概率论与数理统计JA(48,15-16)1

1、1）掌握离散型随机变量分布率的定义和性质，会）掌握离散型随机变量分布率的定义和性质，会 求离散型随机变量的分布率；会确定分布率中的未求离散型随机变量的分布率；会确定分布率中的未知参数知参数;0 npn，有有对对任任意意的的自自然然数数. 1 nnp上节课内容复习上节课内容复习 nkppCkXPknkkn，101 3）若）若 X 表示表示n重贝努里试验中成功出现的次数，重贝努里试验中成功出现的次数，则则 X B ( n , p ),2）若）若 X 表示表示一次一次贝努里试验中成功出现的次数，贝努里试验中成功出现的次数，则则 X B ( 1 , p ), ，210! kekkXPk 5）掌握泊松分

2、布；）掌握泊松分布；4）掌握几何分布：若）掌握几何分布：若 X 表示贝努里试验中首次成表示贝努里试验中首次成功出现时试验的次数功出现时试验的次数 , 2 , 111kppkXPkPoisson 定理的应用定理的应用 ，若若随随机机变变量量pnBX np 令令： knkknppCkXP 1则则有有 ekk!6）掌握随机变量分布函数的定义及性质）掌握随机变量分布函数的定义及性质; 会计算与会计算与随机变量相联系的事件的概率随机变量相联系的事件的概率)(xXPxF F (x) 是一个是一个单调单调不减右连续的函数；不减右连续的函数； ; 1)(0 xF; 1)(, 0)( FF-1 0 1 2 3

3、x1214141Xpk21 -1 2 34141 bXaP aFbF aXP )0()( aFaF 概率密度及其性质概率密度及其性质 指数分布指数分布 均匀分布均匀分布 正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布 4 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布一、连续型随机变量的概念与性质一、连续型随机变量的概念与性质1) 定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存，存 在非负函数在非负函数 f (x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 f (x)

4、称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度. xdttfxF,)()( 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F F( (x x) ) 是连续函数是连续函数 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：具有以下性质：. 0)(10 xf. 1)(20 dxxff (x)0 x1)()(312210 xFxFxXxP f (x)x01x2x 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布)( .)(2121xxdxxfxx 前两个条件是概率密度前两个条件是概率密度的充分必要条件的充分必要

5、条件处连续，则有处连续，则有在点在点若若xxf)(40 xxFxxFxfx )()(lim)(0即即xxxXxPx )lim0若不计高阶无穷小，有若不计高阶无穷小，有.)(xxfxxXxP xdttfxF,)()( 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布).()(xfxF 注注 意意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不密度函数不是概率！是概率！我们不能认为：我们不能认为： ！afaXP ，对对任任意意的的实实数数是是连连续续型型随随机机变变量量，则则设设aX 0

6、aXP有有连续型随机变量的一个重要特点：连续型随机变量的一个重要特点： 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布说说 明明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的的密密度度函函数数为为若若已已知知连连续续型型随随机机变变量量xfX取取值值的的概概率率为为，也也可可以以是是无无穷穷区区间间）上上可可以以是是有有限限区区间间，间间闭闭区区间间，或或半半开开半半闭闭区区也也可可以以是是可可

7、以以是是开开区区间间（在在任任意意区区间间则则,GGX GdxxfGXP 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布此公式非常重要！此公式非常重要！例例 1 1 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其它其它020242xxxcxf解：解： 由密度函数的性质由密度函数的性质；常常数数求求：c 1 XP 1 dxxf 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 dxxf1得得 20224dxxxc2032322 xxcc38 83 c所所以以， 1 XP GdxxfGXP 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 2122483dxxx

8、213232283 xx21 1dxxf例例 2 某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解： 设设 A= 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布例例 2（续）（续） 150 XPAP则则检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做

9、一个5重重Bernoulli试验试验设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元件数，件数， 150dxxf 1501002100dxx31 32253231 C24380 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布).3/1, 5( BY则则故所求概率为故所求概率为2 YP例例 3的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量 X 其其它它021210 xxxxxf的的分分布布函函数数试试求求 X解解：0 xdttfxFx时时，当当10 xdttfdttf00 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 xdttfxF x时，时，当

