高中数学 3.3.1 几何概型同步学案 新人教A版ppt课件

1、3.3 几何概型几何概型3.3.1 几何概型几何概型自自 学学 导导 引引1.正确理解几何概型的概念正确理解几何概型的概念.2.掌握几何概型的概率公式掌握几何概型的概率公式.3.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型概型是古典概型还是几何概型.课课 前前 热热 身身1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积面积或体积或体积)成比例成比例,则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为_,简简称称_.2.在几何概型中在几何概型中,事件事件A的概率定义为的概率定义为

2、_,习惯上习惯上,用用A表示事件表示事件A的区域几何度量的区域几何度量,用用表示试验的全部结果所表示试验的全部结果所构成区域的几何度量构成区域的几何度量.几何概率模型几何概率模型 几何概型几何概型 ( )AP A名名 师师 讲讲 解解1.几何概型试验的两个基本特征几何概型试验的两个基本特征(1)无限性无限性,在一次试验中在一次试验中,可能出现的结果有无限多个可能出现的结果有无限多个;(2)等可能性等可能性,每个结果的发生具有等可能性每个结果的发生具有等可能性.2.几何概型的计算公式几何概型的计算公式几何概型的试验中几何概型的试验中,事件事件A的概率的概率P(A)只与子区域只与子区域A的几何度的

3、几何度量量(长度长度 面积或体积面积或体积)成正比成正比,而与而与A的位置和形状无关的位置和形状无关.因因此有此有 AP A 构成事件 的区域长度 面积或体积实验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积3.几何概型的计算步骤几何概型的计算步骤(1)判断几何概型判断几何概型,尤其是判断等可能性尤其是判断等可能性,比古典概型更难于判比古典概型更难于判断断.(2)计算基本事件空间与事件计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的所含的基本事件对应的区域的几何度量几何度量(长度长度 面积或体积面积或体积).这是计算的难点这是计算的难点,实际上教实际上教材重点不在于计数材重点不在于计数,而在于如何利

4、用几何概型而在于如何利用几何概型,把问题转化把问题转化为各种几何概型问题为各种几何概型问题,为此可参考如下办法为此可参考如下办法:适当选择观适当选择观察角度察角度;把基本事件空间转化为与之对应的区域把基本事件空间转化为与之对应的区域;对立对立事件逆向思维事件逆向思维;利用概率公式计算利用概率公式计算.典典 例例 剖剖 析析题型一题型一 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型例例1:取一根长为取一根长为5 m的绳子的绳子,拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断,那么剪得那么剪得两段的长都不少于两段的长都不少于2 m的概率有多大的概率有多大?分析分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件从每一个位

5、置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是剪断位置可以是长度为长度为5 m的绳子上的任意一点的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个其基本事件有无限多个,显然不能用古典概型计算显然不能用古典概型计算,可考虑运用几何概型计算可考虑运用几何概型计算.解解:如图所示如图所示.记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于2 m”为事件为事件A.把绳把绳子五等分子五等分,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时,事件事件A发生发生.由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的 所以事件所以事件A发生的概发生的概率率1,51( ).5P A 规律技巧规律技巧:解答本类问题的关

6、键是将基本事件的全部及其事解答本类问题的关键是将基本事件的全部及其事件件A包含的基本事件转化为相应的长度包含的基本事件转化为相应的长度,进而求解进而求解.变式训练变式训练1:某公共汽车站某公共汽车站,每隔每隔15分钟有一辆车发出分钟有一辆车发出,并且发并且发出前在车站停靠出前在车站停靠3分钟分钟.(1)求乘客到站候车不超过求乘客到站候车不超过10分钟的概率分钟的概率;(2)求乘客到达车站立即上车的概率求乘客到达车站立即上车的概率.解解:如图所示如图所示,设相邻两班车的发车时刻为设相邻两班车的发车时刻为T1,T2,T1T2=15.设设T0T2=3,TT0=10.(1)记记“乘客到站候车不超过乘客

7、到站候车不超过10分钟分钟”为事件为事件A,则当乘客到则当乘客到站时刻站时刻t落在落在TT0上时上时,候车时间不超过候车时间不超过10分钟分钟.故所求概率故所求概率 21 213( ).15TTP ATT(2)当当t落在落在T0T2上时上时,乘客立即上车乘客立即上车,故所求的概率故所求的概率 021 231.155T TPTT题型二题型二 与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型例例2:如图所示如图所示,在等腰在等腰RtABC中中,过直角顶点过直角顶点C在在ACB内内部作一条射线部作一条射线CM,与线段与线段AB交于点交于点M,求求AMAC的概率的概率.分析分析:在在AB上取点上取点C,使使A

