小学奥数：比例应用题(二).专项练习及答案解析

1、2-2-9,比例应用题(二).题库page 7 of 12教师版比例应用题（二）目W陋 教学目标1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化;4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容 .通过本讲需要学生掌握的内容有：、比和比例的性质性质1 ：若a： b=c性质2：若a： b=c性质3：若a: b=c性质4：若a： b=cd,贝U (a +c)：(b +d)=a：b=c：d;d,贝U (a -c)：(b -d)=a：b

2、=c：d；d,贝U (a + x c) ： (b + x d)= a： b=c： d； (x为常数)d,则axd = bxc；(即外项积等于内项积)正比例：如果a+b=k（k为常数），则称a、b成正比;反比例：如果axb=k（k为常数），则称a、b成反比.、主要比例转化实例x ay b xy bx a axamxax一；ybmybyx ax a :y b x y a bx a y cx -JL_ y b ' z dzx的c等于y的d,则x是yaby. a P.b x yma -(其中m 0);mbx y a b x y ax a x y aac，一；x: y: z ac: bc: bd

3、 ； bd的里，y是x的三.bcad三、按比例分配与和差关系 按比例分配例如：将x个物体按照a: b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与 x的比分别为a: a b和b: a b ,所以甲分配到 一ax个，乙分 a bbx *配到一b、个.a b已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别 A、B ,元素的数量比为 a:b（这里a b）,数量差为x,那么A的元素数量为ax,B的元素数量为bx，所以解题的关键是求出a b与a或b的比值.四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“ l 题中如果有几个不同的单位“1”，必

4、须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“ 1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。5. 赋值解比例问题自珈作 例题精讲按比例分配与和差关系(一)量倍对应【

5、例1】 甲乙两车分别从 A, B两地出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度比是5： 4,相遇后，甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样，当甲到达 B地时，乙 离A地还有10千米.问：A, B两地相距多少千米？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】甲、乙原来的速度比是 5 : 4相遇后的速度比是：5 X (1 20%) ： 4 X (1 + 20%) =4：4. 8=5： 6.相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5: 6其中相遇后甲行驶了全长的 4/9484844441所以乙仃驶了全长的 -5 6 一,所以乙一共行了全

6、长一,还剩1 9159 15454545没有走。所以A、B全长为450千米.【答案】450千米【例2】 A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和 B桶水的1 ,或将B桶水的全部和 A桶水的-倒入C 53桶，C桶都恰好装满.求 A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答根据题意可知， A桶水的全部加上 B桶水的1等于B桶水的全部加上 A桶水的1 ,所以A桶水的2等于B桶水的3 34 2 66 1，C桶水为B桶水的一 一 5 3 55 554F，一，一、一，一，一£ ,那么 A桶水的全部等于B桶水的

7、5Z .所以A、B、C三个水桶的容积之比 5口 6 _ 7_ _ _是一：1: 6: 5: 7 .又 A、B、55C三个水桶的总容积是 1440公升，所以A桶的【答案】【巩固】【考点】【解析】【答案】【巩固】【考点】【解析】【答案】【例3】【考点】 【解析】【答案】【巩固】65一容积是1440 480公升，B桶的容积是480 400公升，C桶的容6 5 76积是480 7 560公升.6560公升加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个.现在三人在同样的时间内一共加工3650个零件.问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件？比例应用题【难度】3星【题型】解答111根据题

8、意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为:一 28： 24 ： 21 ,那么在相3 3.5 4同的时间内，三人完成的工作量之比也是28: 24: 21 ,所以甲加工了2824. 一 .3650 1400个零件，乙加工了 3650 1200个零件,28 24 2128 24 21丙加工了 36502128 24 211050个零件。甲加工了 1400个零件，乙加工了 1200个零件，丙加工了 1050个零件 , 1学而思学校四五六年级共有 615名学生，已知六年级学生的1,等于五年级学生2,2 3的2 ,等于四年级学生的 3。这三个年级各有多少名学生学生？57比例应用题【难度】3星【题型】解答将六年级

9、学生的1,等于五年级学生的 2,等于四年级学生的 3,看作一个单位, 257那么六年级学生人数等于 2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于7学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为3、-f 12,K年级学生人数为615 =180人15615 225人，四年级学生人数为 61512 15 14六年级学生人数为180人，五年级学生人数为 225人,5 7一2： 12:15:14,所以 2 3,五年级学生人数为14.210 人.12 15 14四年级学生人数为 210人一块长方形铁板，宽是长的4.从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到5一块正方形铁板.问原来长方形铁板的长是