10、当0例例 3（续）（续） xtdt022x xdttfxFx时时，当当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212 xx 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布例例 3（续）（续） xdttfxFx时，时，当当2 xdttfdttfdttfdttf221100 21102dtttdt 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布1 例例 3（续）（续）的分布函数的分布函数量量综上所述，可得随机变综上所述，可得随机变X xxxxxxxxF21211221020022 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布二、一些常用的连续型随机变量二、

11、一些常用的连续型随机变量1) 均均 匀匀 分分 布布若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 其其它它01bxaabxf 上的均匀分布上的均匀分布，服从区间服从区间则称随机变量则称随机变量baX记作记作 X U a , b 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布密度函数的验证密度函数的验证 是是其其密密度度函函数数，则则有有：，设设xfbaUX ；，有有对对任任意意的的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 确确是是密密度度函函数数其其它它 01bxaabxf由此可知，由此可知， 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布说说 明明

12、 类似地，我们可以定义类似地，我们可以定义 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 上的均匀分布；上的均匀分布；，区间区间ba 上的均匀分布；上的均匀分布；，区间区间ba 上的均匀分布上的均匀分布，区间区间ba均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景 变变量量上上的的均均匀匀分分布布，则则随随机机，服服从从区区间间如如果果随随机机变变量量baX 上上取取值值是是等等可可能能的的，在在区区间间量量这这时时，可可以以认认为为随随机机变变baXXXabxll0 lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 取取值值的的概概率率与与该

13、该子子区区上上的的任任意意一一个个子子区区间间上上，在在区区间间baX该子区间的位置无关该子区间的位置无关间的长度成正比，而与间的长度成正比，而与均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数 0,有有|sXtsXP ,sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee / te tXP 这说明，如果已知寿命长于这说明，如果已知寿命长于s s年，则再活年，则再活t t年的概率与年龄年的概率与年龄s s无关，所以有时又风趣地称指数分布是无关，所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻永远年轻”的。的。指数分布常用各种指数分布常用各种“寿命寿命”分布的近似，如无线电元分布的近似，如无线电元件

14、的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间。机服务系统中的服务时间。 0100 xexxFx 例例 7钟钟之之间间的的概概率率分分分分钟钟到到，求求你你需需等等待待你你前前面面走走进进公公用用电电话话间间如如果果某某人人刚刚好好在在为为参参数数的的指指数数随随机机变变量量以以（单单位位：分分钟钟）是是间间设设打打一一次次电电话话所所用用的的时时201010 X解解：的的密密度度函函数数为为X 00010110 xxexfx 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 2010 XPBP则则令：令：B= 等待时间为等待

15、时间为1020分钟分钟 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0 3)3)正正 态态 分分 布布xf (x)0 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布的密度函数为的密度函数为如果连续型随机变量如果连续型随机变量 X xexfx22221s s s sp p ，为参数为参数，其中其中0 s s 布记作布记作的正态分的正态分，服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量2s s X .2s s ，NX标准正态分布标准正态分布 为为标标准准正正态态分分布布，我我们们称称，若若1010N s s 数数为为标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函 xexx222

16、1p p 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布密度函数的验证密度函数的验证 是是其其密密度度函函数数，则则有有：，设设xfNX2s s xexfx021222s s s sp p下下面面验验证证： 121222 dxedxxfxs s s sp p 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )首首先先验验证证： 12122 dxedxxxp p p p222 dxex或或验验证证： 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布p p2222 dxex dyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxe

17、yx 222为此，我们只需证明：为此，我们只需证明：密度函数的验证密度函数的验证( (续续) ) 02202222rdreddxerxp p 0222rep pp p2 p p222 dxex因因此此， 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布则有则有，作极坐标变换：作极坐标变换： sincosryrx 密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )下面验证：下面验证： 121222 dxexs s s sp p s sp ps sp ps s s s dxedxexx2222122121则有则有1 dueu2221p p 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布s ss s

