第十九章四边形知识与题型总结

1、第十九章四边形知识与题型总结本章知识要求和结构1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系（1）演变关系图:四边形7（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算名称平行四边形矩形菱形正方形疋义的四边形是平行四边形的平行四边形是矩形的平行四边形是菱形的平行四边形是正方形边性角质对角线对称性判边角疋对角线面积周长图1图23.（1）平行四边形的面积等

2、于它的底和该底上的高的积（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2,SyABCD=SYBCFE4三角形中位线定理定义:叫做三角形中位线（与中线的区分）；定理：作用：可以证明两条直线平行；线段的相等或倍分拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的和；（4）直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线5.正方形：（1）对角线：若正方形的边长为a,则对角线的长为.2a；正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等(3)面积：正方形的面积等于边长的平方；等于两条对角线的乘积的一半周长相等的四边形中，正方形的

3、面积最大6.梯形的中位线(1)定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线(2)梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半1(3)梯形的面积S=?x(上底+下底)7几种特殊四边形的对角线 矩形对角线交角为60(120)时，可得:等边三角形和含30角直角三角形 菱形有一个角为60时，可得：含30角的四个全等直角三角形高=中位线高正方形中可得：四大四小等腰直角三角形对角线互相垂直的梯形平移腰可得：双垂图(图)对角线互相垂直的等腰梯形可得：等腰直角三角形(图)ECF(图)8.中点四边形:(顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线)(1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形

4、是(2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点，构成的四边形是(3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是(4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是顺次连结矩形各边中点构成的四边形是顺次连结菱形各边中点构成的四边形是顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是二.典型题型归纳（一）概念题1.QABCD中，/A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段,则QABCD的周长为2.在QABCD中，/C=60o,DE丄AB于E,DF丄BC于F.(1) 则/EDF=;(2) 如图，若AE=4,CF=7,QABCD周长.贝U.ABCD周长=若AE=3,C

5、F=7,请作出对应图形，并求3. (1)在平行四边形ABCD中，若/C=ZB+/D,则/A=.(2) 已知在£7ABCD，/A比/B小20o，则/C的度数是(3) 在QABCD中，周长为100cm,AB-BC=20cm，则AB=BC=.(4) 在心7ABCD中，周长为30cm，且AB:BC=3:2，则AB=cm.D（5）（2007河北省）如图，若口ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，/ABE=90°,则/F=°.4. （2007福建福州）下列命题中，错误的是（）A矩形的对角线互相平分且相等B对角线互相垂直的四边形是菱形C.等腰梯形的两条对角线相等D等腰三角形底

6、边上的中点到两腰的距离相等5. （2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（A一组对边平行的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形6. （2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是（）A平行四边形B菱形C矩形7. （2007四川眉山）下列命题中的假命题是（）A一组邻边相等的平行四边形是菱形B一组邻边相等的矩形是正方形C一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8. （2007四川成都）下列命题中，真命题是（）A两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线互相垂

7、直的四边形是菱形C两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D.正方形9. （2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（）AQABCDE.AC丄BDC等边ABDD./CAB=ZCAD（二）图形的性质和判定方法10. 如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l"/l2，作断四边形PQMN的形状.BM丄丨2于M,DN丄丨2于N，直线MB、ND分别交l1、l2于Q、P，试判11. 如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH为正方形.GFCB12.如图，在矩形A

8、E=AB,AB=2AD（三）转化的思想一一将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题如图所示:13. 填空（1）等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60o,则下底长是.(2) 等腰梯形一个底角是60o它的上、下底分别是8和18,则这梯形的腰长是，高是，面积是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰与下底的夹角为30o,则另一腰长为，下底长为.(4) 等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为,面积为.(5) 已知在梯形ABCD中，AD/BC，若两底AD、BC的长分别为2、8,两条对角线BD=6,AC=8，则梯形的面积为.(四)推理

9、论证的进一步巩固14. (2007恩施自治州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形15. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是直线AB、CD的中点，AF、DE相交于点G,CE、BF交于点H.求证：四边形GEHF是平行四边形16. 平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE,求证:四边形AECF是平行四边形17求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形.18. 已知点E、F在正方形ABCD的边BC、(1)若BE=CF，如图13(1).求证：AE=BFCD上，并且AE

