第二类换元法

1、第二类换元法第1页，共9页。第二类换元法第二类换元法思考：思考：求求 dxx11 该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑微分法的该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑微分法的类型。类型。 该积分该积分矛盾矛盾在于在于被积函数含有根式被积函数含有根式，为了，为了去掉根号去掉根号，我们可以做变量代换，令我们可以做变量代换，令tx 第2页，共9页。解解 令令tx 则则2tx tdtdx2 所以所以 dxx11 dttt12 dttt11)1(2 dtt)111(2Ctt )1ln(2上述用的变量代换求积分的方法就是上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法变量置换法。思考：思考：求求 dxx11

2、去根号去根号第二类换元法第二类换元法变量置换法变量置换法也称为也称为第二换元法第二换元法第3页，共9页。第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法)()(xdxf dxxg )(恒等变形（凑）恒等变形（凑）.)(CxF )(xu 代换代换duuf )(CuF )()(xu 回回代代dxxf )()(ux 令令duuuf)()( CuF )()(1xu 回回代代CxF )(1 第二类换元法第二类换元法 “先凑后换，不如不换先凑后换，不如不换” 一步到位一步到位 但有的问题还得先换但有的问题还得先换. 第4页，共9页。. 1nbax 被积函数含有根式被积函数含有根式dxx 11. 1求求例例

3、解解，令令ux )0(2 uuxududx2 dxx 11duuu 12duuu 11)1(2)111( 2duu Cuu )1ln(2Cxx )1ln(2回代回代使用第二类换元法的关键是合理地选择使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换变量代换：第5页，共9页。例例2 2 求求.132dxxx 解解令令6ux ,65duudx dxxx 321 431uuduu56 duuu 162duuu 11162duuu 1116Cuuu |)1|ln21(62Cxxx |1|ln663663nux 可采用令可采用令当被积函数含有两种或两种以上根式当被积函数含有两种或两种以上根式 时，时，. 2lk

4、xx,为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数） （其中（其中n回代回代第6页，共9页。2222. 3axxa 或或被积函数含有根式被积函数含有根式)0(322 adxxa求求例例解解, )2,2(sin uuax，令令 dx 22xauduaua coscosdxxa 22则则duua 22cosduua )2cos1(22Cuua )2sin21(22uax22xa ,sinaxu axau22cos uuucossin22sin 2222xaxa dxxa 22Cxaxaxa 22221arcsin2uacosuduacos第7页，共9页。说明：说明：以上三个例子所使用的均为以上三个例子所使用的均为三角代换三角代换. .三角代换的三角代换的目的目的是是化掉根式化掉根式. .一般规律如下：一般规律如下：22)1(xa 可令可令,sinuax 22)2(xa 可令可令,tanuax 22)3(ax 可令可令,secuax )2,2( u)2, 0( u)2,2( u当被积函数中含有当被积函数中含有第8页，共9页。例例4 4 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln