Z09_劳斯判据

1、第9节 稳定性分析（劳斯判据）稳定性分析（劳斯判据）1 稳定性的基本概念2 劳斯稳定判据3 奈氏判据前曲稳定临界不稳定9.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念stableunstable 系统在扰动作用下，动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，称系统稳定； 否则，系统动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定。Example of unstable system跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。1950 Tacoma BridgeBecause its engines

2、have no moving parts, X-43A is taken 12,000 meters (40,000 ft) into the sky on a B-52 jet, and launched from a Pegasus booster rocket in order to get going fast enough for the scramjets to operate 绝对稳定性绝对稳定性相对稳定性稳定或不稳定稳定的程度开环不稳开环不稳定系统定系统feedback闭环稳定系闭环稳定系统统闭环控制的优点闭环控制也能让开环稳定系统变成不稳定稳定性研究的历史 1868 J.C.

3、Maxwell 对调节器进行对调节器进行了模型研究，提出了稳定性条件了模型研究，提出了稳定性条件 1877 E.J.Routh得到了稳定性的代数判据得到了稳定性的代数判据 1893 Lyapunov 研究了动态系统的稳定性理论研究了动态系统的稳定性理论 1932 Nyquist 发展了稳定性的判别方法发展了稳定性的判别方法 系统的稳定性可以分为大范围稳定系统的稳定性可以分为大范围稳定和小范围稳定。和小范围稳定。 对于线性的稳定系统必须在大范围对于线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。而非线性系统则可和小范围内都稳定。而非线性系统则可能在小范围内稳定，大范围内不稳定。能在小范围内稳定，大范

4、围内不稳定。系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件( )( )( )()()()iiiiiC sB sR sspsjsj系统在脉冲信号下的响应为( )(cossin)iip ttiiiiic tceeAtBt 当pi和i都为负值时,随时间趋于无穷,响应趋于零.系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的根全部具有负实部, 或系统的极点全部在S平面左半部若特征根在若特征根在S右半平面，则系统不稳定。右半平面，则系统不稳定。若特征根在虚轴上，则系统临界稳定。若特征根在虚轴上，则系统临界稳定。9.2 劳斯稳定判据 劳斯判据是根据系统特征方程的系数来判断系统是否稳定.这是个数学问题！系统稳定的必要条

5、件:特征方程的系数全部为正,且不为零.120121( )nnnnnD sa sa sa sasa特征方程特征方程024113511232121101nnnsaaasaaasbbbseesfsg劳斯阵列120311140521a aa abaa aa aba120311140521a aa abaa aa aba 分母为该元素上一行第一列元素; 分子为上两行第一列元素和后一列两个元素交叉乘积之差劳斯判据: 系统稳定的充分必要条件为劳斯阵列的第一列元素不改变符号. 若第一列元素改变符号,则系统不稳定.且符号改变的次数等于正实根的个数.例43223450ssss432101352402 3 1 42

6、 5 1 015221 42 56015sssss 分析如下系统在稳定的情况下，系数分析如下系统在稳定的情况下，系数满足的条件满足的条件20120a sa sa0120,0,0aaa32101230a sa sa sa01212030,0,0aaaa aa a， 特例1: 劳斯阵列某一行的第一列元素为零,其余各项不为零.解决办法：用很小的正数代替零元素,继续计算,完成阵列4321013126001621sssss 43223610ssss 例: 特例2:某一行元素全部为零解决办法：用该行上一行元素构成辅助多项式,取辅助多项式的一阶导数所得到的系数代替零行543255660sssss543210

7560.406ssssss42356410ssss辅助多项式求导例: 在这种情况下，系统有特征方在这种情况下，系统有特征方程的根在虚轴上。程的根在虚轴上。 求解辅助方程可以求得在虚轴上求解辅助方程可以求得在虚轴上的根的大小。的根的大小。劳斯稳定判据的应用劳斯稳定判据的应用2(1)(2)Ks sss 确定使系统稳定的确定使系统稳定的K值范围值范围2(1)(2)Ks sssK 闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程4323320ssss K43210133207392070sKssKsKsK1408KK的取值范围的取值范围9.3 乃奎斯特判据（前曲） 利用系统的开环频率特

8、性确定系统闭环以后的稳定性 柯西是法国数学家柯西是法国数学家.1789.1789年年 - 1857- 1857年年 一生发表了一生发表了789789篇论文，出版专著篇论文，出版专著7 7本，全集本，全集共有十四开本共有十四开本2424卷卷 柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法清晰和严格的表述与证明方法. .另一个重要另一个重要贡献，是发展了复变函数的理论贡献，是发展了复变函数的理论. . 数学中以他的姓名命名的有：柯西积分、柯数学中以他的姓名命名的有：柯西积分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函数、西公式、柯西不等式、柯西定

9、理、柯西函数、柯西矩阵、柯西变换、柯西准则柯西矩阵、柯西变换、柯西准则. . 1. 映射定理映射定理1( )(2)(3)sF sss123bacps试验点试验点1()(2)(3)ppppsF sss如何求如何求F(sp)的幅值和相角的幅值和相角?1()(2)(3)ppppsF sss幅值幅值cMa b相角相角123ps( )F s()pF s映射映射s planeF(s) plane s 平面的封闭轨迹映射为平面的封闭轨迹映射为F(s) 平平面上的封闭轨迹面上的封闭轨迹Sp保角变换保角变换 s 平面包围平面包围1个零点个零点ABDCF(s) 平面映射轨迹平面映射轨迹 S平面顺时针包围零点的轨迹映射为平面顺时针包围零点的轨迹映射为F(s)平面顺时针包围原点的轨迹。平面顺时针包围原点的轨迹。 ABDC s 平面包围一个极点平面包围一个极点F(s) 平面映射轨迹平面映射轨迹 S平面顺时针包围极点的轨迹映射为平面顺时针包围极点的轨迹映射为F(s)平面逆时针包围原点的轨迹。平面逆时针包围原点的轨迹。 ABDC轨迹不包围极零点轨迹不包围极零点F(s) 平面映射轨迹平面映射轨迹Cauchys theorem S平面顺时针包围平面顺时针包围 P 个极点和个极点和 Z个零点的个零点的轨迹映射为轨迹映射为F(s) 平面以顺时针包围原点平面以顺时针包围原点N=Z-P的轨迹的轨迹幅角