10、丄BF;(2)若E、F分别是BC、EF的中点，如图DF13(2)，求证：GD=AD.F919. （2007浙江金华）国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽匸花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花如果有AB/EF/DC,BC/GH/AD，那么F列说法中错误的是（）A红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等20. （06盐城）已知QABCD的面积为4,对角线交于O,贝ySaaob=21. 若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）A.1个B.2个C.3个

11、D.4个22平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围是（）A.4<a<16B.4<a<26C.12<a<20D.8<a<321123.平行四边形中一边长为A.4cm和6cmC.8cm和12cm10cm，那么两条对角线的长度可以是（B.6cm和8cmD.20cm和30cm24. （07北京市23）如图，已知ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D,E（BC的中点除外），连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形;（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明ABACADAE

12、.FEA25. 如图已知ABC，过顶点A作/B、/C的平分线的垂线，AD丄BD于D,AE丄CE于E.求证：ED/BC.26. 如图，已知BD、CE是"ABC的两条高,M、N分别是BC、DE的中点.求证：(1)EM=DM;(2)MN丄DE.27. (1)如图27(1)，正方形ABCD,E、F分别为 若/EAF=45o.求证：EF=BE+DF.11BC、CD边上一点.CE 若"AEF绕A点旋转，保持/EAF=45o,问"CEF的周长是否随"AEF位置的变化而变化?(2)如图27(2)，已知正方形ABCD的边长为1,BC、CD上各有一点E、F,如果"

13、CEF的周长为2.求/EAF的度数.(3) 如图27(3)，已知正方形ABCD,F为BC中点E为CD边上一点，且满足/BAF=/FAE.求证：AE=BC+CE.图27(3)(五)知识的联系与综合28. 已知QABCD的顶点A、B、C的坐标为(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，则D点坐标为29. 如图，已知£7ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(-2,3)，则点C的坐标为()15xA、(-3,2)iyB、(-2,-3)C、(3,-2)D、(2,-3)y30.如图，两平面镜OB第30题图第32题图的夹角为，入射光线AO平行于入射到，两次反射后的光

14、线O'B平行于，则角等于.31已知矩形的对角线长为13,周长为34,则这个矩形的面积为32.（05,潍坊）如图，在直角坐标系中，将长方形在A处，已知OA='31,AB=1则点A的坐标是（1OABC沿OB对折，使点A落.33、A.(亍2)B.V,3)2C.（舄）D.（六）面积的问题：各种四边形面积的求法和等积变换33.如图，E为QABCD边CD上一点，QABCD的面积为S,则厶ABE的面积为（）C、1-S3D、1sC第33题图1 丄屮AD丄BD，/A=/ABC，如果AD=2,2，面积是.35.如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线和PQ,那么图中矩形AMKP

15、的面积是S1S2（填“”、“=”或“34.如图，在QABCD中,那么QABCD的周长是MNS1与矩形QCNK的面积S2的大小关系<”）13第36题图DE交BC于F.求证：SABFSEFC第37题图C36.如图，在UABCD中，点P在BC上，PQ/BD交CD与Q,则图中和ABP是：面积相等的三角形有个，它们分别37.如图，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点,2738. 如图，点E、F分别在QABCD的边DC、CB上,且AE=AF,DG丄AF,BH丄AE,G、H是垂足.求证：DG=BH.第38题图（七）运动变换的思想在本章中的应用.39. （希望杯第9届初二第二试）已知QABCD的周

16、长为52，自顶点D作DE丄AB,DF丄BC,E、F为垂足，若DE=5,DF=8，求BE+BF的值EAR第39题图240. 在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PE丄AC于E,PF丄BD于F,贝UPE+PF=.DAXB第40题图CB第40题图DC41.(1)如图41(1)(2)，已知"ABD,"BCE,"ACF是等边三角形,求证：四边形ADEF是平行四边形.A图41(3)如图41(3)，已知"ABC,以AB、AC为边分别作等边三角形"ABD,"ACF，再以AD、AF为邻边作平行四边形ADEF，边三角形(3)如图41

