第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数,DOC

1、习题5.11 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间2 .全体正实数R+,其加法与数乘定义为Ia二b=abki；a=ak其中a,b三R,k2R判断R按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间81I1I，Z'i|答是.设R./:/f因为a,bwr+=ab=abeR*,<|F'.三R,aR7

2、a=aR,L所以R对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律ab=ab二ba=ba；(2)(a.Jb)Fc=(ab)Tc=(ab)c=abc=a(bc)=aF(bJc);R中存在零元素1,-a，R,有a二仁a1=a；对R中任一元素a，存在负元素aJRn,使a二a=aa=1；L¥1'；aa1=a;(6)："Ca=：a=a=a=JCa；(7)i：a=a=aa=a二a=，：iaJJa;所以R对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.3.全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.答否.A二B与B二A不一定相等故定义的加法

3、不满足加法的交换律即运算规则（1）,全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间4.在P22中，W=>/A=0AP22?,判断W是否是P22的子空间.答否.1322111的行列式都为零，但33的行列式不为零，也就是说集合对加法不封闭5仅供个人学习参考习题5.21.讨论p22中的线性相关性.解设為A+x2九+x3A3+x4A4=0,ax1X2X3X4即x1ax2x3x4X+x2+ax3+&x1x2x3ax4=0由系数行列式=0=0a1111a1111a1111a3=(a3)(a1)知,a且a田时，方程组只有零解，这组向量线性无关;2.在R4中，求向量:在基冷，：-2,：

4、3,為下的坐标.其中解设:-=x-1x2:2x3:3x4:4q21001000:1由（。1«2«3«4:«)=1打110初等行变换j0100:0030-100010:-110-11丿<0001:0丿付a=耳一購故向量G在基G1，°2,奂，a4下的坐标为(1,0,-1,0)解设,-x：!X2：2'X3：3X4為则有X10X2X3X4=2洛_x2_x30x4=3x1x20x30x4=4x10x2OX30x4-7101121000-7由1-1-103初等行变换0100111100470010-211000-7,00130得：-?：111

5、.二2-21：330：4.故向量:在基1，爲2，：3,驀4下的坐标为（-7,11,-21,30）4已知R_120丄12的两组基(I)：14、1,a2=0，«3=0Q丿C1(1)求由基（I）到基（U）的过渡矩阵;1、3(U):詰2，ft=3,03=44&丿(2)(3)(4)求在两组基下坐标互为相反数的向量.解（1）设C是由基（I）到基（U）I的过渡矩阵,由订订一C已知向量a在基0,口2,。3下的坐标为0,求口在基比及用3下的坐标；-1已知向量0在基月，场，鸟下的坐标为-1，求P在基0（1/z2/x3下的坐标；q23、111、即23L4=100J43丿1-11丿C,（2）首先计算

6、得C32-132q114123'23、4知基（I）到基（U）的过渡矩阵为C=100234=0-10a-1bJ43J-10一1fl、1于是a在基,%,03下的坐标为C0r01-23丿(3):在基:1'2'3下的坐标为C解(1)设C是由基到基(U)的过渡矩阵，由g1，g2，g3，g4=f1,f2>f3>f4C'234设了在基?123下的坐标为y,据题意有010y2=T2y丿I-10-1丿屏丿日丿(0y解此方程组可得y2=k4,k为任意常数.M丿11I2，”丫=4钟2-3kf=k0,k为任意常数.5. 已知Px4的两组基1Ir-232(I) ：f1(x)=

7、1+x+x+x,f2(x)=f+x,f3(x)=1-X,f4(x)=1(U):g(x)=x+x2+x3，g2(x)=1+x2+x3，g3(x)=1+x+x3，g4(x)=1+x+x2(1) 求由基(I)到基(U)的过渡矩阵；(2) 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).0111101r1011“2=(1,X,X,3X)1-1-101101110011°00°有(1,x,x2,x3)C.101-1(2)设多项式f(x)在基(I)下的坐标为T(X1,X2,X3,X4).因为C-E据题意有0110=0(*)1000110110-1/1=00110-210-21-2所以方程组(*