10、多少厘米 ？比例应用题【难度】3星【题型】解答如果只将长边截去 35%,宽、长之比为 4: 5 1 35%16:13 ,所以宽边的4长度为21 (16 13) 16 112厘米，所以原来铁板的长为 112 - 140厘米.5140一个正方形的一边减少 20% ,另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的 面积与原正方形面积相等.原正方形的边长是多少米？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答4 5.【解析】 要保证面积不变，一边减少 20%,即是原来的-,另一边要变成原来的-,即增 54,51 1加一1,所以原正方形的边长为28(米).444【答案】8【例4】 一项机械加工作业，用 4台A

11、型机床，5天可以完成；用4台A型机床和2台B 型机床3天可以完成；用3台B型机床和9台C型机床，2天可以完成，若 3种 机床各取一台工作 5天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要 天可以 完成作业.【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】2008年，西城实验【解析】由于用4台A型机床5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完 成，所以2台B型机床3天完成的量等于 4台A型机床2天完成的量，则A、B两 种机床每天完成的量的比为2 3:4 2 3: 4,即A型机床每天完成的量为 3, B型机床每天完成的量为 4,该项作业总量为3 4 5 60,那么C型机床每天完成 的量为60

12、 2 4 3 9 2,3种机床各取一台工作5天后，剩下的工作量为603 4 2 5 15, A、C型机床还需继续工作 153 23天.【答案】3【例5】 动物园门票大人 20元，小孩10元.六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天 相比，大人增加了 60%,儿童增加了 90%,共增加了 2100人，但门票收入与 前一天相同.六一儿童节这天共有多少人入园？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】 前一天大人与小孩的人数比为 1: (60% 2) 5: 6 ,六一那天增加的大人与增加的5小孩人数比为 5 60% : 6 90%5:9 ,大人增加的人数为2100 75014人，小孩增加的人数

13、为2100 750 1350人，大人的总数为 750 60% 750 2000人，小孩的总人数为 1350 90% 1350 2850人，总 人数为 2000 2850 4850人.【答案】4850人【例6】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2,第一天售出苹果的 20% ,售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3 ；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的,问原有苹果和桃子各有多少15吨？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】武汉市，外国语学校【解析】 法：设原来苹果有x吨，则原来桃子有2x吨，得：x (1 20%) 18 工，解

14、得 2x 2 12151 3x 37 .所以原有苹果 37吨，原有桃子37 2 74(吨).法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:2,把原来的苹果的吨数看作1,则原来桃子的吨数为2,第一天后剩下的苹果是 1 (1 20%)-,剩下的桃子是2-3,所以此时剩下的51 3 24 3 苹果和桃子的重量比是 ：3 8:15 .现在再售出苹果 18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃 5 2子的重量比是4：15 .这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15 ,先售出桃子12吨，苹果12±32吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是 8:15 ,再售出18里 5815555吨苹果，剩下的苹果和桃子

15、的重量比变为4:15 ,所以这 竺相当于8 4 4份，最后剩下的5桃子有竺15 87吨，那么第一天后剩下的桃子有87 12 U1吨，原有桃子 542221H _2_ 74吨，原有苹果 74 2 37吨. 21 3【答案】37【巩固】 月初，每克黄金的价格与每桶原油的价格比是3: 5。根据图中的信息回答， 月初,每克黄金的价格是 元；每桶原油的价格是 元。2-2-9.比例应用题（二）.题库page 11 of 12教师版【难度】3星【题型】解答比例应用题【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】由于上涨了同样的价格，那么价格差不变，开始时价格比是3:5 ,后

16、来是2:34:6,分别从原来的3份、5份上得到4份、6份，得的1份就是70元,所以月初每克黄金的价格是 70 3 210元，每桶原油的价格是 70 5 350元。【答案】350元【例7】 某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。一天，通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是 5: 6,中型车与小型车的辆数之比是 4: 11,小型车的通行费总数比大型车多 270元。求：（1）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？ （ 2）这天收费放入总数是多少元？大型车：30元酬 中现车：罪元棚 小型车上10兀涮【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】（1）大型车、小型车通过的数量都是与中型车相

17、比，如果能将5: 6中的6与4:11中的4统一成4,6 12,就可以得到大型车、中型车、小型车的连比.由5:6 10:12和4:11 12:33 ,得到大型车：中型车：小型车 10:12:33 .以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组.因为每组中收取小型车的通行费比大型车多10 33 30 10 30（元），所以这天通过的车辆共有 270 30 9（组）.这天通过的 大型车有10 9 90（辆），中型车有12 9 108（辆），小型车有33 9 297（辆）.（2）收费总数为 30 90 15 108 10 297 7290元。【答案】（1）这天通过的大型车有 90辆，中型车有108

