知识讲解离散型随机变量的均值与方差理基础

1、离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1 .理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的 分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2 .理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量 的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1定义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为一P一则称E X1Pl X2 P2XnPn为 的均值或数学期望，简称期望.要点诠释：(1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均 水平.(2) 一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中

2、，令 P1 P2Pn ,则有Pl P2Pn L E (% X2Xn) L所以的数学期望又称为平均数、均值。 nn(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.2.性质：E( ) E E ;若 ab (& b是常数)，是随机变量，则 也是随机变量，有E(a b) aE b;E(a b) aEb的推导过程如下：的分布列为P于是 E (ax1 b)p1 (ax2b) p2 (axi b) pi= a(pi X2P2X Pi)b(Pi P2Pi)=aE bE(a b) aE b。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1 .一组数据的方差的概念:已知一组数据Xi, X2,，Xn,它们的平均值为

3、X,那么各数据与X的差的平方的平 均数S2 - (Xi X)2 + (X2 X)2+ (Xn X)2叫做这组数据的方差。 n2 .离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称D = (XiE )2pi+(X2 E )2P2 + ,，, +(XnE )2Pi+称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望.D的算术平方根、D叫做随机变量 的标准差，记作 .要点诠释：随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量 的方差、标准差也是随机变量 己的特征数，它们都反映了随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度；方差(标准差)越小，随机变量的取值就越稳定(越靠 近

4、平均值).标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3 .期望和方差的关系:4 .方差的性质:若 a b(a b是常数)，是随机变量，则 也是随机变量，D D(a b) a2D ;要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则期望E p方差 D p(1 p).证明：: P( 0) q,P( 1) p,0 p 1, p q 1 . E 0 q 1 p p2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为n,p的二项分布，即 B(n, P),则期望E nP方差 D np(1- p)期望公式证明：k kn k - k k n k P( k) Cnp (

5、1 p)Cn p q ,k k n k k Cn p q.l 0 八0 0 n11nle2 2 2 n 2e e E0CnPq 1 CnPq 2gpq又二 kCnn!n (n 1)!k!(n k)! (k 1)!(n 1) (k 1)!0 0n-c11 n 2k 1 k 1 (n 1) (k 1)n 1 n 1 0 xnp(Cn 1P q + Cn 1 p q + +Cnpq<+Cnp q )np(p q)n1 np .3、几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为 p,事件A第一次发生时所 做的试验次数 是随机变量，且P( k) (1 p)k1p, k 0,123,

6、|”,"，称离散型随机 变量 服从几何分布，记作： P( k) g(k, P)。若离散型随机变量 服从几何分布，且P( k) g(k, P),则1期望E 1 . p1- p方差D-2p要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度 去验证。4、超几何分布:若离散型随机变量 服从参数为N,M,n的超几何分布，则期望E()nMN要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量 的期望、方差、标准差的基本步骤:理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；P一根据分布列，由期望、方差的定义求出 E、D、：6.注意：常见分布

7、列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可.2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量1和2,当需要了解他们的平均水平时，可比较 E 1和E 2的大小。2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D 2,方差值大时，则表明己比较离散，反之，则表明士比较集中.品种的优劣、仪器的好 坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关.【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望

8、例1.某射手射击所得环数 己的分布列如下：78910Px0.10.3y已知己的期望EE =8.9,则y的值为.【思路点拨】分布列中含有字母 x、y,应先根据分布列的性质，求出 x、y的值，再利用期望的定义求解；【解析】x+ 0.1 + 0.3+ y=1,即 x+ y= 0.6又 7x+ 0.8+ 2.7+ 10y= 8.9,化简得 7x+ 10y= 5.4由联立解得x=0.2, y= 0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式11某一离散型随机变量己的概率分布如下，且 E （己）=1.5,则ab为（）.0123P0.1ab

9、0.1A. -0.1 B. 0 C. 0.1 D. 0.2【答案】B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1 ,. a+b=0.8.又 E ( E )=0X0.1+1Xa+2Xb+3X0.1=1.5,即 a+2b=12解彳3 a=0.4, b=0.4,a b=0.【变式2】随机变量己的分布列为,则E（5七4）等于（）0P0.4240.30.3A. 13 B. 11C. 2.2 D. 2.3【答案】A由已知得:E( E ) = 0 X 0.4 + 2 X 0.3 + 4M0.3 =E(5 E 4)= 5E( E )4丰 5X 1.8 4= 13.【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.

