的最大值为( )A1B0C4D6【答案】C【解析】先作出可行域,结合图形求出z=2xy的最大值.【详解】x,y满足约束条件,画出可行域如图,由图知,当直线z=2xy过点时,z最大值为4.故选:C【点睛】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题,考查了数形结合的思想.5如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则
3、该几何体的表面积为( )AB CD【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图,可知该几何体为圆锥,圆锥的底面半径r=3,高h=4,代入表面积公式计算即可.【详解】由三视图还原原几何体如图,可知该几何体为圆锥,圆锥的底面半径r=3,高h=4.则圆锥的表面积为.故选:B【点睛】本题主要考查了三视图的计算,考查了圆锥的表面积公式,关键是能将三视图还原成几何体.6已知,则( )ABCD【答案】D【解析】由得,可得,再利用同角的三角函数的基本关系求出.【详解】,可得:,可得:,可得,.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式,同角的三角函数的基本关系式,考查了学生的运算求解公式.7干支是天干(
4、甲乙癸)和地支(子丑亥)的合称,“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年,即输入,执行该程序框图,运行相应的程序,输出,从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元年,则该年所对应的干支为( ) A己巳B庚午C壬戌D癸亥【答案】A【解析】模拟执行程序框图,即可求得输出结果,再结合表格,即可容易求得.【详解】模拟执行程序如下所示:,不满足,不满足,不满足,不满足,不满足,不满足,满足,输出.对照已知表格,故可得该年所对应的干支是己巳.故选:A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果,属基础题.8在四面体SABC中,SA平面A
5、BC,则该四面体的外接球的半径为( )A1BC2D4【答案】C【解析】由题知外接球的球心为过底面外接圆的圆心垂直于底面ABC的直线与中截面的交点O,先求出的外接圆的半径,再求出四面体外接球的半径,即可求出四面体的外接球的表面积.【详解】因为SA平面ABC,所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心垂直于底面ABC的直线与中截面的交点O,由,设的外接圆的半径为,则,所以,所以外接球的半径2,故选:C【点睛】本题主要考查了几何体的外接球的表面积的计算,考查了学生空间想象能力.9已知函数,,则( )ABCD【答案】D【解析】由题可得函数f(x)是偶函数,且在(0,+)上单调递增,又且分析即可得答案.【详解
6、】函数f(x)=e|x|,函数f(x)是偶函数,且在(0,+)上单调递增,又,.故选:D【点睛】本题主要考查了指数函数,对数函数的单调性,利用函数单调性比较函数值的大小,考查了转化与化归的思想.10已知函数的最小正周期为,且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数,则f(x)的图象( )A关于点对称B关于直线对称C在单调递增D在单调递减【答案】C【解析】由函数的最小正周期为,得,且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数,得,将选项代入验证即可得答案.【详解】f(x)的最小正周期为,T,得,此时,图象向右平移个单位后得到,若函数为偶函数,则,kZ,得,当时,则,则f(),故f(x)关于点不对称,故
7、A错误; f(),故关于直线不对称,故B错误;当x时,2x,2x,此时函数f(x)为增函数,故C正确;当x时,2x,2x,此时函数f(x)不单调,故D错误.故选:C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,三角函数的图象与性质,考查了学生的运算求解能力.11已知可导函数f(x)的定义域为,且满足,则对任意的,“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题可得函数f(x)关于直线x=2对称,且在单调递减,在单调递增,从充分性,必要性两方面分别说明得出对任意的,“”是“”的充要条件.【详解】f(x)满足f(x+4)=f(x),函数f(x)关
8、于直线x=2对称,则,时,函数f(x)单调递减;时,函数f(x)单调递增.先看充分性:若,符合,得;若,得即,若,则,不符合, 故对任意的,“”是“”的充分条件;再看必要性:若且,得,若,则得,有,若,则,则有,故对任意的,“”是“”的必要条件;综上,对任意的,“”是“”的充要条件故选:C【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性,函数图象的对称性,充要条件的判断,考查了分类讨论的思想.12已知双曲线C的两个顶点分别为A1,A2,若C的渐近线上存在点P,使得,则C的离心率的取值范围是( )A(1,3B3,+)C(1,2D2,+)【答案】A【解析】由题意设一条渐进线为:,取点,又,代入化简得,
9、由题转化为此方程有解,可得离心率的取值范围.【详解】由题意设一条渐进线为:,取点,且,因为, ,整理得,该方程有解时,存在符合题意的P点,故,化简得,即,.故选:A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,双曲线的离心率范围的求解,考查了学生转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.二、填空题13若抛物线经过点,则该抛物线的标准方程为_.【答案】【解析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程,待定系数即可求得结果.【详解】因为抛物线经过点,即抛物线经过第一、二象限,故设抛物线方程为,代入点,可得,即,则抛物线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程,属基础题.14甲、乙两
10、位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏,两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种.若出相同则为平局;若出不同,则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子.玩一次该游戏,甲同学不输的概率为_.【答案】【解析】首先画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,再利用概率公式求出甲不输的概率即可.【详解】画树状图得则玩一次该游戏,甲同学不输的概率:.故答案为:【点睛】本题主要考查了古典概率的计算,考查了利用树状图解决概率问题.15在平面四边形ABCD中,BCCD,B=135°,则AD=_.【答案】2【解析】设,在ABC中,由正弦定理求得,则可得,再由余弦定理求出AD即可.【详解】如图设,在平面四边形ABCD中,B
