误差理论和实验数据处理

1、误差理论和实验数据处理误差理论和实验数据处理 物理学是一门实验科学。物理概念的确定物理学是一门实验科学。物理概念的确定物理规律的发现、建立和检验，都是通过物理规律的发现、建立和检验，都是通过实验结果概括出来的。因此，从古至今物实验结果概括出来的。因此，从古至今物理实验在物理学的创立和发展上都占有十理实验在物理学的创立和发展上都占有十分重要的地位。分重要的地位。物理实验课程物理实验课程的主要目的和任务的主要目的和任务 1.1.对学生进行对学生进行“三基三基”的训练。使学生获的训练。使学生获得物理实验的基本知识得物理实验的基本知识, ,进行基本实验方进行基本实验方法和基本实验技能的训练。培养学生的

2、法和基本实验技能的训练。培养学生的阅读理解能力、动手操作能力、分析判阅读理解能力、动手操作能力、分析判断能力、书写表达能力以及初步的实验断能力、书写表达能力以及初步的实验设计能力。设计能力。2.2.加深对物理概念的掌握和理解。加深对物理概念的掌握和理解。3.3.具备初步的从事实验工作的基本素质具备初步的从事实验工作的基本素质。 测量和误差测量和误差 1.测量及其分类：测量及其分类： 测量是人们对自然界中的现象和实测量是人们对自然界中的现象和实体取得定量概念或数字表征的过程。体取得定量概念或数字表征的过程。 测量可以分为直接测量和间测量可以分为直接测量和间接测量两大类接测量两大类 。 2.2.误

3、差及其来源和误差及其来源和“消除消除”方法方法 一个待测的物理量，在一定的条件下总有一一个待测的物理量，在一定的条件下总有一个客观存在的量值，这个量值我们称之为个客观存在的量值，这个量值我们称之为真值真值。 在实际的测量中，测量结果和真值之间总存在实际的测量中，测量结果和真值之间总存在一定的差值。这个差值就称之为在一定的差值。这个差值就称之为误差误差。 误差是不可避免的，真值是测不出的。误差是不可避免的，真值是测不出的。 测量的目的在于尽量减少误差之后，得出一个测量的目的在于尽量减少误差之后，得出一个在一定条件下待测物理量的最可信赖值，并对其在一定条件下待测物理量的最可信赖值，并对其精确度作出

4、正确的估计。精确度作出正确的估计。系统误差和偶然误差系统误差和偶然误差1 1系统误差系统误差： 特征：特征：A.A.有规律，自成系统：有规律，自成系统：B.B.可以消除。可以消除。 ，仪器误差，仪器误差 ，方法误差，方法误差 ，环境和条件误差，环境和条件误差 ，个人误差，个人误差 可以采取一些措施来消除或减少这些系统误差可以采取一些措施来消除或减少这些系统误差。 2 2偶然误差：偶然误差： 特征：特征：A. .随机产生，无规律；随机产生，无规律；B. .不能消除不能消除 . .环境原因环境原因 . .个人原因个人原因 偶然误差也有其必然性。偶然误差也有其必然性。测量次数无穷多时，偶然测量次数无

5、穷多时，偶然误差满足正态分布。正态误差满足正态分布。正态分布具有单峰性、对称性分布具有单峰性、对称性和有界性三个特点。和有界性三个特点。 3.精密度、准确度和精确度精密度、准确度和精确度(a).精密度高，准确度差精密度高，准确度差。(b).准确度高，精密准确度高，精密度差度差。(c).精密度、准确度都高，就是精确度精密度、准确度都高，就是精确度高高。 1,1,算术平均值算术平均值测量结果的最可信赖值：测量结果的最可信赖值： 偶然误差的性质告诉我们偶然误差的性质告诉我们 实际测量中，测量次数总是有限的。实际测量中，测量次数总是有限的。算术平均值只是真值的近似值算术平均值只是真值的近似值. .称为

6、称为最佳估最佳估计值（最可信赖值）计值（最可信赖值）。用它来表示测量结。用它来表示测量结果。果。 )(0nnXlinXniii 2. .多次等精度测量的误差估算多次等精度测量的误差估算： 某次测量值的误差某次测量值的误差: : 某次测量值的偏差某次测量值的偏差: :nXXnii10XXiXXii (1). (1).标准误差和标准偏差：标准误差和标准偏差： 测量列的标准误差测量列的标准误差: : 上述公式只有理论上的意义。上述公式只有理论上的意义。 测量列的标准偏差测量列的标准偏差: : -白塞尔公式白塞尔公式nXXnii120)() 1()(12nXXniis (2) (2)算术平均值的标准偏