10、5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下 表所示的分布，若进这种鲜花 500束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15A.706元B. 690元C. 754元D. 720元【答案】A节日期间预售的量：E E = 200 X 0.2 + 300 X 0.35 + 400 X 0.3 + 500* 1055 120+ 75= 340床),则期望的利润：4=5 日做500- E ) 500 X 2.5 = 450X一 . Eq = 3.4E 450= 3.4 X 340450= 706.期

11、望利润为706元.【变式4】设离散型随机变量 的可能取值为1,2,3,4,且P(k) ak b (k 1,2,3,4),E 3 ,贝U a b ;【答案】0.1;由分布列的概率和为1,有(a b) (2a b) (3a b) (4a b) 1 ,又 E 3,即 1 (a b) 2 (2a b) 3 (3a b) 4 (4a b) 3,解得 a 0.1, b 0,故 a b 0.1。例2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得一100分.假设这名同学回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这名同学回答这三个问题的总

12、得分 X的概率分布和数学期望；(2)求这名同学总得分不为负分(即 X> 0)的概率.【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。(1)求X的可能取值，即求得分，答对0道题得300分，答对1道题得100- 200=- 100分，答对2道题得2X 100 T00=100分，答对3道题得300分；(2)总分不为负分包括 100分和300分两种情况.【解析】(1) X 的可能取值为300, 100, 100, 300.P (X= 300) =0.23=0.008。P (X= 100) = C3 X 0.22X 0.8=0.096P (X=100) =C；X0.2

13、 X 0.除0.384,P (X=300) =0.83=0.512.所以X的概率分布为X-300-100100300P0.0080.0960.3840.512E (X) =( 300) X 0.008+( 100) X 0.096+100 X 0.384+300 X 0.512=180 .(2)这名同学总得分不为负分的概率为P (X> 0) =P (X=100) +P (X=300) =0.384+0.512=0.896【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表.举一反三：【变式11篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得

14、分的期望.【答案】因为P( 1) 0.7,P(0) 0.3,所以 E 1 0.7 0 0.3 0.7-【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每 次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出 次品数的期望.2, 3设取得正品之前已取出的次品数为，显然 所有可能取的值为0, 1,0时,即第一次取得正品，试验停止，则1时,即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则2时,即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则3时,即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则分布列为【变式3】某城市出租汽车的起步价为10元

15、,行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出 4km,则按每超出lkm加收2元计费（超出不足lkm的部分按lkm计）.从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间(这个城市规定,接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程己是一个随机变量.设他所收租车费为4(I)求租车费“关于行车路程 E的关系式；(n)若随机变量 七的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费”的数学期望.(田)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因

16、故停车累计最多几分钟？【答案】(I )依题意得”=2(-4)十10,即 4=2己+2;(H)E 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1 16.44=2己+2E 2E 己 +234.8(元)故所收租车费”的数学期望为34.8元.(田)由 38=2 己 +2,得一 =18,5 (18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 一例3.若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取 3件，求取出二 等品的件数的期望、方差。【思路点拨】3次有放回的抽取就是3次独立重复试验，取出二等品的件数这一随机变 量服从二项分布。【解析】由题知一次取出二等品的概率为 0.2,

17、有放回地抽取3件，可以看作3次独立 重复试验，即取出二等品的件数 B(3,0.2),所以 Enp 3 0.2 0.6 ,D np(1 p) 3 0.2 (1 0.2) 0.48.【总结升华】在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值.举一反三：【变式11英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分， 学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验 中得分的数学期望.【答案】设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X和Y,由题意知XB (80, 0.25), YB(20, 0.25 , .E (X) =80X0.25=20, E (

18、Y) =20X0.25=5.故甲、乙的数学期望成绩分别为 40分和85分.1【变式2】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为一，乙每次击中目标的 2,一_ , 2概率为一，记甲击中目标的次数为 X,乙击中目标的次数为 Y,3(1)求X的概率分布；(2)求X和Y的数学期望.【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布.311(1) P(X 0) C； 1-,283_1 1P(X 1)C3 2-2 1P(X 2) C； 12P(X3)C3所以X的概率分布如下表:X0123P 1331(2)由(1)知 E(X) 0-1-2-31.5,8888或由题意 X N B 3,1 , Y B 3,

19、- 0 2312E(X) 3-1.5, E(Y) 3 2。 23【变式3】一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则B B(20,0.9), B(20,0.25),由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 .所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：类型二、离散型随机变量的方