11、CCD,B=135°,在ABC中,由正弦定理可得:sin;,AD=2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了学生的运算求解能力.16已知函数,若存在实数m,使得方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是_.【答案】【解析】画出函数和函数的图象,结合图象通过平移直线观察可得a的取值范围.【详解】画出函数和函数的图象,如图所示:两个函数有两个交点,坐标为和,存在实数m,使得方程有两个不相等的实数根,观察图象可知,当0a1时符合题意.当1a2时符合题意,a的取值范围是:.故答案为:【点睛】本题主要考查了分段函数的图象,根据方程的根的情况求参数范围,考查了转
12、化与化归和数形结合的思想.三、解答题17已知公差不为0的等差数列an中,a1,a3,a9成等比数列,且2a5=a82.(1)求数列an的通项公式;(2)设,求数列bn的前n项和Sn.【答案】(1)an=n;(2)Sn【解析】(1)由题可得,从而求出,进而得到数列an的通项公式;(2)由(1)得,采用裂项相消法求出.【详解】(1)设等差数列an的公差为d,且d0,因为a1,a3,a9成等比数列,所以a32=a1a9,即得a1=d ,又2a5=a82,所以得a1+d=2 ,由,解得a1=d=1,所以an=n;(2)由(1)知an=n,Sn=b1+b2+bn=(1)+()+()+()=1.【点睛】本
13、题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列,数列求和等知识,考查了用裂项相消法求数列的和,考查了学生的运算求解能力.18A、B两同学参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加了8次测验,成绩(单位:分)记录如下:A 71 62 72 76 63 70 85 83B 73 84 75 73 78 76 85B同学的成绩不慎被墨迹污染(,分别用m,n表示).(1)用茎叶图表示这两组数据,现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛,你认为选派谁更好?请说明理由(不用计算);(2)若B同学的平均分为78,方差,求m,n.【答案】(1)B同学,理由见解析;(2)m=8,n=0.【解析】(1)根据题意作出茎叶图即
14、可;(2)根据平均数,方差公式列出方程求解即可.【详解】(1)A、B两同学参加了8次测验,成绩(单位:分)茎叶图如下:由茎叶图可知,B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩,所以选派B同学参加数学竞赛更好.(2)因为(73+84+75+73+70+m+80+n+76+85)=78,所以m+n=8,因为S252+62+32+52+(m8)2+(n+2)2+22+72=19,所以(m8)2+(n+2)2=4,联立解得,m=8,n=0.【点睛】本题主要考查了样本的数字特征,以及茎叶图,考查了学生的数据分析和运算求解能力.19如图,在四棱柱中,四边形ABCD为平行四边形,且点在底面上的投影H恰为CD的中点
15、.(1)棱BC上存在一点N,使得AD平面,试确定点N的位置,说明理由;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)点N为棱BC的中点,理由见解析;(2)2.【解析】(1)点N为棱BC的中点,由题可得HBC为等边三角形,所以NHBC,又可证BC,故可得BC平面,又AD/BC,即证AD平面;(2)由题得到平面的距离即为A到平面的距离,过A作AMCD于点M,证AM平面,则,由条件代值计算即可.【详解】(1)当点N为棱BC的中点时,符合题目要求,下面给出证明.分别连结NH,BH,在底面上的投影H恰为CD的中点,平面ABCD,又BC平面ABCD,BC,在HBC中,故HBC为等边三角形,又点N为棱BC的中点,NH
16、BC,又BC,NH=H,NH平面,BC平面,又由平行四边形ABCD得AD/BC,AD平面,点N即为所求.(2)平面/平面,到平面的距离即为A到平面的距离,过A作AMCD于点M,又平面ABCD,AM,又,AM平面,又,所以.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的证明,几何体的体积的计算,考查了学生的直观想象与逻辑推理能力,考查了转化与化归的数学思想.20已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的左右焦点,点为椭圆上的一动点,面积的最大值为2.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆的另一个交点为,点,证明:直线与直线关于轴对称.【答案】(1).(2)证明见解析【解析】(1)根据离心率和面积的最大值为2,即可列
17、出方程,即可求得结果;(2)设出直线的方程,联立椭圆方程,根据韦达定理,只需求证,则问题得证.【详解】(1)因为椭圆的离心率为,所以,即,又,所以, 因为面积的最大值为2,所以,即,又因为,所以, 故椭圆的方程为 (2)由(1)得,当直线的斜率为时,符合题意,当直线的斜率不为时,设直线的方程为,代入消去整理得: ,易得 设,则, 记直线的斜率分别为,则所以,因此直线与直线关于轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力推理论证能力,考查函数与方程思想化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,21已知在点处的切线方程为.(1)求实数a,b的值;(2
18、)当时,证明:.【答案】(1)a=2,b=0;(2)证明见解析.【解析】(1)由题可得,列方程即可求解,;(2)令,则,令,判断存在唯一,使得,即,从而得到;再令,证明即得证.【详解】(1),因为f(x)在点处的切线方程为y=6x,所以,即,解得a=2,b=0;(2)由(1)得,设,即,则设,则h(x)在(0,+)单调递增,且,所以存在唯一,使得,即,当时,g(x)单调递减;当时,g(x)单调递增;,设,则,当时,单调递减,所以,所以,即,所以当时,.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,利用导数证明不等式,综合考查了函数的单调性,最值等问题,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.22在直角坐标系中,曲线的参数方程为.(为参数)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,直线
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