18、辆，小型车有297辆（2） 7290 元4:3,所有参加第二轮比赛的 913: 4,那么【题型】解答4x人和3x人，则参加的总人数为7x人,8.591 56人，91 35人，根据被8 58 5（4x 56） :（3x 35） 3: 4 ,解得 7x 119 ,【例8】参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是人中男女生人数之比是 8: 5,第一轮中被淘汰的男女生人数之比是第一轮比赛的学生共 人。【考点】比例应用题【难度】3星【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】 设参加第一轮选拔赛的男生和女生分别为参加第二轮的男生与女生人数分别为淘汰的男生与女生人数之比列方程得：所以参加第一轮选拔赛的有 119

19、人.【答案】119人（二）利用不变量统一份数【例9】 有一个长方体，长和宽的比是 2:1 ,宽与高的比是3:2.表面积为72cm2,求这 个长方体的体积.【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【解析】由条件长方体的长、宽、高的比 6:3: 2,则长方体的所有视面，上面、前面、左 面的面积比为 6 3:6 2:3 218:12:63:2:1 ,这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为 132122 -72 - 18cm2,刖面的面积为 72 - 12cm2,左面的面2 3 2 12 3 2 11 12 .2积为720 - 6cm，而18 12 6 1296 36

20、，所以36即是长、宽、2 3 2 1高的乘积，所以这个长方体的体积为36cm3 .【答案】36cm3【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是2:1 ,宽与高的比是 3:2.已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积.【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答22 【解析】由条件宽与图的比为3: 2 1:-,所以这个长方体的长、宽、高的比为 2:1:3即 6:3: 2 ,由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有 4条，所以长方体的长为 16 13220 - 30厘米，范为220 - 15厘米，局为4 6 3 24 6 3 210厘米，所以这个长方形的体积为30 15 10 4500立方

21、2204 6 3 2厘米.【答案】4500立方厘米【例10】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车 30元，中型车15元，小型 车10元.一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6,中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元.（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？ （2）这天的收费总数是多少元？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，二试，六年级【解析】 大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将 5: 6中的6与4:11中 的4统一成4,6 12,就可以得到大型车、 中型车、小型车的连比.由5:6 10:1

22、2 和4:11 12:33,得到大型车：中型车：小型车 10:12:33 .以10辆大型车、12辆 中型车、33辆小型车为一组.因为每组中收取小型车的通行费比大型车多10 33 30 10 30（元），所以这天通过的车辆共有 270 30 9（组）.所以这天通 过大型车有10 9 90（辆），中型车有12 9 108（辆），小型车有33 9 297（辆）.（2）这天收取的总费用为：30 90 15 108 297 10 7290元.【答案】大型车有 90辆，中型车有108辆，小型车有297辆.（2） 7290元【例11】6枚壹分硬币摞在一起与 5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与

23、3枚伍分硬币摞在一起一样高.用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体， 并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5 ,壹分硬币和伍分硬币的数量比12:10:9 ,因此壹分硬币的数量为1241212 10 948枚，贰分硬币的数量为为4:36:4.5,所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5: 4.5,即1241012 10 9940枚，伍分硬币的数量为 124 36枚，这些硬币12 10 9一共有48 1 40 2 36 5 308分，即币值为3.08元.3.08

24、元【例12】某工地用3种型号的卡车运送土方.已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10: 7: 6 ,速度比为6:8:9 ,运送土方的路程之比为15:14:14 ,三种车的辆数之比为10:5: 7 .工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务.那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】二中【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15 ：14：14,速度之比为6 ：8：9,所以它们运送1次所需的时间之比为 15 ：14 ：14 27： 14,相同时间内它们

25、运送6 8 92 4 9的次数比为：2：-：在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的5 7 14数量之比为5： 5 7.由于三种卡车载重量之比为10： 7： 6,所以三种卡车的总载重量之比为50 : 35 ： 42 .那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：24950: 35425714以在后15天里的工作量之比为20： 20： 27 .在后15天，由于甲车全部投入使用，所作量之比为:2010 40 153240： 20： 27 .所以在这25天内，甲的工作量与总工2-2-9.比例应用题（二）.题库page 15 of 12教师版(20 20 27) 10 (40 20 27) 15

26、 79【答案】3279【例13】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友.原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5: 4:3 .实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5 ,其中有一位小朋友比原计划多得了 15块糖果.那么这位小朋友是（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 块.【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛【解析】方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的,;实际甲、121212乙、丙三人所得糖果数分别占总数的-7 ,只有丙占总数的比例是增加181818一 一、.一一 .、一 .53.的，所以这位小朋友是丙 .糖果总数为15 a *540

