第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理ppt课件

1、6 实数的连续性: 上确界下确界存在定理上确界下确界存在定理一、定义：一、定义：定义：定义： 设是非空有上界集合，设是非空有上界集合，满足满足若若 xEx，有有 xEx，使使存存在在, 0是上界是上界小一点不再是上界小一点不再是上界最小最小上界上界EEsup 的的上上确确界界，记记为为为为称称同样：同样： xEx, yEy，使使, 0最大下界最大下界EEinf的的下下确确界界，记记为为为为称称 1inf* N1)1 , 0sup(, 0)1 , 0inf( 1sup, 0inf,1 nnxxn EE也也可可以以确确界界可可以以例例1.1.设是非空有下界集合，设是非空有下界集合，满满足足若若 S

2、upremum (上确界上确界)，Infimum (下确界下确界) 上确界与最大元的关系：上确界与最大元的关系： 可以有上确界可以有上确界中无最大元中无最大元即为上确界即为上确界中有最大元中有最大元EEsupmax二、确界的一些基本性质二、确界的一些基本性质 YyXxyxYX ,：YXYXinfinf)inf( YXYXsupsup)sup( XaXainf)inf( XaXasup)sup( )sup(supinf)inf(YXYXYX nnnnnnnnyxyxyxyxinfinfsupsup,则则对对数数列列YXyxYyYyXxXxinfinfinf,inf, , 0 YXyxYyYyXx

3、Xxinfinf 2inf,2inf,YXYXinfinf)inf( 证明：证明：YXYXinfinf)inf( YYXXsupinf,supinf 显显然然有有 YXYXYXYXinfsupsupinfinfinf)inf()sup(supsupYXYX nnyxsupsup 往往证证 .sup,sup,*上界上界是是nnnnnxyyyxNn )(sup,supsup最最小小上上界界是是nnnnxxyx 三、确界原理三、确界原理定理定理1 1非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界. .非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界. .证明：证明：的一个上界的一个上界是是

4、设设Er,11barxEx记记为为将将 x（ ）rE 设设 非空有上界：非空有上界：E:,11二等分二等分将将ba 重复进行，得区间套：重复进行，得区间套： 122112)(,limlimnnnnnnnxrabbababa且且此区间套特点：此区间套特点：.,中点中点右边无右边无中点，中点，中必含有中必含有每个每个EbEbannn .,2222baEbaE中中点点，取取左左区区间间为为右右边边区区间间没没有有；中中点点，取取为为右右边边区区间间有有由区间套定理，由区间套定理， nnnnnnbaIlimlim,1即即有有Esup 往往证证)(,lim是上界是上界必有必有 nnnbxbxEx)(,

5、0lim* nnNaaNN使使使得使得中点中点中必有中必有在在 ,NNNxEba NNaxEsup NaNbNx注：注：单单调调有有界界原原理理确确界界原原理理证明：证明： 单单调调增增，有有上上界界，设设na aaaaannn 且且有有上上确确界界则则sup aaaNN使使, 0时时Nn aaaaaaannNnnnnaaasuplim 注如果注如果E没有上界或者下界，记没有上界或者下界，记sup,infEE ElimEnnnxEx 假假设设集集合合 有有上上界界 ，并并存存在在一一个个子子列列，满满足足，则则 为为集集合合 有有上上确确界界； ElimEnnnxEx 假假设设集集合合 有有下

6、下界界 ，并并存存在在一一个个子子列列，满满足足，则则 为为集集合合 有有下下确确界界. .思考问题思考问题思考问题思考问题设集合设集合A，B是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记 ,，ABxy xA yB=挝supsupsup则ABAB证明：,sup ,supsup sup， 有xA yB xA yBxyAB supsupsupABAB因此00000,1,supsupsup10,1,supsupsup1xA xAAByB yBAB 例题例题0 0supsupsupsup1supsup1sup supxyABABABAB固有固有结论得证结论得证实数的连续性进一步解释实数的连续性进一步解释 确界存在定理,通常称为实数系的连续性定理. 实数的连续性指实数域中每一个点都与坐标轴上点唯一对应. 假设实数的全体不能布满整个数轴, 而有空隙. 则空隙左边的数集合没有上确界, 而右边的数集没有下确界,与上确界下确界存在定理矛盾.1Q例例 121203,3,33Exx