理)二轮复习精品同步：第1部分重点保分题：教师用书：题型专题(9)基本初等函数、函数与方程(通用版)

1、题型专题(九)基本初等函数、函数与方程高兰常兰这些点*硏透常考题型.兰題干娈难离左右E1M基本初等函数的图象与性质师说考点1. 指数与对数式的8个运算公式mnm+n(1) aa=a,m、n_mn(a)=a,(3)(ab)m=ambm.其中，a>0,b>0.loga(MN)=logaM+logaN,M,(5) logaN=logaMlogaN,(6) logaMn=nlogaM,(7) alogaN=N,(8)logaN=logbNlogbaa>0且a丰1,b>0且1,M>0,N>0.2. 指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y=ax(a>0,a*1)

2、与对数函数y=logax(a>0,a*1)的图象和性质，分0<a<1,a>1两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.421典例(1)(2019全国丙卷)已知a=23,b=45,c=253，则()A. b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b424解析选A因为a=23,b=45=25,由函数y=2x在R上为增函数知，b<a;又因为a42122=23=43,c=253=53,由函数y=x3在(0,+)上为增函数知，a<c.综上得b&

3、lt;a<c.故选A.a(2) 在同一直角坐标系中，函数f(x)=x(x>0),g(x)=logax的图象可能是()a解析选D当a>1时，函数f(x)=x(x>0)单调递增，函数g(x)=logax单调递增，且过点(1,0)，由幕函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)=xa(x>0)单调递增，函数g(x)=logax单调递减，且过点（1,0），排除A，又由幕函数的图象性质可知B错，因此选D.类题通法3招破解指数、对数、幕函数值的大小比较问题（1）底数相同，指数不同的幕用指数函数的单调性进行比较.底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性

4、比较.（3）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.演练冲关1. （2019贵州模拟）函数y=ax+2-1（a>0且1）的图象恒过的点是（）A.（0,0）B.（0，-1）C.（-2,0）D.（2,-1）解析：选C令x+2=0,x=-2,得f（-2）=a0-1=0，所以y=ax+2-1（a>0,a丰1）的图象恒过点（2,0）,选项C正确.2. （2019州模拟）设a=log37,b=21.1,c=0.83.1，则（）A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b111310解析：选

5、D1=log33<a=log37<log39=2,b=2.>2=2,c=0.8.<0.8=1,所以c<a<b.5ba小”3. （2019浙江高考）已知a>b>1，若logab+logba=?,a=b,贝Va=,b=解析：,15-logab+logba=logab+卧匕2,、1-logab=2或a>b>1,：logabvlogaa=1,-logab=",-a=b2./a=b，二(b)=bb，即b=bb,2b=b2,.b=2,a=4.答案：42函数的实际应用典例（2019四川高考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该

6、公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30）A.2019年B.2019年C.2020年D.2021年解析选B建立不等式求解.设2019年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元.由130(1+12%)n>200,得1.12n>栄，两边取常用对数，得n>lgj；雪.30.30；纠1=曽，n>4,从2019年开13lg1.120.055始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.类题通法应用函数

7、模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1) 一般程序：TW7F：SEW用凡数学应川厂花验件粹-e(2) 解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.演练冲关1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1000元，则调运方案的种数为()A.1B.2C.3D.4解析

8、：选C设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往A地12(8x)=(x+4)台电脑(0<x<6,xN).则总运费y=30x+40(6x)+50(8x)+80(x+4)=20x+960,二y=20x+960(xN,0<x<6).若yW1000,则20x+960W1000,得x<2又0Wx<6,xN,x=0,1,2，即有3种调运方案.2 .某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为12G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)=§x+10x;当年产量不小于

9、80千件时，G(x)=51x+100001450.已知每件产品的售价为0.05万元.通过市场分析，该工厂生产的产x品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是()A.1150万元B.1000万元C.950万元D.900万元解析：选B每件产品的售价为0.05万元，x千件产品的销售额为0.05X1000x=50x121212万元.当0<x<80时，年利润L(x)=50x3X210x250=-x2+40x250=-(x-60)2+3 33950,a当x=60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)=950万元；当x>80时，L(x)=50x10000/10000

