阿波罗尼斯圆

1、阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为a,b,c，中线长分别为m,m,m,则：abc1b2+c2=a2+2m22a1a2+c2=b2+2m22ba2+b2=c2+2m22c二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数九（九北1）的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”不妨设A(a,0JBC,0JAP二入BP(a>0,九0,九H1)若设P(x,yJ则v'(x+aJ2+y2=九-aJ2+y

2、2化简得：X2+1'x-aX2-1丿轨迹为圆心a,0，丿半径为2九a九2-1的圆三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比九内分AB和外分AB所得的两个分点；2、直线CM平分ZACB，直线CN平分ZACB的外角;cAMAN3、=BMBN4、CM丄CN5、九1时，点B在圆O内；<X<1,点A在圆O内；6、若AC,AD是切线，则CD与AO的交点即为B；7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分ZEAF；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为血丰1）的内、外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A

3、,B两点的距离之比等于常数九。证明：不妨设九1设AB二a,过点B作圆O的与直径PQ垂直的弦CD，则a九aa九aAP=厂,BP二一,AQ=厂,BQ二一九+1九+1九一1九一1由相交弦定理及勾股定理得:BC2=BP-BQ=-a2a2X2尢21AC2=AB2+BC2=a2+=X21九21于是BC=a,AC=上,则兰=XX2一1X2一1BC从而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于X的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O上任意点到A,B两点距离之比等于常数。2、关于性质6的补充若已知圆O及圆O外一点A，则可作出与点A对应的点B，只要过点A作圆O两条切线，切点分别为C,D，连结C

4、D与AQ即交于点B。反之，可作出与点B对应的点A四、典型例题例1(教材例题)已知一曲线是与两个定点0(0,0)、A(3,0)距离的比为-的点的轨迹,2求此曲线的方程，并画出曲线。解：设点M(x,y)是曲线上任意一点，则X2+严二1，整理即得到该曲线的方程为：(x-3)2+y22(x+1)2+y2=4。例2(2003北京春季文)设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为(x,y)由凹=a(a>0),得-"x+C)2+戸=a1PB1(x-c)2+y2化间得(1a2)x2+2

5、c(1+a2)x+c2(1a2)+(1a2)y2=0.当a丰1时,得x2+2c(1+"2)x+c2+y2=0，整理得(xac)2+y2=(2ac)2-1a2a21a21当a=1时，化间得x=0.所以当a丰1时，P点的轨迹是以(聖也c,0)为圆心，丨丄伫I为半径的圆；a21a21当a=1时，P点的轨迹为y轴.例3（2005江苏高考数学）如图，圆O与圆O的半径都是1，12OO=4，过动点P分别作圆O.圆O的切线PM、PN（分别为切点），1 2_12M使得PM=PN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解：以oo的中点o为原点，oo所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，贝yo（-2,0

6、），0121212。1yM.。2X（2，0），由已知PM=J2PN，得PM2=2PN2+因为两圆的半径均为1,所以PO2-1=2(PO2-1).12设P(x,y)，则(x+2)2+y2-1二2(x-2)2+y2-1,即(x6)2+y2=33，所以所求轨迹方程为(x6)2+y2=33.(或x2+y212x+3=0)例4（2006四川高考理）已知两定点A（-2,0）、B（1,0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）(A)(B)4兀(C)8开(D)9开解：B例5（2008江苏高考）AABC中，AB=2,AC=2BC，则S的最大值为AABC答案：4变形：AABC

7、中，AB=4,CA:CB=5:3，则S的最大值为AABC例6设点A,B,C,D依次在同一直线上，AB=6,BC=3,CD=2，已知点P在直线AD外，满足ZAPB=ZBPC=ZCPD，试确定点P的几何位置。解：先作线段AC关于2：1的阿氏圆匕，再作线段BD关于3：2的阿氏圆匕，两圆交点即为点P，同时该点关于直线AD的对称点也为所求。例7（2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中线长为丫亍，则该三角形面积的最大值为a解法一如图4-1-了所臥以中錢助所在直线沟i轴.线段/W的中点0为坐标原点，建丑平面査角坐赫系，则点E/F坐标粼导oh又设血），则因点n是Ac中点/寻c（A一工，一F）,英中丁：&