18、 dxduxu 则则，作变换：作变换：密度函数的验证密度函数的验证( (续续) )综上所述，综上所述， xexfx22221s s s sp p 是是一一个个密密度度函函数数确确本本条条件件，因因此此满满足足密密度度函函数数的的两两项项基基xf 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质 我我们们有有：由由高高等等数数学学中中的的知知识识，数数对对于于正正态态分分布布的的密密度度函函 xexfx22221s s s sp p hXPXhPhx ，有有这这表表明明：对对于于任任意意的的对对称称，曲曲线线关关于于直直线线0 xf (x)0

19、hh 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续） 越越小小落落在在该该区区间间中中的的概概率率就就变变量量越越远远时时，随随机机间间离离同同样样长长度度的的区区间间，当当区区对对于于的的值值就就越越小小这这表表明明，越越远远，离离取取到到最最大大值值时时，当当Xxfxfxfx s sp p 21 3连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布xf (x)0hh正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续） 轴轴为为渐渐近近线线以以曲曲线线处处有有拐拐点点；在在曲曲线线Oxxfyxxfy s s 确确定

20、定所所图图形形的的位位置置完完全全由由参参数数因因此此其其形形状状轴轴平平行行移移动动，但但不不改改变变图图形形沿沿的的的的值值，则则固固定定，而而改改变变若若 s sxfyxxf 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布xf (x)0hh正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续） 的的取取值值越越分分散散形形越越平平坦坦，这这表表明明的的图图越越大大时时，当当附附近近的的概概率率越越大大；反反之之落落在在图图形形越越陡陡，因因而而越越小小时时，可可知知，当当的的最最大大值值为为的的值值，由由于于固固定定，而而改改变变若若XxfyXxfyfxf s s s ss

21、 sp p s s 21xf (x)0 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布正态分布的重要性正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：情形加以说明： 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服

22、从或近似服从正态分布该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布标准正态分布的计算：标准正态分布的计算： ，则则其其密密度度函函数数为为，如如果果随随机机变变量量10 NX ,2122xexp p xdtedttxxtx2221p p 其其分分布布函函数数为为 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布标准正态分布的计算（续）标准正态分布的计算（续）x0)(

23、xx-x 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 xXPxx 我们可直接查表求出我们可直接查表求出对于对于0，我们可由公式，我们可由公式如果如果0 x xtxdtedttx2221p p ，得，得，作变换作变换dudtut xuduex2221p p xudue2221p p xudue22211p p x 1一般正态分布的计算一般正态分布的计算 )1, 0(2NXYNXs s s s ，则则，设设 yXPyYPyFY s s ytdtes s s s s sp p22221，代代入入上上式式，得得，则则作作变变换换s ss s dtdutu yuYdueyF2221p p y y

24、XPs s )(xXPxFX)(s s x s s s s xXP 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布一般正态分布的计算（续）一般正态分布的计算（续） 函函数数是是标标准准正正态态分分布布的的分分布布其其中中，x ).()-( ,s s s s abbXaPba有有故故对对任任意意的的 )(xFX)(s s x 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布该公式给出了一般正态分该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法布分布函数值的求法例例 8 8 ；，试求：，试求：，设随机变量设随机变量212110 XPXPNX解解： 21 XP841340977250. 135910.

25、 21 XP 112 8413401977250. 818590. 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 12 12 ；，试试求求：，设设随随机机变变量量0625192 XPXPXPNX解：解： 51 XP)()(321325 311 1311 1629300841340 .470640. 例例9 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布)1()5(FF 62 XP 6261 XP 841 XP)324()328(1 221 212 0455097725012. 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 621 XP 0 XP)(3201 3217486032. 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 01 XP满满足足条条件件若若设设 zNX),1,0(0 x)(x0.05z 查表可知查表可知z1z 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布, 10, zXP分位点。分位点。为标准正态分布的上为标准正态分布的上则称点则称点 z ,z -1 z 注注：=1.6450.005z =2. 5750.95z = -1.6450.995z = -2. 575的的密密度度函函数