8、)只有零解，则f(X)在基(I)下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f(x)=0II习题5.3证明线性方程组I.'JI”的解空间与实系数多项式空间Rx】3同构.I'!kz-|证明设线性方程组为AX=0,对系数矩阵施以初等行变换.：R(A)=2.线性方程组的解空间的维数是5-R(A)=3.Rx3同实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间构习题5.41求向量二=1,1,2,3的长度.解：一121)2223=.15.2. 求向量二1,-1,0,1与向量一：二2,0,1,3之间的距离.，解d(ct,B)=|妝冋I=J(1_2)2+(1_0)2十(0

9、_1)2十(1_3)2=77.3. 求下列向量之间的夹角(1) ：=1,0,4,3,1：=1,2,1-1(2) 二三1,2,2,3,1；=3,151(3) 二=11,1,1,2,1：=31,-1,0解(1)T1=1(-1)02413(-1)=0,.a,丁.(2)T(a,0)=1工3+2工1+2工5+3工1=18,=arccos6届418二(3) ；(o(，B)=1x：3+1x1+1x：(_1)+2x0=3,:.=1114=7,911Q=11,，”(a,0)=arccos.3.设：，'-,为n维欧氏空间中的向量，证明：d(，)"(：，)d(,J.证明因为|.I：'-.彳

10、=(二一心W,：u)所以卜一B兰(杠-件|+|丫-P|)2,从而d(a,B)兰d(a,?)+d亿B).I习题5.5tI1.在R4中，求一个单位向量使它与向量组>1=：4,1,-1,-1，:-2戸,-1,-1,1，3=：1,-1,1,-1正交.(、；_,:J=0则有(：,2)=0(：,：3)=0解设向量：.=(X,X2,X3,X4)与向量g,g,03正交，%x2x3x4=0即X1X2X3X4=0(*)X1X2X3X4±0齐次线性方程组(*)的一个解为X1=X2=X3=X4=1.'I1,2=2Q丿(I,®:L1211121111111111I131取0=(1,1,

11、1,1),将向量ct单位化所得向量a=(丄，丄丄,丄)即为所求22222.将R3的一组基隅=厂pH0、1,企2,°3=1|-1化为标准正交基a丿I1丿U丿解(1)正交化,取(2)将,J单位化则二；1；为R3的一组基标准正交基3.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系皆1000，电=1，兀=0004由施密特正交化方法，取'1/2xj-'-1/3'1,02=*2中丄险=

12、1/211/1/301卫3-邛1=1/322300i:41°<1将"ZU单位化得单位正交向量组II.1Ir-因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以打，蔦，二是解空间的一组标准正交基.3.设,:n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基,A是n阶正交矩阵，证明：A,A,An也是R0中的一组标准正交基.证明因为i,2,in是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基,所以TIj(WNj)=%ctj=(ij1山2nJI=J又因为A是n阶正交矩阵,所以ATA=E.则故A：1,A：2,A：n也是Rn中的一组标准正交基.5.设：1,2,：3是3维欧氏空间V

13、的一组标准正交基，证明也是V的一组标准正交基.证明由题知所以-,'：2，'-3是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基习题五(A)一、填空题1当k满足时，訂=1,2,1,C二2,3,k,:=3,k,3为R3的一组基解三个三维向量为R3的一组基的充要条件是冋如対丹，即心2且心6.2.由向量：.二1,2,3所生成的子空间的维数为.解向量：，1,2,3所生成的子空间的维数为向量组:的秩，故答案为1.3.R3中的向量=3,7,1在基冷=1,3,5,：2=6,3,2,：3=3,1,0下的坐标为.解根据定义,求解方程组就可得答案.设所求坐标为（X1,X2,X3）,据题意有=X1：1X2：2

