电磁场及电磁波复习课

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波复习课复习课 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 一、一、 静电场静电场二、二、 恒定电场恒定电场三、三、 恒定磁场恒定磁场2. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS积分形式：

2、积分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则ttnnEEDD2121或或静电场静电场介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0EeDenSn0tSnED或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件 介质介质1 1111Ene导体静电场静电场0E由由即即静电场可以用一

3、个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。3. 电位函数的定义电位函数的定义E静电场静电场4. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 1()( )d4VrrVR点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrR()1( )d4SSrrSR()1( )d4lCrrlR31()( )d4VrRE rVR线电荷的电位：线电荷的电位：rrR 5. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将dd(dddz)dEllxyxyz 上式两边从点

4、上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功在均匀介质中，有在均匀介质

5、中，有6. 电位的微分方程电位的微分方程2在无源区域，在无源区域，0EED02标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程静电场静电场 7. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P0Snn1122常数，常数，Sn21Snn1122x

6、yzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例1 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l2R1R例2: 已知无

7、限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。1R2RU解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系1()0rrrrlnArB积分由边界条件1lnUARB20lnARB21122lnlnlnUUABRRRRR 221lnlnRURrR则：E 21lnrUEaRrR静电场静电场1R2RQr解：按题意该电场为球对称场，选球坐标系，用高斯定律dSDSQ0rDE 所以： 220r4RQEaR 24RQDaR2200sin d dRD RQ 例例3 3：点电荷 位于介质球壳的球

8、心，球壳内半径为 ，外半径为 球壳的相对介电常数为 ，壳内外为真空。求：球壳中任一点的电位移矢量、电场强度、极化强度及电位。Q1R2Rr1204RQEaR2:RR12:RRR0DE静电场静电场02r1(1)4RQPDEaR电位：dREl 2212ddRRRRRERER 极化强度：0r2r111(1)4QRR1R2RQr1R2RDER1R2RPROO8. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDwe21电场能量密度：电场能量密度：1d2eVWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区

9、域为电场所在的整个空间所在的整个空间2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2111222ewD EE EE 静电场静电场 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 9. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量

10、和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。静电场静电场 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；静电场静电场 例例4 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线

11、半径为a，两导线的，两导线的轴线距离为轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电

12、容为001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa一、一、 静电场静电场二、二、 恒定电场恒定电场三、三、 恒定磁场恒定磁场EJ0d0dlESJCS00EJE0)(1. 1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：0 J)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ0 E 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E02由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电

13、荷没有体分布电荷导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场2. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 场矢量的边界条件场矢量的边界条件nnJJ21即即ttEE21即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(221122211121场矢量的折射关系场矢量的折射关系212211221121/tantannnntntJJEEEE 电位的边界条件电位的边界条件nn221121,媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1

14、 12012Ene1E)0(1 如如 21、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体，即导体中中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场3.3.恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 静电场（静电场（ 区域）区域）

15、00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC 例例1 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半，外导体半径为径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1和和 2 、电导率为电导率为 1和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）两导体

16、之间的电流密度和电场强度分布；（两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自）介质分界面上的自由电荷面密度。由电荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U （1 1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,I,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质中的电场：介质中的电场：222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度

17、成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确确定出电流定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到12011121ln()ln()SaUeEab

18、 ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b Sne D （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘

19、材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，时，必定会有微小的漏电流必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即IUGR14 漏电导漏电导导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I； 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J； 由由J = E 得到得到 E ; 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差； (5) 求比值求比值

20、，即得，即得出出(2) 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESSJIdUIG/ 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CG 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电

21、阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIlEUln2d2dlba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。一、一、 静电场静电场二、二、 恒定电场恒定电场三、三、 恒定磁场恒定磁场0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SnnJHHeBBe)(0)(2121Stt

22、nnJHHBB21210或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即J JS S0 0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(2121HHeBBenn或或002121ttnnHHBB恒定磁场恒定磁场 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0B即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其

23、散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为场中通常规定，并称为库仑规范库仑规范。0A()AAA 3. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位BA 矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位恒定磁场恒定磁场 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR

24、1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件dddSSCBSASAl( )( )d4VJ rA rVR由此可得出由此可得出（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为( )( )d4SSJrA rSR面电流面电流：细线电流细线电流：d( )4CIlA rR 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：ddCSAlBS12ttAA0A d0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA121211()nSeAAJ4.