8、gt;0,廡Y+歩，化简，得（1丄礬丫+由AC-.八艮寻（x+v+vinoK-r.H(jC牛其中山从而TW-克而的裔积$二再八所以当f=时，S3-'J解法二如图4-所示，以底酬?所在亚尝为X轴中点0为坐赫原点*建圧平面立角坐标系谴忒mJJ>.（Xmt0A（0sfi）s（mtn刈人则腰M；的申点U-ytYh由RD二民得勺；.ym+n2=3,曲基本J；等式捋斗4+-:-?r',从而tnnW2,囲为.】SC的酋积为A：HIH,所以最史值为2.解法三设普雁三角形AHC的底加辰为2?jh高0二丹.则腰AC=AB=丿异+宀由三角彫屮线长公式图4-1-92（Ai+BC2'）=4

9、iD2+AC1,得nt2+用+別，=丄，以下同解法二、解法四4-1-0所示记等膜三角母4M；的底边H；上的中线MfJ与腰上的中観畑相交于点仏则C为重灯，蒔W；二ii（；匕三一，/T,由HC.Cr的面曲*耳|2Rf；*atKITL1=.、-i;jjH（工Y4川忧的面积E二站=2问“所以最大值务2.解法五设顶角AHAC=亿两腰之长为Af：=AC：=2xff）为腰M中点，则在A內利用余弦定理，得512-4/fGsy=.则.=,S=lxsin05-4cijs0bsijjh5-4ti»(f整理f?A'.ni44,Sri)>W=化务i/36+I6S2fiiri(d+j)=55

10、87;从而由I玄IEl，得書W2,所以所求面积的骯丸值为工/36+16S1解法六由解法五得执甘)逻口19现由毗,3%停12；得当層m=-4c(hfJ(.S-4rsor.-StTS(U.)有最大值此时!-,in(J=,捋Shlui二2-解迭七由解法五得(；js帝=r从而sinfi=于是S=/(3-.Y2X9.r2-3)=-1-/-(.r2-5)2+16,所収当h二卫互时%2 2'3-2t解法八如图4-丨-y所示、记茅腰三角影1甌的底边腮'上的高为川人则kb=BA+忆&(斗庫+?M)+y</W)+斗曲')=+斗型,aIT”_”_»、加从jrBC2+-

11、OA2=31由基本不等式丫得I衣匚'丨*IOAI4f164所洪MEC的面S=-BCI可1纭即鼠大值是工例8(2013江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y二2x-4.设圆C的半径为1，圆心在/上.(1) 若圆心C也在直线y二x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：(1)联立：|y=X-1，得圆心为：C(3，2).y=2x-4设切线为：y=kx+3，d=r=1，得：k=0ork=1+k243故所求切线为：y=0ory=x+3.4(2)设点M(x，y)，由MA=2MO，知：、:x2

12、+(y一3)2=2对x2+y2,化间得：x2+(y+1)2=4，即：点M的轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1WICDIW3,其中|CD|=a2+(2a-3)2.解之得：0WaW5-例9圆O,圆O不等且外离，现有一点P，它对于圆O所张的视角与对于圆O所张的视角1212相等，试确定点P的几何位置答案：做圆O,圆O的内、外公切线，分别交连心线OO于点A,B，以线段AB为直径的圆1212，就是线段OO关于r:r的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。1212例10在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆x2+y2二4上任意一点到

13、A、B两点的距离之比为常数2?如果存在，求出点A、B坐标；如果不存在，请说明理由。解：假设在X轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆x2+y2二4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数1，设P(x,y)、A(x,O)、B(x,0)，其中x>x>0。21221即也x_卩型二1对满足x2+y2二4的任何实数对(x,y)恒成立，(x-x)2+y22整理得：2x(4x一x)+x2-4x2=3(x2+y2)，将x2+y2=4代入得：12212x(4x-x)+x2-4x2=12，这个式子对任意xe-2,2恒成立，所以一定有:122114x-x=0,匚,<12，因为x>x>0

14、，所以解得：x=1、x=4。Ix2-4x2=12211221所以，在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0)，使得圆x2+y2=4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数1。2例11铁路线上线段AB=100km，工厂C到铁路的距离CA=20km。现要在A、B之间某一点D处，向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处？解：建立如图所示直角坐标系，3X先求到定点A、C的距离之比为5的动点P(x,y)的轨迹方程，即：jx2+y2=3，整理即得动点x2+(y一20)25P(x,y)的轨迹方程：4x2+4y2+90y-900=0，令y=0，得x=±15(舍去正值)即得点D(-15,0)DA=15,DC=25。F面证明此点D即为所求点:自点B作CD延长线的垂线，垂足为E,在线段BA上任取点D,连接CD,再作DE丄BE1111于E。1设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k>0),则每吨货物运输1km的公路费用为5k，如果选址在D处，那么总运输费用为y二3kBD+5kDC=(3BD+5DC)k，11111而ABEDsAB