7、差：算术平均值的标准偏差： 算术平均值的标准偏差应小于测量列的标准算术平均值的标准偏差应小于测量列的标准偏差。偏差。 由上式可以看到，增加测量次数对提高测量由上式可以看到，增加测量次数对提高测量精度是有益的。精度是有益的。 ) 1()(21)(nnXXnniIsX3 3 测量结果及其物理意义测量结果及其物理意义 测量结果可以表示为测量结果可以表示为偏差落在偏差落在（ ）区间的概略约区间的概略约68.3% 68.3% 。偏差落在偏差落在（ ）区间的概略为区间的概略为95.5%95.5%。偏差落在偏差落在（ ）区间的概略为区间的概略为99.73%99.73%。)(XXX)()(,XX)()(2,2

8、XX)()(3,3XX实验中粗差的剔除实验中粗差的剔除1.1.拉依达准则拉依达准则 2. 2.肖维涅准则肖维涅准则si3sic4 单次直接测量结果的误差估算单次直接测量结果的误差估算仪器误差仪器误差仪器误差满足平均分布仪器误差满足平均分布 可以方便得计算可以方便得计算ins3inss2inss 5.5.绝对误差、相对误差及百分差绝对误差、相对误差及百分差 绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：百分差：百分差： )(,Xs%100%,100)(XEXEXS%10000XXXP 1.1.误差传递的基本公式：误差传递的基本公式： N=f(x1、x2、x3、xn) 单次测量时误差传递公式单次测量时误

9、差传递公式绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：nnxxfxxfxxfN 2211nnxxfxxfxxfNN lnlnln2211附表：附表：常用函数关系的误差传递公式常用函数关系的误差传递公式 多次等精度测量时误差传递公式多次等精度测量时误差传递公式标准偏差的误差传递公式标准偏差的误差传递公式 绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：)(22)(222)(221)(21nxnxxNxfxfxf )(22)(222)(221)(lnlnln21nxnxxNxfxfxfN 附：附：常用函数关系的标准偏差传递公式常用函数关系的标准偏差传递公式 2.2.误差分析的应用误差分析的应用 实际测量中实际

10、测量中, ,为了保证总误差在限定要求为了保证总误差在限定要求以内以内, ,就要进行误差分配，选择合理的测量就要进行误差分配，选择合理的测量方法和恰当的测量仪器方法和恰当的测量仪器. .以单摆实验为例以单摆实验为例 要求总误差小于要求总误差小于0.4%0.4%，2222442TlgglTglTllTTgg2 l l=80cm=80cm100cm ,100cm ,误差可估计误差可估计l l=0.1cm =0.1cm 相相对误差为对误差为0.13%0.13%（1/80.01/80.0）至）至0.10.1（1/100.01/100.0），），用秒表测量用秒表测量 T T，测量一次误差为测量一次误差为t

11、=0.2st=0.2s周周期大约为期大约为2 2秒，相对误差为秒，相对误差为10%10%（0.2/2 0.2/2 ）必）必须采用多周期累计测量，测量须采用多周期累计测量，测量100100个周期，相个周期，相对误差为对误差为0.1%0.1%（0.2/0.2/（100100* *2 2）。）。 总误差总误差 小于小于0.4%0.4% %36. 0801 . 021002 . 02gg 1.1.有效数字的概念：有效数字的概念： 1.32545 24.675 65890 0.579 0.000982 0.21067重要概念：重要概念： A.有效位数有效位数 B.和小数点无关和小数点无关 C.一位可疑数

12、字一位可疑数字2.2.有效数字的有关规定：有效数字的有关规定： 1 1. .有效数字中的有效数字中的“0”“0” 数值前的数值前的“0”“0”不是有效数字。不是有效数字。2 2. .单位涣算保持有效位数不变单位涣算保持有效位数不变 例如例如:3.71:3.71m=3.71=3.7110102 2cm( (371371cm) ) =3.71 =3.7110103 3mm3 3. .直接测量的读数规则直接测量的读数规则 . .可以估读的仪器一定要估读。可以估读的仪器一定要估读。 . .按最小分度值的按最小分度值的1/21/2、1/51/5、或、或1/101/10估读。估读。4 4. .关于误差的规

13、定：关于误差的规定： . .误差的有效位数一般取一位，最多取两位。误差的有效位数一般取一位，最多取两位。 . .测量结果的最后一位应该和误差位对齐。测量结果的最后一位应该和误差位对齐。 去尾方法：去尾方法：四舍六入五凑偶。四舍六入五凑偶。 举例：举例：读数规则读数规则04mm01mm2mm3mm5mm6mm7mm8mm( (4.7mm按按1/101/10估读，正确）估读，正确）( (4.70mm按按1/101/10估读，不正确）估读，不正确）01mm2mm3mm5mm6mm7mm8mm4mm01mm2mm3mm5mm6mm7mm8mm( (4.55mm按按1/101/10估读，似乎正确）估读，

