求函数极限的方法和技巧

1、求函数极限的方法和技巧在数学分析和彳积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本，力图在方法的正文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合确灵活运用方面，对读者有所助益。一、求函数极限的方法1、运用极限的定义：例：用极限定义证明:x2-3x2彳二1x2-3x21-2x24x+4x-22x-2x-2Vs0,取6则当0x2xo时,e型)0例：求limx2x3x2-16x20解:原式=!如32x7x16x12x3-3x2-10x(2x2-6x-20)x35x26x(2x210x12)-2lim(x2)(x

2、2-3x-10)x2(x2)(x25x6)2(x-3x-10)=lim2=limx(x25x6)x，N(x2)(x3)(x-5)(x2)x-5=limx芦x34、通分法（适用于例:求lim(-x24解:06型)U)-x22-x4-(2x)(2x)(2-x)=lim(2-x)=lim，x2(2x)(2-x)x22x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量和有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f（x）、g（x）满足：（I）limf(x)=0(II)xTg(x)x0例：求下列函数的极限xecosx5ln(1x)(1)、lim2(2)lim-x01xln(1-x)x0xxK解：由于x=0属于初等函

3、数f(x)=e,c0sx5的定义域之内1x2ln(1-x)故由函数的连续性定义有:_xecosx5lim2J01xln(1-x)1=ln(1,x)x1令x=(1x)x故有:ln(1x)=limQln(1x)x=ln(lim(1x)x)=lne=110、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型)特别地有:lxk-1mllim-=一m、x1-nkx1例：求下列函数极限1-nxlimi(m、nWN)x11-mxn、k、l为正整数。Dlim(2)x1x二2x1解：令t=呻x则当xT1时tT1,于.1-tm(1-t)(1tt2原式=lim=limnt11-tnt1(1-t)(1tt2tn4)

4、日-tm4)由于lim(-)x1=lim(1x二2x1x-二2x1)x12x11ntt,11=贝Ux+1=+2tt2lim(2x-)x1=lim(12)x1=lim(1t)2x2x1x-.，2x-1t-0定理：设在X0的某空心邻有：limg(x)=limh(x)=A,则极限xT()X0域内恒有g(x)X0&h(x),且f(x)=A例:limJa(a1,n0)解:当x1时，存在唯一的正整数k,使nX于是当n0时有：1a(k1)nknXXa&x二ak及limkn(k1)n1明工.kn1二下a1-=0-=0anXlim-=0xa12、用左右极限和极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求

5、极限等情形)。定理：函数极限limf(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限limf(x)及xNxXq-右极限limf(x)都存在且都等于A。即有：xxolimf(x)=A：=limf(x)=limf(x)=AX及X_XoxJXq.1-2e,x0X：0一-1lim.f(x)=lim/X_X)=limNx-1)xQX0xX)0由limf(x)=limf(x)=-1limf(x)=-1x0-x0-X0又Vlimf(x)=limX/=lim(&-1)=0X1-X1-、xx1一limf(x)=lim+x2=1由f(1-0)f(1+0),limf(x)不存在X1X1x)113、罗比塔法则(适用于未定式极

6、限)定理：若(i)limf(x)=0,limg(x)=0x_X0x_X0(ii)f与g在Xo的某空心邻域u(xo)内可导，且g(x)#0(iii)lim匚凶=A(A可为实数，也可为士g或电),则x阀g(x)limiimdAx两g(x)x凶g(x)此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。0注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：一、,0二，一1、要注意条件，也就是说，在没有化为0,时不可求导。0二2、使用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否

7、则会引起错误。4、当lim工0不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极xag(x)限须用另外方法。例：求下列函数的极限ex-(12x)2lnxlime-(12j)limW(a0,x0)x0ln(1x2)x二xa解：令f(x)=ex-(1+2x)/2,g(x)=ln(1+x2)f(x)=ex-(1+2x),2,g(x)=2x1x22(1-x2)一(1x2)2由limlnx=0,limxa=00x)二：x)二二qQ故此例属于二型，由罗比塔法则有:OOf”(x)=ex+(1+2x)_2,g(x)由于f(0)=f(0)=0,g(0)=g(0)=0但f(0)=2,g(0)=2从而运用罗比塔法

8、则两次后得到ex(1+2x)/ex(1+2x)T2ex+(1+2x)+22lim2=lim二二lim2=1x0ln(1x)x02xx。2(1-x)21x2(1x2)2.lnx.x.1lim=lim-z-r=lim-r=0(a0,x0)x二xax-axaJx,二axa14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说,列为常用的展开式：使用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下2、3、2!3xsinx=x一一3!2cosx=12!no(xn)n!4、ln(1x)=x-55!4x+4!2x十22n(-1)nJLxo(x2n)(2n-1)!2n(-1)no(x2n1)(2n)!n(-1)nJ-o(xn)5、

9、(1+x)=1+ax+巴-)x22!n:(二-1)(二n1)n/n、-xo(x)n!1=1xx2-xn1-xo(xn)上述展开式中的符号o(xn)都有：lim空J=0xwx例：求limxQ.a2x-ax.(a0)解：利用泰勒公式，当xt0有0+x=1+-+o(x)2.a2xf/ax=lXmo刊mo1四1/2x1x/()o(x)-1-o(x)2a2a.a2a=limx0xx1刈21a二lim-a-x0xo(x)15、利用拉格朗日中值定理在闭区间上连续；(II)f在(a,b)内可定理：若函数f满足如下条件：(I)f导则在(a,b)内至少存在一点;，使得f(七)=f(b)f(a),此式变形可为:b-

10、af(b-=f(a-(b-a)(0：二1)b-axsinx例：求lime-eJ0x-sinx解：令f(x)=ex对它使用中值定理得ex-esinx=f(x)-f(sinx)=(x-sinx)f(sinxi(x-sinx)(0:二：二1)xsinx_e-e，一即：e一e=f(sinxTx-sinx)(0；：1)x-sinx_x丫f(x)=e连续二limf(sinx+8(xsinx)=f(0)=1x_0xsinxe-e)从而有：lim=1x，0x-sinx16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若：,ambn(a。:0,b0:0)mmP(x)a0xaxR(x)=nn-3Q(x)b0xb1x

11、(I)当xt比时，有limPx)=limx-:Q(x)x，二mm-1a0xaxbxnb1xn4,ambnab0=*0CO(II)当xt0时有:若Q(x0);0若Q(x0)=0若Q(x0)=0muP(x)P(x0)则lim=x-Q(x)Q(x0)P(x)而P(x0)#0则lim笛x。Q(x)P(x0)=0,则分别考虑若x0为P(x)=0的s重根,即：P(x)=(x-x)sP1(x)也为Q(x)=0的r重根，即:Q(x)=(xx)rQ1(x)可得结论如下：sr_.P(x).(X-Xo)R(x)lim=limx两Q(x)x凶Qi(x),P(xo)=Qi(xo)oO,s=r,s014-x2_4xcosusinu=limu0s