17、(4)，已知"ABD,"BCE是等边三角形，A,F是CE,EB上一点，且CA=EB，求证：四边形ADFC是平行四边形42、(2007浙江台州)把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H(如图)试问线段HG与线段HB43、(2007江苏扬州)如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转no后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O(1) 以图中已标字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外)，要(2)若正方形的边长为2cm，重叠部分(四边形n.第43题图求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；4132AEOD)的面

18、积为cm2，求旋转的角度344. (2007甘肃陇南)四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.(1)求证：AE=CG;(2)观察图形，猜想并证明你的猜想.45. （2007淄博）已知：如图，在ABC中，AB=AC,AD丄BC,BDCN第45题图垂足为点D,AN是厶ABC外角/CAM的平分线,CE丄AN,垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.46. （05,青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC,M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BMCM的中点.求证：ABMADCM;四边形MENF是什么图形？

19、请证明你的结论；若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由47. (2007四川资阳)如图47(1)，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE丄BC于点E,PF丄CD于点F.(1) 求证：BP=DP;如图47(2),若四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?若是，请证明之；若不是，请举出反例；试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之(八) 函数的思想在本章中的运用48、（2007南充改编）等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,/C=30o

20、.M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动(1)设ND为X,用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围.(2) 设t=10-x，用t表示AMN的面积.(3) 求厶AMN的面积的最大值，并判断取最大值时AMN的形状.49. (2006泰州)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6,OC=10.(1) 如图1,在OA上取一点丘，将厶EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；(2) 如图2,在OA'、OC边上选取适当的点E'、F，将EOF沿EF折叠，使O点落在AB、边上的D点，过D作D'G/AO交E

21、F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE:(3) 在(2)的条件下，设T(x,y),探求：y与x之间的函数关系式并指出变量x的取值范围(4) 如图3,如果将矩形OABC变为平行四边形OA"B"C",使OC"=10,0C"边上的高等于6,其他条件均不变，探求：这时T(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系，若满足，请证明之;若不满足，写出你认为正确的函数关系式50.（08通州22改编）如图，在QABCD中，AB=8cm,AD=6cm,/DAB=60。，点M是边AD上一点，且DM=2cm,点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、

22、CD的延长线交于G,试用含x的代数式表示CGF的面积;当GF丄AD时，求AE的值.GC2八J72%AEB第50题图GF交AD于0,设AE=CF=x,B31（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）51沿特殊四边形的对角线折叠（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片ABCDAB=2/ADB=30，沿对角线BD折叠（使ABD和厶EBD落在同一平面内），则AE两点间的距离为1DC2第52题图第51题图52沿特殊四边形的对称轴折叠如图，已知矩形ABCD的边AB=2,ABMBC,矩形ABCD的面积为S,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为53使特殊四边形的对角顶点重合折叠（05,山东威海）

23、如图，梯形纸片ABCD/B=60°,AD/BC,AB=AD=2AE,则CE=BC=6将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为EE二AD'C'B第53题图第54题图第55题图54使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠如图，折叠矩形的一边CD,使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cmBC=8cn，则EC的长为.55使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠（崇文）如图，在梯形ABCD中，DC/AB,将梯形对折，使点D、C分别落cm.(1)56使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠A沿DK折叠，使它的顶点A在AB上的D、C处，折痕为EF,若CD=3cmEF=4cm则AD+BC=第5

24、6题图第57题图57使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（2）如图，有一块面积为1的正方形ABCDM、N分别为ADBC边的中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ,连结PQ.11A/S.jrfCEDAB（1求MP的长度；求证：以PQ为边长的正方形的面积等于3.58两次不同方式的折叠（06.淄博市）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠,BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上则/CBD的度数为（）C.小于90°D.不能确定A.大于90°B.等于90°59三次不同方式的折叠（03，山西）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN,如图；第二步：再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE,点B在MN上的对应点为B',得RtAAB'E,如图；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF,如图.利用展开图探究：厶AEF是什么三角形？证明你的结论；E39对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？并证明之.(十)动手操作实践60. (2007湖南怀化)如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请画出所有可能四边形并写出的它的名称61. (05枣庄,9分)如图1四边形ABCD是等腰梯形，AB/DC,由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边