25、 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导无传导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程（均匀线性各向同性介质）磁标位的微分方程（均匀线性各向同性介质）0,BBH20m()()0mBuHu 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件00mBHHB 、20m在线性、各向同性的均匀媒质中在

26、线性、各向同性的均匀媒质中1212mmnn和和12mm恒定磁场恒定磁场 解解：先长度为：先长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到到点点 的距离的距离 。则。则22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 1 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位

27、 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR 解解：设同轴线中的电流为：设同轴线中的电流为I，由安培，由安培环路定理环路定理2222diCIIHlIaa022,22iiIIHBaa(0)a 例例2 求同轴线的磁感应强度。设内导体半径为求同轴线的磁感应强度。设内导体半径为a，外导体厚度，外导体厚度可忽略不计，其半径为可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得abadIiB20IB()ab电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解边值问题边值问题：在有限区域内，已知给定区域的场源分：在有限区域内，已知给定区域的场源分布和

28、该区域边界上的位函数，求该区域的场分布。布和该区域边界上的位函数，求该区域的场分布。分布问题分布问题：在无界空间，已知场源（电荷、电流）：在无界空间，已知场源（电荷、电流）分布直接计算空间各点的场强和位函数。分布直接计算空间各点的场强和位函数。静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场中的位函数满足中的位函数满足泊松方程和拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉斯方程。一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法 边值问题的分类边值问题的分类1|( )Sf

29、S已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即222|()SfSn111|()Sf S、2|( )SfSn第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面上的已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面位函数值，而另一部分边界面上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）SV电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场

30、的解静态场的解一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。 nSV惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的

31、正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。布。非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电

32、位替代解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例几个实例接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解2. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均

33、匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法种典型结构的工程

34、电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理 镜像电荷的个数、位置及其电量大小镜像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” ” ；4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定镜镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。一、一、

35、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体

36、平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。平面镜像法平面镜像法镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z = 0时，时，q qhhq 有效区域有效区域RR q qh上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh22222211( , , )4()()qx y zxyz hxyz h(0)z 2223 202 ()Szqhzxyh 2223 2d dd2()inSSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面

37、上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像2,0;0,0lx zhzz 镜像线电荷：镜像线电荷：ln(0)2lRzR满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题hhl 有效区域有效区域RR l当当z=0时，时，rr 0,llhh 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显

38、然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR 对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像

39、法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法球面镜像法球面镜像法1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 01()4qqRR dq? 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地

40、导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。方法：利用导体球面上电位为零确定方法：利用导体球面上电位为零确定 和和q。d 问题：问题： PqarRdqPaqrRRdd 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得qqRR=0 RqRq= 常常数数此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。oqPoq P RdaRad 常数常数add2 RaqqqqRdqRR0 条件：若条件：若镜像电荷的位置镜像电荷的位置镜像电荷的电量镜像电荷的电量ad1 qq qPaqaRRdd2222221()42cos()2 ()cosqarardrddradr ad22223 2()4(2

41、cos )Sr aq dara adad2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq daaaqSqaadadd 可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为2 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电的感应电荷分布，则荷分布，则 2,aaqq ddd 导体球不接地时

42、的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零电荷为零采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。PqarRd0aqqqda ， 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一

43、个位可用一个位于球心的镜像电荷于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即01()4qqqRRr 球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆

44、柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。l图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱lxoa0d图图2 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱的镜像的镜像ald( , )P xo0ld特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像222211lnln222cos2c

45、osllCdddd222211lnln0222cos2coslladadadad2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad a由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数ldll2lladd 由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对 求导，可以得到求导，可以得到导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数

46、：2242222cosln22cosldadaCddd由由 时，时，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为2222()2(2cos )lSadaa adad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。ln2ldCa一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁

47、波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法平面镜像法平面镜像法球面镜像法球面镜像法圆柱面镜像法圆柱面镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法平面介质镜像法（电介质）平面介质镜像法（电介质）图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面zx12qh特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷Pqhh1

48、1xzqRR问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质大平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q，距分界平面为距分界平面为h 。12分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。1介质介质1中的电位为中的电位为122222211( , , )4()