10、/1000051x+1450250=1200x+<12002-；x=1200200=1000,当且仅当x=10°00,即x=100时，L(x)取得最大值1000万元.由于950<1000,a当产量为x1000万元.故选B.100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为典例(1)(2019郑州模拟)已知函数f(x)=COSx，则f(x)在0,2n上的零点个数为咼寺器的是题目*不蛮的是知识"交汇创新题只不过是栽本的改嚴而已A.1B.2C.3D.4解析选C作出g(x)=函数的零点与其他知识的交汇1. 确定函数零点的常用方法解方程法；利用零点存在性定

11、理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.2 有关函数的零点问题已成为近年高考命题的一个热点而函数的零点与函数性质、不等式、方程根的交汇成为高考的命题方向.与h(x)=cosx的图象，可以看到其在0,2n上的交点个数为3,所以函数f(x)在0,2n上的零点个数为3,故选C.|x|,x<m,一(2)(2019山东高考)已知函数f(x)=f2其中m>0若存在实数b,使得x2mx+4m,x>m,关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，贝Um的取值范围是.解析作出f(x)的图象如图所示.m.1-皿qmx当x>m时，x22mx+4m=(xm)2+4mm2,A要使方程f(x)

12、=b有三个不同的根，则4mm2<m,即卩m23m>0又m>0，解得m>3.答案(3,+R)类题通法利用函数零点求参数值(范围)的3种方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.演练冲关1 .函数f(x)=log3X-x+2必有一个零点的区间是()A.93C.5,7D.9解析：选A因为f(x)=gxx+2,所以f£=g*9+2=-2£+2=-3<°，fg=log33-3+2=13+2=3>0，即f9彳3<0，所

13、以函数f(x)=log3Xx+2在£gj上必有个零点.22. 函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()xA.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析：选C因为f(x)在(1,2)内单调递增，依题意有f(1)-f(2)<0,所以(-a)(3-a)<0,所以0<a<3，应选C.3 .(2019郑州质检)已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，当0<x<1时，f(x)=Iog1x,则方程f(x)-1=0在(0,6)内的所有根之和为()2A.8B.10C.12D.16解析：选C奇函数f

14、(x)的图象关于直线x=1对称，f(x)=f(2-x)=-f(-x),即卩f(x)=-f(x+2)=f(x+4),f(x)是周期函数，其周期T=4当0<XW1时，f(x)=log1x,故f(x)在(0,26)上的函数图象如图所示.由图可知方程f(x)1=0在(0,6)内的根共有4个，其和为X1+X2+X3+X4=2+10=12,故选C.臺习糾目目鬭J,y32LnIw1,kAiiKi>/!W!-1-2£世巧iii1PfhIkkpIppl1lIlhiIhUb*三级提能睿分坏A级一一常考点落实练11.函数yN!og0.s(4x-3)的定义域为(解析：选A要使函数有意义需满足A.

15、关于x轴对称B.关于原点对称代3,1C.(1,+)D.4，1U(1,+)4x3>0,3解得3<x<1.Jog0.5(4x3)>0,42 .(2019广西质检)若xlog*2>1，则函数f(x)=4.函数f(x)=x2lgx+i的图象()I2x2X2lg二=x2lg=f(x)，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选x2x+26.(2019沈阳模拟)若函数y=logax(a>0,且a工1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是()2x+13的最小值为()A.4B.3C.1D.0解析：选Axlog52>1，二2x>*.则f(x)=4x2

