任意角的三角函数(2)

1、110220只要知道只要知道 的终边与单位圆交点的坐标的终边与单位圆交点的坐标就可以求出就可以求出这个角的三角函数值这个角的三角函数值一、复习一、复习siny cosx （0）tanxyx ( , )P x yy叫叫 的正弦的正弦x叫叫 的余弦的余弦叫叫 的正切的正切xy 2kk 1. 任意角三角函数定义任意角三角函数定义xyo 设设 是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于它的终边与单位圆交于P(x,y)，则，则yxoP (x, y) 正弦：余弦：正切：sin yrcos xrtan(0)yxx 1 1） 为任意角，为任意角，P(P(x, ,y) )为为角角 终边上非原点的任意一点终边

2、上非原点的任意一点（3 3）比值与点）比值与点P P在角在角 终边上的位置无关终边上的位置无关2 22 2为为点点P P到到原原点点的的距距离离0 0rrxy 2.只要知道角的终边上任意一点的坐标就可只要知道角的终边上任意一点的坐标就可 以求出这个角的三角函数值以求出这个角的三角函数值.2222rxy以上函数都看成是以以上函数都看成是以角角为自变量为自变量，以以比值比值为函数值的为函数值的函数函数，统称叫统称叫三角函数三角函数一、复习一、复习三角函数三角函数定义域定义域 sin cos tanRR2|,RkkZ 且且3.三角函数的定义域三角函数的定义域yxo+-+-yxoyxo全为+yxosi

3、ncostan sinyr cosxryx tan 4.4.三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符号象限定符号练习练习1. 角角的终边经过点的终边经过点P(0, b)则则( )A.sin =0 B.sin =1C.sin =-1 D.sin =12.若角若角600o的终边上有一点的终边上有一点(-4, a),则则a的值是的值是( ). 4 3.4 3.4 3.3A BC DDB 例例3 3 求证：当且仅当下列不等式成立时，角求证：当且仅当下列不等式成立时，角为第为第 三象限角三象限角变式：若变式：若sintan0 ，那么角，那么角 是第

4、几象限的角是第几象限的角? sin 0二、例题二、例题由三角函数定义可得由三角函数定义可得(诱导诱导公式一公式一)终边相同的角的三角函数的值相等终边相同的角的三角函数的值相等.222sin()sincos()costan()tan()kkkkZ 注意注意:利用公式一利用公式一,可以把任意角的三角函数值转换为可以把任意角的三角函数值转换为 0到到360角的三角函数值角的三角函数值.三、三、终边相同的角的三角函数关系终边相同的角的三角函数关系例例 求求下下列列三三角角函函数数值值o5.911(1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-)46oo:(1)sin1480 10= si

5、n40 10= 0.645192 (2)cos= cos=442113 (3)tan(-) = tan=663解解四、例题四、例题cossintantan 0000例例4.4.确确定定下下列列三三角角函函数数值值的的符符号号, ,然然后后用用计计算算器器验验证证. .(1)250 (2)(-) (3)(-672 ) (4)3(1)250 (2)(-) (3)(-672 ) (4)34 4探究：探究：设设 是一个任意角，它的终边与单位圆的交是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为点为P(x，y)，若过点，若过点P作作MP x轴于点轴于点M，试分析，试分析线段线段MP和和OM的长度与角的长度与角 的

6、关系的关系.xyOP(x,y) 的终边的终边1-1M|MP|=| y |=|sin |OM|=| x |=|cos |五、三角函数线五、三角函数线xyOP(x,y) 的终边的终边1-1MxyOP(x,y) 的终边的终边1-1MxyOP(x,y) 的终边的终边1-1M|MP|=| y |=|sin |OM|=| x |=|cos |xyOP(x,y) 的终边的终边1-1M五、三角函数线五、三角函数线有向线段：带有方向的线段有向线段：带有方向的线段例：如右图所示，角例：如右图所示，角 是第二象限角是第二象限角有向线段有向线段OM表示以点表示以点O为为起点，点起点，点M为终点的线段，为终点的线段，即

7、即OM的方向与的方向与x轴的正方轴的正方向相反的线段，向相反的线段，我们规定，我们规定，方向与坐标轴的方向与坐标轴的正向相同的有向线段表示一正向相同的有向线段表示一个正值，反之即为负值，个正值，反之即为负值，故由故由|OM|=| x |可得可得 OM=x同理可得，同理可得，MP=yxyOP(x,y) 的终边的终边1-1M(0)五、三角函数线五、三角函数线xyOP(x,y) 的终边的终边1-1M练习：如图所示，角练习：如图所示，角 是第四象限角，试判断下列四是第四象限角，试判断下列四 个有向线段的值个有向线段的值.OM= ；MO= ；MP= ；PM= .x-xy-y五、三角函数线五、三角函数线x

8、yOP(x,y) 的终边的终边1-1MxyOP(x,y) 的终边的终边1-1M|MP|=| y |=|sin |OM|=| x |=|cos |五、三角函数线五、三角函数线MP=y=sin OM=x=cos xyOP(x,y) 的终边的终边1-1MxyOP(x,y) 的终边的终边1-1MxyOP(x,y) 的终边的终边1-1M探究：探究：借助单位圆，你能找到一条如借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一一样的线段来表示样的线段来表示tan 吗？吗？A(1,0)T例如，若角例如，若角 表示第一象限角，表示第一象限角，过点过点A(1，0)作单位圆的切线，作单位圆的切线，设它与设它与 的终边交于点的终

9、边交于点T，tanyMPxOMMPATATOMOAtanAT五、三角函数线五、三角函数线xyOP(x,y) 的终边的终边1-1MA(1,0)又如，若角又如，若角 表示第二象限角，表示第二象限角，仍过点仍过点A(1，0)作单位圆的切线，作单位圆的切线，设它与设它与 终边的终边的反向延长线反向延长线交于点交于点T，tanyMPxOMMPATATOMOAtanATT探究：探究：借助单位圆，你能找到一条如借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一一样的线段来表示样的线段来表示tan 吗？吗？五、三角函数线五、三角函数线TsincostanMPOMAT这里这里MP叫正弦线，叫正弦线，OM叫余弦线，叫余弦线，

10、AT叫正切线，叫正切线，它们都是有向线段。它们都是有向线段。如图，角如图，角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于点点P，过点，过点P作作x轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足为为M，过点，过点A(1,0)作单位圆的切作单位圆的切线，设它与线，设它与 的终边或其反向延的终边或其反向延长线相交于点长线相交于点T，则：，则：xyoP(x,y)1- -11- - 1M的终边的终边A(1,0)T五、三角函数线五、三角函数线意义意义几何表示几何表示五、三角函数线五、三角函数线注：注：1. 当角当角的终边落在的终边落在x轴上时轴上时正弦线，正切线正弦线，正切线变变 成一成一 个个 点点 2. 当角当角的终边落在的终边落在y轴上轴上余余弦线弦线变成一个变成一个点点，正切线不存在正切线不存在.xyoP(x,y)1- -11- - 1M的终边的终边A(1,0)TMPTOAxyMPTOAxyMPTOAxyMPTOAxyATOMMP tan;cos;sin（1 1）（2 2） 六、例题六、例题终边相同的角的三角函数关系sin(2)sincos(2)costan(2)tan()kkkkZ七、小结七、小结作业作业:P21 6 (1) (2) (4) 8 P17 3 练习练习1. P15 练习练习1 、2