49、()qqx y zxyz hxyz h(0)z 222221( , , )4()q qx y zxyz h(0)z 2 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷22qqPxzhR可得到可得到1211()()qqqqqqqq说明：说明：对位于无限大表面介质分界面附近、且平行于分界面的对位于无限大表面介

50、质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为12121212,llll 12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球面坐标系球面坐标系分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法

51、的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。常微分方程的通解，其中含有待定常数。 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解

52、。满足边界条件的特解。一、一、 边值问题的分类边值问题的分类二、二、 唯一性定理唯一性定理三、三、 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四章第四章 静态场的解静态场的解四、四、 分离变量法分离变量法直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球面坐标系球面坐标系直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法u 本征方程的求解本征方程的求解(1)(1)当当 时时22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1 d ( )0( )d( ) dX xY yX xxY yyu本征函数本征函数2221d( )( )dxX xkX xx2221d( )( )dyY ykY

53、yy220 xykk0 xykk01020( )XxA xA01020( )YyB yB110201020( , )()()x yA xAB yBu本征方程本征方程u本征值本征值212121( , )(cossin)(coshsinh)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y(2)(2)当当 时，设时，设20 xk(1,2,)xmkkmjj12( )eemmk xk xmmmXxAA12( )eemmk yk ymmmYyBB或222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy220 xykk由ymkjk本征方程为：则：1212( )coss

54、in( )coshsinhmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法312121( , )(coshsinh)(cossin)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y12( )eemmk xk xmmmXxAAjj12( )eemmk yk ymmmYyBB1212( )coshsinh( )cossinmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y(3)(3)当当 时，设时，设20 xk j(1,2,)xmkkm220 xykk由ymkk222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )

55、dmY yk Y yy 本征方程为：或则：直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法u 应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解通 , )()()cossincoshsinhcoshsinhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmx yA xAB yBAk xAk xBk yBk yAk xAk xBk yBk yn三种解的特点：三种解的特点： 第一种解中，第一种解中，X(x)和和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；只有一个零点； 第二种解中，

56、第二种解中， X(x)为三角函数，有多个零点，为三角函数，有多个零点， Y(y)为双曲函为双曲函数，最多只有一个零点；数，最多只有一个零点； 第三种解中，第三种解中， X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为为三角函数，有多个零点。三角函数，有多个零点。直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法解解: : 选直角坐标系，电位函数满足二选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程维拉普拉斯方程 边界条件：边界条件： 例：例： 一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为壁绝缘，其

57、电位为U0，求槽内电位分布。，求槽内电位分布。22220(1)xy0000(2)00(3)000(4)0(5)xybxaybyxaUybxa直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法设设 ，代入式，代入式(1) (1) 中得中得: :( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1d( )0( )d( )dX xY yX xxY yy2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 220 xykk( )sinmmX xAk xsin0mk a(1,2, )mmkma根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(

58、x)应为三角函数形式，又因为X(0) =0，所以X(x)应选取正弦函数，即由边界条件(3)得：直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为( )sinh()mmY yBya此时，电位可表示为此时，电位可表示为由边界条件由边界条件(5)(5)知知 其中：其中：1( , )sin()sinh()mmmmx yCxyaa011sin()sinh()sin()mmmmmmmUCxbCxaaasinh()mmmCCba 直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法01sin()mmmUCxa0001sin()dsin()sin()daam

59、mnmnUxxCxxxaaa2001sin()sin()dsin ()d2aanmnmaCmnnCxx xCx xaaa0002sind(1,3,5,)aaUnUx xnan对上式两边同乘以 ，再对x从0到a进行积分，即sin()nxa直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法04(1,3,5,)nUCnn 04(1,3,5,)sinh()nUCnnnba01,3,4( ,)sin()sinh()sinh()mUmmx yxymaamba满足边界条件的特解为：直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法例例 : : 一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。一矩形区域边界条件如图所示，

60、求区域内的电位分布。12001V3100sinybabxyo解: 从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令101011V10abxyo20202023100sinybabxyo直角坐标系中分离变量法直角坐标系中分离变量法(1)求 ：1( , )x y11( ,)sin()sinh()mmmmx yCyxbb14sinh()mVCmmab2211220 xy11111000000000yxaybxaxybVxayb101011V10abxyo类似于“例5”求解过程， 形式为：1( , )x y 由非零边界条件确定mC011,3,4(