16、x+13=(2x)22X2x3=(2x1)24,当2x=1时，f(x)取得最小值4.3. 函数f(x)=ex+x2(e为自然对数的底数)的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解析：选B函数f(x)=ex+x2在R上是增函数，且f(0)=1<0,f(1)=e1>0,f(0)f(1)<0,可得函数f(x)=ex+x2在(0,1)上有唯一零点，故选B.4 .(2019唐山模拟)若函数f(x)=lg(mx+,x2+1)为奇函数，则m=()A.1B.1C.1或1D.0解析：选C因为函数f(x)为奇函数，所以lg(mx+x2+1)=lg(mx+x2+1)，即mx+Qx2+1=12，整理

17、得x2=m2x2,所以m2=1，所以m=±1,故选C.mx+寸x+1B.C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称x2解析：选B因为f(x)=x2lg，所以其定义域为(一8，2)U(2，+)，所以f(x)=x+2解析：选B由函数y=logax(a>0,且1)的图象可知，a=3,所以y=3：y=(x)3=x3及y=log3(x)均为减函数，只有y=x3是增函数，选B.7.若函数f(x)=m+log2x(x>1)存在零点，则实数m的取值范围是()A.(8,0B.0,+)C.(8,0)D.(0,+8)解析：选Am=log2x(x>1)存在零点，贝Um的范围即为函数y=log2

18、x(x>1)的值域,/mW0.8.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p+2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%，则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元解析：选D设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有280%P%+(x-280)(P+2)%(p+0.25)%，解得x=320故该公司的年收入为320万元.9.(2019全国乙卷)若a>b>0,0vcv1,贝U()A.logacvlogbcB.logcavlogcbC.acvbcd.ca>cb解析：选B法一：

19、因为0vcv1,所以y=logcx在(0,+s)上单调递减，又0vbva,所1142=2>2°，排除C;y=10lg%的定义域和值域相以logcavlogcb，故选B.1111法二：取a=4,b=2,c=3，则log4=>log2-，排除1排除D.故选B.B级一一易错点清零练1.(2019全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=±解析：选D函数y=10lgx的定义域与值域均为(0,+8).函数y=x的定义域与值域均为(8,+8).函数y=lgx的定义域为(0,+s)，值域为(8,+).函数y=2x的定义

20、域为(8,+8)，值域为(0,+8).1函数y=1的定义域与值域均为(0,+8).故选d.b=,c=23，则(x2.(2019广州五校联考)设a=logi3,2A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析：选ATa=log13<log12=1,22GV2门丫100<b=3<3=1，c=23>»1,/a<b<c.3. 两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：2f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=lOg2X,f4

21、(X)=log2(2x),则“同根函数”是()A.f2(X)与f4(X)B.f1(X)与f3(X)C.f1(x)与f4(x)D.f3(x)与f4(x)解析：选Af4(x)=log2(2x)=1+lOg2X,f2(x)=log2(x+2)，将f2(x)的图象沿着X轴先向右平移2个单位得到y=log2X的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4 .已知函数f(x)=2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2,+8)上是增函数，则m的取值范围是.解析：令t=|2xm|,贝Ut=|2xm|在区间罗,+8,上单调递增，在区间(一8,等上单调递减.而

22、y=2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)=2|2xm|在2,+8)上单调递增，则有m<2,即卩mW4,所以m的取值范围是(一8,4.答案：(8,4C级“12+4”高考练一、选择题1.(2019贵州模拟)幕函数y=f(x)的图象经过点(3,'3)，则f(x)是()A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数B. 偶函数，且在(0,+8)上是减函数C. 奇函数，且在(0,+8)上是减函数D.非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数1-解析：选D设幕函数f(x)=xa,则f(3)=3a=.3解得a=2,则f(x)=x2=,x,是非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数.2.（2019湖南

23、东部六校联考）函数y=lg|x|（）A是偶函数，在区间（0,0）上单调递增B.是偶函数，在区间（一0，0）上单调递减C. 是奇函数，在区间（0,+0）上单调递增D. 是奇函数，在区间（0,+0）上单调递减解析：选B因为lg|x|=lg|x|,所以函数y=lg|x|为偶函数，又函数y=lg|x|在区间（0,+0）上单调递增，由其图象关于y轴对称可得，y=lg|x|在区间（一0,0）上单调递减，故选B.3 .一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s=*2米，那么，此人（）A.可在7秒内追