14、似乎正确）4mm所有读数中只要有一个不正确，这种读数方法就不正确！所有读数中只要有一个不正确，这种读数方法就不正确！3.3.有效数字的运算规则：有效数字的运算规则： 1 1. .加减运算：加减运算： 最后结果的小数点位数和加数中小数位数最少的对齐最后结果的小数点位数和加数中小数位数最少的对齐。2 2. .乘除运算：乘除运算： 最后结果的有效位数和乘（除）数中有效位数最少的相同。最后结果的有效位数和乘（除）数中有效位数最少的相同。3 3. .乘方、开方运算：乘方、开方运算： 最后结果的有效位数和底数的有效位数相同。最后结果的有效位数和底数的有效位数相同。4 4. .对数运算：对数运算： 对数的有

15、效位数和真数相同。对数的有效位数和真数相同。5 5. .常数运算：常数运算： 运算中它们的有效位数是任意的。运算中它们的有效位数是任意的。6 6. .三角函数运运算：三角函数运运算： 三角函数的可疑数和角度的最小单位对应的那一位对齐。三角函数的可疑数和角度的最小单位对应的那一位对齐。例如例如 1. 1.389+17.2+8.67+94.12=121.4。 1.389 17.2 8.67 + 94.12 12.38512.385 121.379 2.2 2.2 2. 12.3852.2=27。 24770 + 24770 + 24770 27.2570 27.2570 3. 56.472=3.1

16、88 103； ,4. ln58.6=4.07;5. 4.52=64； 45.2132=6.4220 1036. Sin605=0.866751708 (查表查表) Sin1=0.0002908882045 Sin605=0.8668。926. 8256.79 1.1.列表法：列表法： 设计表格设计表格 排列顺序排列顺序 记录方便记录方便 观看清楚观看清楚2.2.作图法：作图法： 直观、形象直观、形象, ,准确度要差一些准确度要差一些. .实验图线的绘制：实验图线的绘制：图纸大小的选择图纸大小的选择 坐标的标记和分度坐标的标记和分度 实验点的标志实验点的标志 图线的描绘图线的描绘 图线的注解和

17、说明图线的注解和说明 图纸的描绘图纸的描绘注意点：注意点：1.坐标轴的起点坐标不一定为零，原则是使作出坐标轴的起点坐标不一定为零，原则是使作出的图线充满整个图纸。的图线充满整个图纸。2.2.坐标轴的分度：作图纸的最小分度坐标轴的分度：作图纸的最小分度代表有效数字准确数的最后一位。代表有效数字准确数的最后一位。3.3.实验点的标识必须明显、突出。实验点的标识必须明显、突出。例如，可以用例如，可以用“ ”“ ”等符号。等符号。,图解法图解法: : 外推法：外推法： 可以方便地得到实际上难于测量的点可以方便地得到实际上难于测量的点的量值。的量值。求经验公式：求经验公式： 用解析法和图解法可以求得经验

18、公式，用解析法和图解法可以求得经验公式，也可以利用图解法求得截距和斜率，进也可以利用图解法求得截距和斜率，进而求得相应的物理量。而求得相应的物理量。 注意：不能用实验点求斜率。注意：不能用实验点求斜率。3.逐差法逐差法 两个测量值成两个测量值成 y=y=a+bxa+bx线性关系时，利线性关系时，利用逐差法可以方便地求得斜率和截距。并用逐差法可以方便地求得斜率和截距。并能充分地利用测量数据。能充分地利用测量数据。 设设x x、y y之间有线性关系，实验测得一列对应之间有线性关系，实验测得一列对应数据为数据为x x1 1、x x2 2、，x xn n和和y y1 1、y y2 2、y yn n，

19、nnbxaybxaybxay2211则有则有根据一般的逐项取差法，根据一般的逐项取差法， 1112323212121()()(nnnnnxxbyyyxxbyyyxxbyyy1112312211)()()()(xxyyxxxxxxyyyxxybnnnnnii所以所以这样的计算方法是不可取的。逐差法的基本方法这样的计算方法是不可取的。逐差法的基本方法是把测量数据分为前后个数相等的两组，后面一是把测量数据分为前后个数相等的两组，后面一组中各个数据减去前面一组中相应的数据，再将组中各个数据减去前面一组中相应的数据，再将结果取平均求斜率结果取平均求斜率b b， )()()(222222222211211