27、（块），丙实际所得的18 125糖果数为540 150 (块).18方法二：化通比为：甲乙丙总数为原计分配为5:4 :312份实际分配为7:6:518份化通比为15:12:936份14:121036份对比分析甲1514）乙1212,丙 9 10,发现多得糖果的是丙所以 15+ ( 109) X 10= 150 (块)【答案】150块【例14】一个周长是56厘米的大长方形，按图与图所示意那样，划分为四个小长方形.在图中小长方形面积的比是A: B 1:2, B:C 1:2 .而在图中相应差与D 的长减去D的长所得到差之比为1:3 .求大长方形的面积.的比例是A': B' 1:3,

28、B':C' 1:3.又知长方形D'的宽减去D的宽所得到的【考点】比例应用题【解析】因为A:B所以 A:C 1:4；因为 A': B' 1:3 , B': C' 1:3 ,所以 A':C' 1:9,设长方形的宽为a,长为b,得:105b得 a:b 2:5 .又 a b 56 2 28所以 a 8, b 20.所以长方形面积20 8 160 .【答案】16045%,再放人16块水果糖后，奶糖就只占25%那么,【例15】有一堆糖果，其中奶糖占 这堆糖果中有奶糖多少块【考点】比例应用题【难度】2星,45925【解析】方法一：原来奶

29、糖占-45- -,后来占 二100 20100倍，也比原来糖果多16粒,从而原来的糖果是【题型】解答1 一 一-,因此后来的糖果数是奶糖的4416+（4 1）=20块.其中奶糖20,9有 20X =9 块.20方法二：原来奶糖与其他糖 （包含水果糖）之比是45%: （1-45 % ）=9: 11，设奶糖有9份，其 他糖（包含水果糖）有11份.现在奶糖与其他糖之比是 25%: （1-25 %）=1 : 3=9: 27,奶糖的 份数不变，其他糖的份数增加了 27-11=16份，而其他糖也恰好增加了 16块，所以，l份即 1块.奶糖占9份，就是9块奶糖.【答案】9块【巩固】 一堆围棋子有黑白两种颜色

30、，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1;再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5 ,求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【解析】 第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1 10:5变为1:5 ,而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了 9份，这样原来黑棋的个数为45 9 10 50 （枚）,白棋的个数为45 9 5 15 40 （枚）.【答案】40枚一 1 ，一 5【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的1, 15年后，儿子的年龄是父亲年龄的 a.今年411儿子多少岁？【考点】比例应用题【难度】3星

31、【题型】解答11【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的1, 15年后儿子的年龄相当4 1355 , , , 5 11于父子年龄差的- 5,所以15年相当于父子年龄差的-'，年龄差为11 5 66 3 21，人一,15 - 30岁.今年儿子30 3 10岁.1方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的1,所以儿子：父亲=1: 4;415年后，儿子的年龄是父亲年龄的,所以儿子：父亲=5: 11118因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为:儿子15根据不变量化通比为5父亲411年龄差对比分析为：15+ (5 2) X2=10【答案】10岁811（岁）2-2-9.比例应用题（二）.题库p

32、age 19 of 12教师版【例16】北京中学生运动会男女运动员比例为19:12 ,组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为 20:13 ;后来又决定增加男子象棋项目，男女比例 变为30:19 ,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答11919【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“1”，那么男运动员人数为 9 19,女运19 12 3112 19 _动员人数为上，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是 ,所以313119247这时女运动员人数为 20 13 ，增加男子象棋项目，女运动员人数

33、保持31620、 ,一一 247 24739不变，仍然是今7,所以男运动员人数增加为 包 19 30 39.女子艺术体操62062062项目人数为247 127,男子象棋项目的人数为39191一，男子象棋项620 31 620623162目运动员比女子艺术体操运动员多。工-A原来总运动员人数为62 620 6203 115 3100人，男子象棋项目运动员有 3100 50人，女子艺术体操运62062动员有3100 35人，所以现在的总运动员人数为3100 50 35 3185620人.3185 人【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13 .放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3

34、;再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11 .已知放入的红球比白球少80只.那么原来袋子里共有 只球.【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把 19:13改写成57:39 , 5:3改写成65:39 . 第二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把 13:11改写成65:55 ,这时我们可以看出， 经过两次操作后，红球共增加了 65 57 8份，白球增加了 55 39 16份.原来红球有80 16 8 57 570 个，白球有 80 16 8 39 390 个.两种球共 570 390 960【答案】960个【例17】有若干个突击队参加某工

35、地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的 -,以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员,18而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的17问开始共有多少支突击队参加会战？【考点】比例应用题【难度】4星【题型】解答【关键词】西城实验【解析】由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的7-,所以原来全体女队员的人数是18全体男队员的即原来女队员的人数占所有队员人数的,调走第一突击队的1825一半队员后，女队员的人数占剩下的队员总数的-8-,由于调走的全是男队员，女25队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比为空：空7:8 ,即调走的队员人数占原