20、差例4.设X是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求 E (X)和D (X).X-101P1-2q2 q【思路点拨】由概率分布的性质求出q的值后，再计算E (X), D (X).【解析】由概率分布的性质，得：1 2。(1 2q) q2 12 ,/曰.20 1 2q 1 ，得q 1 。220 q2 113 E(X) 1 0 (近 1) 1 - V2 1 亚，22D(X) ( 2 历2 1 ( 1 72)2 (V2 1)(扬23 V2 衣 1。22【总结升华】求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差举一反三：【变式11设随机变量X的概率分布为X12np求 D(X)0【答

21、案】 本题考查方差的求法.可由分布列先求出 X的期望E (X),再利用方差的定义求之.也可直接利用公式D(X) =E(X2) E (X) 2来解.解法一:n(n 1) V(X)bl1 (12 n22III n2)(n1)(1 2Hl n)(n1)24n2 1 o12解法二:由解法一可求得E(X) n又 E(X2) 12 1 22 1n2 -n nn1 2 (1n22 IM(n 1)(2n 1) .V(X) E(X2) E(X)2(n 1)(2n 1)(n41)22n12【变式2】1 .已知随机变量己的分布列如下表:-101P(1)求 E (己)D (O 4；(2)设正2 +3,求 E (4)D

22、 ").1111【答不】(1)E() xe X2P2 X3P3 (1) 0 1 ;2 363一一 2一 2-25 5D( )X1E( )2 R X2 E( )2P2X3E()2P35,JD() 三。93,、720(2) E( ) 2E( ) 3 2 D( ) 4D( ) k。39例5.设某运动员投篮投中的概率为 p=0.6.(1)求一次投篮时，投中次数 X的数学期望和方差；(2)求重复5次投篮时，投中次数Y的数学期望和方差.【思路点拨】(1)投篮一次可能中，也可能不中，投中次数X服从两点分布；(2)重复投篮5次的投中次数Y服从二项分布.【解析】(1) X服从两点分布，其分布列如下：X

23、01P0.40.6所以 E (X) =p=0.6, D (X) =p (1-p) =0.24.(2)由题设，YB (5, 0.6).所以 E (Y) =np=5 X 0.6=3,D (Y) =np (1-p) =5X0.6X 0.4=12【总结升华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算.举一反三：【变式1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1分，罚不中得0分，已知他命中的概 率为0.7,求他罚球三次得分的期望和方差。【答案】罚球三次可以看作 3次独立重复试验，即罚球三次得分 B(3,0.7),所以 E np 3 0.7 2.1D np(1 p) 3 0.7 (1 0.7) 0.63 .【

24、变式2】有10件产品，其中3件是次品从中任取2件，若抽到的次品数为X,求X的分布列, 期望和方差.【答案】类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用例6.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X1和X2,它们的概率分布分别为X1012P0.1a0.4X2012p0.20.2b(1)求a, b的值;(2)计算Xi和X2的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况.【思路点拨】本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解.(1)可直接由分布列的性质列式求解. ( 2)利用定义求期望与方差.【解析】(1)由分布列的性质知，0.1+a+0.4=1, 0.2+0.2+

25、b=1,即 a=0.5, b=0.6。(2) E (X。=0X0.1+1X0.5+2X0.4=13E (X2) =0X 0.2+1 X0.2+2X 0.6=1.4,D (X。=(01.37X0.1+(1 1.37X0.5+(2 1.3fx 0.4=0.41,D (X2) =(01.47X0.2+(1 1.47X0.2+(2 1.4fX0.6=0.64由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲.【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动 大小(或离散程度).举一反三：【变式1】A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品

26、的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好次品数自0123概率P0.70.20.060.04A机床次品数&0123概率P0.80.060.040.10B机床【答案】 E a=0 X 0.7+1 X 0.2+2 X 0.06+3X 0.04=0.44,E 2=0 X 0.8+1 X 0.06+2X 0.04+3X 0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差.D &= (0-0.44 2X0.7+ (1-0.44 2X0.2+ (2-0.44)2X 0.06+ (3-0.44) 2X0.04=0.6064,D §= (0-0.44 2X0.8+ (1-0.44

27、2X0.06+ (2-0.44 2X0.04+ (3-0.44)2X 0.10=0.9264.D &< D 2故A机床加工较稳定、质量较好.【变式2】有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位/、同职位月工资X1元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月，资X2/元1 0001 4001 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(Xi)= 1 200 X 0.4 + 1 400 X 0.3 + 1D(Xi)=(1 200 1 400/X0.4 十1 400 1 400)2X 0.1 40 00QE(X2)= 1 000 X 0.4 + 1 400 X 0.3 + 1D(X2)=(1 000 1 400fx 0.4 十1 400 1 400)2X 0.1 460 000.84m400)2