一元二次方程的根的判别式

1、一元二次方程的根的判别式【学习目标】1 .知道什么是一元二次方程的根的判别式.2 .会用判别式判定根的情况.【主体知识归纳】1 . 一元二次方程的根的判别式：b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c =0 (a?0)的根的判别式.通常用符号来表示.2 .对于一元二次方程ax2+bx+ c= 0 (a#0),当A>0时，方程有 两个不相等的实数根；当A = 0时，方程有两个相等的实数根；当A<0 时，方程没有实数根.反过来也成立.【基础知识讲解】1 .根的判别式是指A=b2 4ac,而不是指A = Jb2 4ac .2 .根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须 把

2、所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的 符号.3 .如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实 数根和有两个相等的实数根两种情况， 此时b2-4ac> 0,不要丢掉等号.4 .判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明.【例题精讲】例 1 ：不解方程，判别下列方程的根的情况：2(1) 3x -2x-1 = 0;(2) y2=2y4;(3) (2k2 + 1) x2 2kx+1=0;(4) 9x2 (p + 7) x + p 3 = 0.解：(1)

3、 .4= (2) 2-4X3X (1) =4+12>0, 原方程有 两个不相等的实数根(2)原方程就是 y22y+4 = 0. A = (2) 2 4X1X4 = 416 <0, .原方程无实数根.(3) 2k2+1?0, 原方程为一元二次方程.又4= ( 一 2k) 2 4 (2k2+1) X1 = 4k24<0, .原方程无实 数根(4) A= (p+ 7) 2-4X9X (p 3) = ( p11) 2+36,不论p取何实数，(p11) 2均为非负数，.(p 11)2 + 36>0,即 A >0,原方程有两个不相等的实数根.说明： (1) 运用一元二次方程根

4、的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式(2)判别式的应用是以方程ax2+bx+ c = 0中a? 0为前提条件的， 对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点 要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有 效的方法，如(4)小题.例2：已知关于x的一元二次方程(k1)x2+2kx+k + 3=0. k取什 么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3) 方程没有实数根？解：A=(2k)24 (k-1) (k+3) =8k+12.(1)当一8k+12>0,且k1?0,即k<：且k#1时，方程有两个 不相等的实数根；(2)

5、当一8k+12=0,且k1?0,即k=|时，方程有两个相等的实 数根；(3)当一8k+12<0,且k1?0,即k>3时，方程没有实数根.说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二 次项系数不等于零.例3:求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(bx)24(a x)( c x) = 0必有实数根.剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方 程从形式上不能直接判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得- 3x2 + (4a+4c 2b)x+b24ac= 0,显然是关于x的一元二次方程，所 以只要证明AA0即可.证明：略说明：判断一代数式的正、负时，通常

6、的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明例4:如果关于x的方程x2 + 2x=m9没有实数根，试判断关于 y 的方程y2+my- 2nn 5 = 0的根的情况.剖析：要判断y2 + my-2m5=0根的情况，只要判断A2= m2 4( 2m5) =m + 8m-20的取值情况即可.而x2 + 2x m- 9=0没有实数根， 可得 A =224( m-9) =4m40V 0,即m< 10,而当m< 10时，n2+8m-20恒大于零，所以方程y2 + my- 2m 5 = 0有两个不等的实数根.说明：判定A2的值用到了 AV0所得的结论mx 10,这种条件

7、和 结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到【同步达纲练习】1选择题(1)关于x的方程mX+ 4x+1 = 0有两个不相等的实数根，则 m的 取值范围是( )A. m< 4B.4 且 m 0C. m> 4 且 m 0D. mK 4 且 m 0(2)关于x的方程kx2+2x-1=0无实数根，则k的取值范围是( )A. k? 0B. k<- 1C. k<- 1D. k=- 1(3)关于x的一元二次方程(k1)x2+2kx + k+3 = 0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是()C. 1A. 0B. 1D. 2(4)方程x2+px+ q=0有两个相等的实数根，则p、q之

8、间的关系是-22.A. p -4q0B. p= 2 qC. p=4qD. p2>4q(5)关于x的方程mx2 2m圻(m + 3) =0的根的情况是()A.当m= 0时，方程有两个相等的实数根B.当m 0时，方程没有实数根D.当一1 < RK 1x的方程b2x2+ ( b2B.有两个不相D.要根据a、b、C.不论m为何值，方程都没有实数根(6)设a、b、c为三角形的三条边长，那么关于时，方程有实数根+ c2-a2) x+c2 = 0的根的情况是()A.无实数根等的实数根C.有两个相等的实数根c的数值确定(7)已知a、b、c是4ABC的三条边长，且关于x的方程(cb) x2+ 2 (

9、b a) x+ (a b) =0有两个相等的实数根，那么这个三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形(8)已知方程x2-px+m0 (m0)有两个相等的实数根，则方程 x2+ px nn= 0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有无实数根，不能确定2.不解方程，判断下列方程根的情况：(1) y22y+1 = 0;(2) 4x2 + 5=10x；(3) t2 = 7t -15;(4) x2-2V5x=3；(5) 0. 1x2-0. 2x+1 = 0; (6) V3x2(2 <3 ) x + 1 = 0;3 .已知关于

10、x的方程1x2 (mn-2) x + m2= 0.4(1)有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求 m的值，并求此时方程的根；(3)没有实数根，求m的最小整数值.4 .求证：关于x的方程(a2+1)x22ax+ (a2 + 4) =0没有实数根.5 .已知关于x的方程x22mx-3m+8mn-4=0.(1)当m>2时，试判断方程根的情况;(2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.6 . (1)k是什么正整数时，方程 2x210x + 5k=0有两个不相等的 实数根？(2) k是什么负整数时，方程 x2-4x+ 2-k = 0有两个不相等的 实数根？(3) k是什么正数时，方程(2 + k