14、X3：3.为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算361(0(3,口2,耳妝)=133e257初等行变换*100010001154-8233所以(石,乂2压)=(33,-82,154).严ITITl14.R3中的基1,；2,3到基>1二-2,1,3,2二-1,0,1,宀二-2,-5,-1的过渡矩阵为.J7-2'，Z-2-1-2'解因为（耳,。2,理）=（勺，52鸟）10-5,所以过渡矩阵为10-5<31-b<31T丿5.正交矩阵A的行列式为.解ATA=|E日A2=1二IA=±.6已知5元线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为解5

15、元线性方程组A=0的解集合的极大无关组（基础解系）含5-3=2个向量,故解空间的维数为2.7.已知=12,1,1,1,4=2,1,a,a,亠=3,2,1,a，為=4,3,2,1不是R4的基且a=1,则a满足.解四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是m-2-3,:-4=0,则aJ或1.2故答案为1.2二、单项选择题1下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是().(A) ViJXi,0,0,XnXi,XnR，(B) V2二'X1,X2,xnX1X2Xn=0,XiR(C) V3二X1,X2,XnX1X2%=1,XiR(D) V4JiX1,0川1,0,0*R/解(C)选项的

16、集合对向量的加法不封闭，故选(C).:/>*/1；!f1:2.在P3漩中,由A=2生成的子空间的维数为().<3II.1I(A)1(B)2(C)3(D)41解向量组A=2生成的子空间的维数是向量组A的秩，故选(A).<3,Z101:解因(B)选项中(鸽+2口2,2口2+3。3,3口3+口1)=(耳,°(2,0(3)220,©33又因冷,、£2,3线性无关且故选(B).A103023120可逆，所以：12：2,2：23：3,3_勺：1线性无关.解因(：2)C-2-：3)-：3)=0,所以(C)选项中向量组线性相关,故选(C)5. n元齐次线性方程组

17、AX=0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为s,则().(A)s=r(B)s=n-r(C)s>r(D)s<r选(B)6. 已知A,B为同阶正交矩阵，则下列()是正交矩阵.(A)A+B(B)A-B(C)AE(D)kA(k为数)解A,B为同阶正交矩阵二ab(ab)t二abbtat=aat二e故选(C)7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵().(A)一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆(D)是正交矩阵选(B)(B)1已知R4的两组基(I)：耳，4，口3，(n)：=0(1+«2+O3+«4,02=02+0(3+0(4,3=0(3,4=g(1) 求由基(U)

18、到(I)的过渡矩阵；(2) 求在两组基下有相同坐标的向量.解(1)设C是由基(I)到基(U)的过渡矩阵，已知厂i1000、(片，B2,03,E)=(口1,。2,口3,。4)1100111011b所以由基(U)到基(I)的过渡矩阵为000、1-1100C=0-11103011丿(2)设在两组基下有相同坐标的向量为:,又设在基(I)和基(U)下的坐标均为(XwXz'XsXq),由坐标变换公式可得才X2=cX2X3X3凶丿1込4丿即(E-C)X，X3X4齐次线性方程(*)的一个基础解系为=(0,0,0,1),通解为X”=(0,0,0,k)(kR).故在基(I)和基(U)下有相同坐标的全体向量

19、为-0-10：20：3k：44(kR).解由题有10式0，所以Pi,02,氏线性无关12故'-1,'-2,_：3是3个线性无关向量，构成R3的基.(2)因为巾10、所以从基已，02,貝到基0(1,0(2,口3的过渡矩阵为-1-12J00丿5、010丫1'(3)a=o(1十2°2_口3=(a1,2,°3)2=(R,P2,P3)-1-122=(E,£,P3)-5-bJ00人-J1/J1Z2所以向量a在基冃，月，03下的坐标为-5I1'21解(1)因为由基J,：。)，為到基：1,：2,3：4的过渡矩阵为1C=0©,所以所以(-：:1,-：2,-】3,-：4)-(-1,-2,-3,4)C-1200002-1-5001一7丿1、r1、(2)=8+。2+。3204=(C(1,G2,C(3,G4)11=(血,島,04)*11-2J2J=（：1，：2，3：4）12V7.向量'=2亠:込-2、