20、21nnnnnnnnnxxbyyyxxbyyyxxbyyy2,3 , 2 , 1)()()(2122122nixxyyxxybniiinniiiniin取平均求得取平均求得b b 求得求得b b后，可以运用累加法求截距后，可以运用累加法求截距a aniniiixbnay11ninxyaniniii, 3 , 2 , 111* *4.4.最小二乘法与曲线的拟合：最小二乘法与曲线的拟合： 图解法处理数据时，人工拟合的曲线不是最佳图解法处理数据时，人工拟合的曲线不是最佳的。科研工作中常用最小二乘法来拟合曲线。的。科研工作中常用最小二乘法来拟合曲线。 用最小二乘法求得变量之间的函数关系称为用最小二乘法

21、求得变量之间的函数关系称为回回归方程，因此用实验数据寻求最佳拟合线的问题归方程，因此用实验数据寻求最佳拟合线的问题也常称为方程的回归问题。这里只讨论一元线性也常称为方程的回归问题。这里只讨论一元线性回归问题。回归问题。 变量变量x x、y y之间存在线性关系之间存在线性关系 y=y=a+bxa+bx。将它们将它们代入方程，为使方程成立，必须引入偏差项代入方程，为使方程成立，必须引入偏差项， 2222111vbxayvbxayvbxayn假设，每个测量值都是等精度的，而且只有假设，每个测量值都是等精度的，而且只有y y 有明有明显的随机误差。即显的随机误差。即。nnnvbxayvbxayvbxa

22、y)(,)(,)(222111 最理想的是常数最理想的是常数a a、b b应使上式中的偏差应使上式中的偏差1 12 2，n n的绝对值最小。即的绝对值最小。即 niiiibxayvQ122)(； ；的值取最小值的条件是的值取最小值的条件是 0,0,0,02222bQaQbQaQ一阶导数等于一阶导数等于0 0，得，得正规方程正规方程。解正规方程可求得。解正规方程可求得Q Q极小条件下的参量极小条件下的参量a a、b b的值称为的值称为最佳拟合值最佳拟合值， 。22222)(,)(iiiiiiiiiiiiixxnyxyxnbxxnyxxyxa 。nyxyxyyxxsnyyyysnxxxxsiiii

23、iixyiiiyyiiixx)(,)()(,)()(222222若令若令 。xbyassbxxxy,则则 偏差项的平方和对偏差项的平方和对 a a，b b的二阶偏导大于零，因此，的二阶偏导大于零，因此，上式即为满足最小二乘原理所求得的最佳拟含直线的上式即为满足最小二乘原理所求得的最佳拟含直线的两个参数，即斜率和截距。根据最小二乘法，用回归两个参数，即斜率和截距。根据最小二乘法，用回归法求法求a a、b b时，结果是唯一的。我们必须指出，这样求时，结果是唯一的。我们必须指出，这样求得的斜斜率和截距仍然有误差，为得的斜斜率和截距仍然有误差，为 nxsibaxxyb2其中其中y y为测量值为测量值y

24、 yi i的标准偏差的标准偏差 2)(2nbxayiiy常用相关系数常用相关系数r r来判断来判断 x x与与y y之间到底是否符合线性之间到底是否符合线性关系，或符合到什么程度？对于一元线性回归的情关系，或符合到什么程度？对于一元线性回归的情况，常称况，常称r r为线性相关系数。其定义如下为线性相关系数。其定义如下yyxxxyiiiisssyyxxyyxxr2122)()()(相关系数相关系数r r的值在的值在1 1之间。越接近之间。越接近1 1，说明拟合得，说明拟合得越好，越好， 线性关系（相关系数）线性关系（相关系数）对某物理量作等精度多次测量时，每个测量对某物理量作等精度多次测量时，每

25、个测量结果的可信度都一样，可用简单的算术平均值来结果的可信度都一样，可用简单的算术平均值来得到结果。在一列非等精度测量中，必须引入一得到结果。在一列非等精度测量中，必须引入一个数个数p pi i来表示某个测量结果来表示某个测量结果 x xi i的可信度的可信度. .p pi i越大越大标准偏差标准偏差i i越小越小, ,测量结果测量结果x xi i对最后实验结果的对最后实验结果的贡献也就越大，可以证明，实验结果的加权平均贡献也就越大，可以证明，实验结果的加权平均为为niiniiipxp11其中其中p pi i称为权，权称为权，权p pi i于其对应的标准偏差于其对应的标准偏差x xi i的平的平方成正比，方成正比，它满足归一化条件它满足归一化条件可以证明，加权平均值的标准偏差为可以证明，加权平均值的标准偏差为 232221321:kkkpp