8、C=AC,连接连接CC,则事件发生的区域则事件发生的区域为为ACC. A:ABACAC,CC,ACC67.5 .AACB18045267.53.90CM,ABM,4AMAC,90 ,67.5 ,P AA 解 在上取连接则设在内部作一条射线与线段交于点则规律技巧规律技巧:射线射线CM随机地落在随机地落在ACB内部内部,故故ACB为所有为所有试验结果构成的区域试验结果构成的区域,当射线当射线CM落在落在ACC内部内部时时,AMb0)的矩形内画一个梯的矩形内画一个梯形形,梯形上下底分别为梯形上下底分别为 ,高为高为b,向该矩形内随机投向该矩形内随机投一点一点,则所投的点落在梯形内部的概率为则所投的点

9、落在梯形内部的概率为( )1132aa与1157.321212ABCD解析解析:由几何概型知由几何概型知,所求的概率为梯形面积与矩形面积之比所求的概率为梯形面积与矩形面积之比,即即 1132552.1212aabababab答案答案:C3.设设A为圆周上一定点为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与在圆周上等可能地任取一点与A连接连接,求弦长超过半径的概率为求弦长超过半径的概率为( )1132.2343ABCD答案答案:D:,OB C,ABACOA,P3601202.3603BC,APOA.,解析 如图所示 在上取点 使则当点 在优弧上时 弦由几何概型知 所求概率为4.已知实数已知实数x,y

10、可以在可以在0 x2,0y2的条件下随机取数的条件下随机取数,那么那么取出的数对满足取出的数对满足x2+(y-1)21的概率是的概率是( ).48162ABCD答案答案:B解析解析:如下图所示如下图所示,x,y的取值在正方形的取值在正方形OABD内内,适合条件的适合条件的x,y在以在以(0,1)为圆心为圆心,半径为半径为1的半圆内的半圆内.因此由几何概型得因此由几何概型得, 2112.2 28P5.(2009福建福建)点点A为周长等于为周长等于3的圆周上的一个定点的圆周上的一个定点.若在该若在该圆周上随机取一点圆周上随机取一点B,则劣弧则劣弧 的长度小于的长度小于1的概率为的概率为_.AB 解

11、析解析:把圆周三等分把圆周三等分,每份的弧长都等于每份的弧长都等于1.如下图如下图,当点当点B在优在优弧弧 上时都满足题意上时都满足题意,故所求的概率为故所求的概率为P= .CAD6.如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCD中中,AB=3 cm,BC=2cm,在图形上随在图形上随机撒一粒黄豆机撒一粒黄豆,则黄豆落在圆内则黄豆落在圆内(阴影部分阴影部分)的概率是的概率是_.621.3 2,6:SPS圆矩形解析 由几何概型得7.在在1000 mL水中有一个草履虫水中有一个草履虫,现从中随机取出现从中随机取出3 mL水样水样放到显微镜下观察放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是则发现草履虫的概率是_.

12、31000:,3.1000P 解析 由几何概型知8.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影则它落到阴影部分的概率是部分的概率是_.12222:r,2rrr ,r ,R121.rP解析 设圆的半径为 则阴影部分的面积为圆的面积为因此所求概率为能力提升能力提升9.如图如图,平面上一长平面上一长12 cm,宽宽10 cm的矩形的矩形ABCD内有一半径内有一半径为为1 cm的圆的圆O(圆心圆心O在矩形对角线交点处在矩形对角线交点处).把一枚半径把一枚半径1 cm的硬币任意掷矩形内的硬币任意掷矩形内(硬币完全落在矩形内硬币完全落在矩形内),则硬币不则硬

13、币不与圆与圆O相碰的概率为相碰的概率为_.120解析解析:由题意可知由题意可知,只有硬币中心投在阴影部分时才符合要求只有硬币中心投在阴影部分时才符合要求.28 1021.8 10P02 所以不与圆相碰的概率10.一个路口的红绿灯一个路口的红绿灯,红灯的时间为红灯的时间为30秒秒,黄灯的时间为黄灯的时间为5秒秒,绿灯的时间为绿灯的时间为40秒秒,当你到达路口时当你到达路口时,看见下列三种情况的看见下列三种情况的概率各是多少概率各是多少?(1)红灯红灯;(2)黄灯黄灯;(3)不是红灯不是红灯. :,75.130, 25,3,302.75551.7515231.55解 因为绿灯红灯黄灯不停地交替 轮换一次需时间秒红灯亮的时间长是秒 故所求概率为黄灯亮的时间长为 秒 故所求概率为不是红灯的对立事件是红灯因此不是红灯的概率为品味高考品味高考11.(2009辽