24、上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米11解析：选D车与人的间距d=（s+25）6t=-t26t+25=q（t6）2+7当t=6时，d取得最小值7.故选D.64. 已知函数f（x）=6log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2,4）D.（4，+0）31解析：选C因为f（1）=6log21=6>0，f（2）=3log22=2>0，f（4）="log24=_<0，所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4）.5. （2019河南焦作一模）若函数y=a|x|（

25、a>0，且1）的值域为y|0<y<1，则函数y=loga|x|的图象大致是（）解析：选A若函数y=a|x|（a>0,且a1）的值域为y|0<yw1，则0<a<1，由此可知y=loga|x|的图象大致是A.2e，x<2，6. （2019河北五校联考）函数f（x）=/2、则不等式f（x）>2的解集为（）Ilog3（x1），x>2，C.(1,2)U(.10,+s)D.(.10,+)解析：选C令2ex1>2(x<2)，解得1<x<2;令log3(x2-1)>2(x>2),解得x>10,故选C.7. (

26、2019北京模拟)已知函数f(x)=ax,其中a>0,且1,如果以P%,f(xj),Qgf(x0)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x”f(x0等于()2A.1B.aC.2D.a2解析：选AT以P(X1,f(xj),Q(X2,f(X2)为端点的线段的中点在y轴上，X1+X2=0,又Tf(x)=ax,f(x1)f(x2)=ax1ax2=ax1+x2=a°=1，故选A.8. (2019石家庄一模)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，当x(0,)时，f(x)=log2X,若a=f(3),b=f4,c=f(2)，贝Va,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b

27、>a>cC.c>a>bD.a>c>b解析：选D由函数y=f(x)的图象关于x=0对称，得y=f(x)是偶函数.当x(0,+)时，f(x)=log2X单调递增，又a=f(3)=f(3)，所以a>c>b，选项D正确.9. (2019西四校联考)已知函数f(x)满足：定义域为R;？xR,都有f(x+2)=f(x);1当x1,1时，f(x)=|x|+1则方程f(x)=?log2|x|在区间3,5内解的个数是()A.5B.6C.7D.81解析：选A画出y1=f(x),y2=?log2XI的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.10. (2019兰州模拟

28、)已知命题： 函数y=2X(Kx<1)的值域是22； 为了得到函数y=sin*x-才丿的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移寸个单位长度； 当n=0或n=1时，幕函数y=xn的图象都是一条直线； 已知函数f(x)=|log2x|，若a工b，且f(a)=f(b)，则ab=1.其中正确的命题是()A.B.C.D._n解析：选B：由f(x)=2x在R上单调递增可知正确；：应向右平移个单位长度,6故错误；：当n=0时，y=xn的图象应为直线y=1去掉点(0,1)，故错误；：/a丰b,'Iog2a=log2b,log2a+Iog2b=0,Iog2(ab)=0,ab=1,故正

29、确.二正确的命题为，故选B.11. (2019海口调研)若关于x的方程|x4x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为(B.0,427D.27,3解析：选A依题意，注意到x=0是方程|x4x3|=ax的一个根.当x>0时，a=|x3x2|,记f(x)=x3x2,则有f'(x)=3x22x,易知f(x)=x3x2在区间0,2上单调递减，在区间(8,0),舟，+上单调递增又f(1)=0,因此g(x)=|xx=下(X)Hx>0,的图象如|f(x)|,x<0图所示,由题意得直线y=a与函数y=g(x)的图象有3个不同的交点时，a0,寺，选A.12.(2019西两市联考)对于函数f(x)和g(x)，设ax|f(x)=0,3在a,3,使得|a3|W1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数与g(x)=x2axa+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(x|g(x)=0，若存f(x)=ex_1+x2A.2,4B.2,7C.J,3D2